2023高考數(shù)學復習 27　非對稱韋達定理

微專題27非對稱韋達定理

2知識拓展

在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達定理整

體代入來解決；但是有些情況，如有些定點、定值、定線問題，我們發(fā)現(xiàn)把韋達

定理整體代入并不能完全消除兩根，把這類問題稱之為非對稱韋達定理.

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一兩式相除，和積轉(zhuǎn)化

I核心歸納

把韋達定理兩式相除得到兩根的和積關(guān)系，然后把兩根的積(或和)式代入，是非

對稱韋達定理化簡時常用的方法.

例1(2022?南通一調(diào))己知雙曲線cΛ-^=l(π>0,?>0),四點M(4,陰,腦(3,

√2),M1-2,一坐］,M4(2,坐)中恰有三點在C上.

(1)求C的方程；

(2)過點(3,0)的直線/交C于P,Q兩點，過點尸作直線x=l的垂線，垂足為

A.

證明：直線AQ過定點.

(1)解M3與Mi關(guān)于原點對稱，由題意知雙曲線一定過M3和％兩點.

當雙曲線過Mi,M3,M4時,

12I

有則不+方=°無解;

當雙曲線過M2,M3,M4時,

α2=3,

解得

.bλ=?,

故C的方程為［-V=L

(2)證明當直線/與X軸不重合時，設直線/：X=my+3代入虧一y2=l,

整理得—3)y2++6=O,

設尸(xι,yι),Q(X2,p),則A(1,??),

V+"=一門，①

由韋達定理得J6

>kK，②

y+y2

①÷②得m,

即一加yι*=yι+”,

V2—Vl

直線AQ：廠yι=χ2f(L1)，

令尸0，解得X=箕手

y2—y1(my2+3)y2-3yι-myιy23yι+yι+y22(y2~~?y1),.

..x-z==S===s:=2,直線

”一yιyι-y?yι-y?/-V

過定點(2,0).

當直線/與工軸重合時，直線AQ也過點(2,0).

訓練1過橢圓C：f+f=l的左焦點B作不與X軸重合的直線MN與橢圓C相

交于M,N兩點，過點M作直線/：x=-4的垂線，垂足為E

(1)已知直線EN過定點P,求定點P的坐標；

(2)點O為坐標原點，求AOEN面積的最大值.

解(1)由題意知尸1(一1,0),設直線MN方程為X=My—1,點Λ∕(xι,yι),N(X2,

)2),￡(—4,yι),

X=my-1,

由'^+止_］得(3M2+4)y2-6∕ny-9=0,則yi+y2=3〃,；4,①

y"=新申，②

yι+產(chǎn)2m

①÷②得~9

直線硒的方程為y-y=M?(x+4)?

.?—Vl(X2÷4)

令y=0,得X=-------------------4

y2~y?

—-yι(Iny2-1+4)4

y2-yi

一小yy-3yι

y2-y?一

3

又MyIy2=—](yι+*),

3

?(yι+v2)-3yι5

達一3αyι一2?L-

故X——4——4—2

y2~y?*-yι

因此直線EN過定點(一|,0).

,/—----——：---------12λ∕∕7t2÷1

(2)由∣yι-y2∣=g(yι+")--4y↑y2=3m2ψ4'

2

,β115λ∕m+115λ∕mM-l

2

付SMN=/PHyLy2∣=3/?/2+4=3∕n+3+l'

令/=[m2+],r≥ι,

EC⑸15

人」SM)EN-?2I1-19

■?十3r+γ

在[1,+8)上單調(diào)遞減，所以當，=1時，^OEN的面積取得最大值，為號.

故AOEN面積的最大值為學.

類型二第三定義法(斜率之積，e2~l)

I核心歸納

設A,B為圓錐曲線關(guān)于原點對稱的兩點，P為該曲線上異于A,B的點.

2212

⑴若圓錐曲線為橢圓，+g=l(α>b>O),則kpAkpβ=-^2=e2-?.

?712

(2)若圓錐曲線為雙曲線，一$=l(a〉0,/?>0),則如√7>B=a=e2-l.

例2(2022?德州二模改編)已知橢圓C：5+]=l的左、右頂點分別為A,B,右

焦點為R過點尸的直線/與橢圓交于P,Q(點尸在X軸上方)，設直線AP,BQ

的斜率分別為力,kι,是否存在常數(shù)九使得%+求2=0?若存在，請求出2的值；

若不存在，請說明理由.

解由題意知尸(2,0),設PQ的直線方程為x=my+2,P(xι,yι),Q(X2,”)，

由產(chǎn)

[x=my+2,

得(9+5/)^+20/^-25=0,

ri1—20陽—25

則…==肅V"=后才

J=900(zn2+l)>0恒成立.

直線AP,BQ的斜率分別為配k2,

則e=T?,依=津

假設存在黑滿足依+然2=0,

即Z1=一丸左2,則菅=T.

之=VX2—3

kιXi+3y2

yι(Zny2-1)myi”一yι

y2(myι+5)myxyi+Syi

法一(雙參變單參)

,—20/72

>,*+^2=9+W5

由<、

一25

Uy=志譚

,

zπy∣+>24m

傳yi”—5，

5(y1+y2)

所以

my?yι-4

5(y1÷y2)

----------------Λ------------Vl

〃少券-yι__________4J

my?yι+5y25(yι+2)

4+5”

?+5”1,1..

=后西『產(chǎn)T=尸"為定值.

yι

法二（和積轉(zhuǎn)化法）

∕nyi"+5y2

myi)22—(yι+y2)+)'2

JXyly2+5”

一25〃。20m—5m

9+5m29÷5∕∕72，29÷5∕772"

—257Ti—25—

9+5m2+5y29+5m1+5y2

=]=-2=]=九=一],為定值.

法三(第三定義法)由4-3,0),3(3,0),得加4=」^,ZPS=二?,

X1I?X?3

9972

又P在5+方=1上，得§+/=1，

即科=5(1苫卜施一詞，

,9(9一小

故^-9

__5y?yι_5

9=?+3加-39,

k?__yι火2-3_5心一3X2-3_5(AnyI-1)(根*—1)

kιXi+3yι9y?yι9y?yι

54JIy2—〃(y1+y2)+1

9'y?yι

2機

4/?/9+52]=∣=>-λ=∣≠>Λ=一?1為定值.

25)

法四（極點、極線法）

M

Av?OlBx

由5+^^=l得F點對應的極線為與=1,即X=令AP∩BQ=M]∣,〃2),由心P

=kMA=^,ICBQ=kMB=q,得親=/即丸=-/

T2

訓練2(2022?濰坊模擬)已知雙曲線C：宗一g=l(α>0,。>0)的虛軸長為4,直線

2χ->=0為雙曲線C的一條漸近線.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設雙曲線的左、右頂點分別為A,B,過點T(2,0)的直線/交雙曲線C于M,

M點M在第一象限)，記直線MA的斜率為h,直線NB的斜率為kι,求證：譽為

定值.

-26=4,

⑴解由題意《匕C

-=2,

Ia

1'雙曲線方程為％2—9=1.

[b=2,4

(2)證明由題意知，直線/過點(2,0),直線MN斜率不能為零，故設直線MN

方程為X=Tny+2,M(X1,yι),N(X2,*).

X~~ιτιyH-2,

由J)聯(lián)立得(4/一Dy2+i6my+12=0,

4xz-yz-4=0,

〃/>0,

,16mC

則口"=-Zrp①

12G

②

H①∕m>∣+y24”?

而逐得后=一?’

.?.吵”=—g+”),

法一(雙參變單參)又％=尚?,

.kιyιX2—[”7),i),2+yι4(."+丁)+)」?

??fe-x1+1?k一加》'2+3)，2__,()]+”)+3)?一^3?

法二(第三定義法)由題意得攵MA=一上，kMB=Ti,由％?一7=1,得貫=4(%?

X1I1X11?

.?4MMMB=g_i=4,

=

即kτ∕CMB=R_?4,

yi4(XI-1)

xι+1-y?

_V2

X2-l

.k?yiX2-14(XLI)(冗2-1)4(myι+l)(加/+1)

^h~χ?+?yι-y?yz-^y?yι

4[加2)]”+〃2(yι+")+1]

yy

=4Q+√1?+白

Iy?yιy?yι)

∣^o∣(4ni?,462—1]1

=4Lm+m×ΓTj+-I2-J=^3?

法三(極點、極線法)

點T(2,0)對應的極線方程為9亨r=1,即X=*i

延長NB交MA于Q,

則MA∩BN=Qg〃),

.,nn

K1KMAkrQA1?,

—~l-1

2十I2

-Yl-∏

kι=km=kζ)B=j"=^"j-,

1^22

故I

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.已知A,B分別為雙曲線C：x2-γ=l的左、右頂點，過雙曲線的右焦點尸的

直線交雙曲線于P,。兩點(異于A,B),求直線AP,8。的斜率的比值.

解由題意知F(2,0),設直線尸。的方程為x="zy+2,P(Xι,?i),Q(X2,"),

χ2-

聯(lián)立方程'得(3團2—l)y2+12mγ÷9=0,

x=my~?-2,

ElI12m

則P+V=F匚P①

9

而①產(chǎn)y+)'24〃z

而②付

yιy23，

τ3

≤+

.?my↑y2=r(yly2

又心P=#[，ZBQ=U7'

kλP_yιX2-1_yι(JTIy2+1)

kβQXi+1y2(my?+3)yι

3

_wyy+yι__^W(y∣+")+yι_」

=叼y+3”=_[⑶+券)+3”=^3?

所以直線AP,BQ的斜率的比值為一去

2.(2022.南通調(diào)研)在平面直角坐標系XO)，中，已知離心率為T的橢圓C?+p=

l(α>b>O)的左、右頂點分別是A,B,過右焦點尸的動直線/與橢圓C交于M,N

兩點，AABM的面積最大值為2√5.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設直線AM與定直線x=f(f>2)交于點T,記直線TF,AM,BN的斜率分別是ko,

kι,kι,若一，一,依成等差數(shù)列,求實數(shù)f的值.

解(1)設橢圓C的半焦距為g

依題意①

又AABM的面積最大值為2小,

所以;?24?0=2小，即αb=2小，②

又a2-b2=c2,(3)

聯(lián)立①②③，得/=4,h2=3,c2=l,

92

所以橢圓C的標準方程為，+5=1.

(2)設直線/：x=my+?,M(X1,?i),N(X2,y2),

x=my-?-1,

聯(lián)立方程組,

=1,

整理得(3m2+4R2+6my-9=0,

所以yι+v2=-q繪1

J3m+4

9

M-

3

故my?y2=z^y?+yi).

(f+2)yι

易得直線AM：y=m(x+2)與直線x=f相交于7?t,

Xi+2

因為心,ko,總成等差數(shù)列,

所以2比=2+依,

(r+2)yι

即2.-+2=4一

t~?xι+2X2-2'

20+2)_y2(%ι+2)

所以

-~?^y?(X2-2)

*(MyI+3)WyIy2+3"

y?(Zny211)my?yι-y?

339

2Si+/)+3*?i+?2

=----------------------=-----------=§

313,

2Si+")-γι2yι+2y2

進而解得r=4,

所以實數(shù)，的值為4.

3.已知橢圓C：

a+方=l(α>">O)的離心率為：，其短軸長為2小，設直線/：x=4,過橢圓右焦點

尸的直線(不與X軸重合)與橢圓C相交于A,B兩點，過點A作AO_U,垂足為

D.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求證：直線Bo過定點E,并求出定點E的坐標.

f_c_\

e~a~2,

⑴解由題意可得卜=2小，

.6F2=?2+C2,

(。=2,

解得心=小，

Ic=I,

故橢圓C的方程為7+日=L

(2)證明由題得尸(1,0),設直線AB：x=my+1(m∈R).A(xι,yι),QX2,y2),則

0(4,?i),

x=my+1,

聯(lián)立方程＜^+f=1

得(3m2+4?2+6照一9=0,①

所以戶十”=3加2+茶y'y2=3m2+4,且2"師”=3&1+*),

因為伙X2,”)，D(4,J1),所以直線8。的方程為>—>1=%二+(X—4),

42I

,金V2eyιV2-Vi,yι-y?4v2-v?-∕ny1y2C

由1X=〃少+1'何產(chǎn)斫?龍一礪?4+P=礪?L吵-3'②