幾何圖形模型胡不歸問題訓(xùn)練-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)（教師版）

專題39幾何圖形模型胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

一.選擇題

I.（2022?南山區(qū)模擬）如圖，在RtZVlBC中，ZACB=90o,ZA=30o,則AB=2BC.請?jiān)谶@一結(jié)論的

基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC=2,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，尸為邊CD上一動點(diǎn)，則AP+4C尸的最小值為（）

A.1B.√2C.√3D.2

思路引領(lǐng)：過C作CE_L4B于E,過點(diǎn)P作P凡LEC于F,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半和等邊三角形的性質(zhì)得出PF=WC尸，再由AP+*CP=AP+PF2AE,結(jié)合勾股定理求出AE即可.

解：過C作CE±AB于E,過點(diǎn)P作PF_LEC于F,

?.?NAC8=90°,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

1

：.CD=^AB=ADf

VZCAB=30o,

ΛZB=60o,

???△8CD為正三角形，

/.ZDCE=30°,

1

LPF=於「,

：.AP+^CP=AP+PF^AE,

??ZCAB=30o,AC=2,

：.CE=%C=1,

：.AE=>JAC2-CE2=√3,

：.AP+^CP的最小值為√5.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了含30°直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊一半，直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，解決此題的關(guān)鍵是作出垂線CE和PF,將=CP轉(zhuǎn)化為PE

2

2.（2022?平南縣二模）如圖，在等邊Be中,AB=6,點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，D是BE上的一個動點(diǎn)，則CO+^BD

的最小值是（）

思路引領(lǐng)：如圖，過點(diǎn)C作CF,AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作AB于點(diǎn)4,則CO+。4》CF,先解直角三

角形可求出CF,再由直角三角形的性質(zhì)得。H=進(jìn)而可得C￡）+3BD=CD+DH,從而可得CD+*BD

的最小值.

解：如圖，過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作AB于點(diǎn)“，則CO+O"2CF,

D

B

「△ABC是等邊三角形，A8=6,

.?.∕A=NABC=60°,AF=BF=3,

：.CF=AFtan60o=3√3,

；點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

：.ZDBH=60°÷2=30o,

1

在RtZXBDH中，DH=^BD,

.?CD+^BD=CD+DH≥3√3,

.?.CO+aBD的最小值為：3√3.

故答案為：B.

總結(jié)提升：本題主要考查解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是將CD+D

轉(zhuǎn)化成CD+DH.

3.（2022春?覃塘區(qū)期中）如圖，在菱形A8C。中，NABC=60°,E是邊BC的中點(diǎn)，P是對角線8。上

的一個動點(diǎn)，連接AE,AP,若AP+48P的最小值恰好等于圖中某條線段的長，則這條線段是（）

A.ABB.AEC.BDD.BE

1Il

思路引領(lǐng)：由菱形的性質(zhì)可得/08C=WNABC=30°,可得PF=58P,off#AP+^BP=AP+PF,由垂

線段最短，可求解.

解：如圖，過點(diǎn)P作PFL8C于點(diǎn)凡

：四邊形A8C。是菱形，

ΛZDfiC=∣ZABC=30o,S.PFLBC,

J.PF=^BP,

：.AP+^BP=AP+MP,

.?.當(dāng)點(diǎn)4點(diǎn)P,點(diǎn)/三點(diǎn)共線且垂直BC時，AP+P/有最小值,

：.AP+最小值為AE

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，最短路徑問題，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)是本題的

關(guān)鍵.

4.（2022春?新羅區(qū)校級月考）如圖，Z?ABC中，AB=AC=10,BEJ_AC于點(diǎn)E,BE=IAE,。是線段BE

上的一個動點(diǎn)，則C。+電B。的最小值是（）

A

BC

A.2√5B.4√5C.5√5D.10

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)。作。HLA8,垂足為“，過點(diǎn)C作垂足為M,在RtaABE中，利用勾股定

理求出AE,3E的長，再證明。H=絡(luò)80,從而可得CD+第BO=CZHZ）”,然后再由垂線段最短即可解

答.

解：過點(diǎn)。作垂足為從過點(diǎn)C作CMJ_A8,垂足為M,

A

BC

VBE±AC,

ΛZAEB=90o,

VBE=2AE,AB=IO,

.?AE1+BE1=AB2,

Λ5AE2=1O(),

.?.AE=2√5或AE=-2√5（舍去）,

ΛβE=2AE=4√5,

..z..4E2店?J5

「SmNAdSeE=而=R=耳,

VZA=ZA,NAEB=NAMC=90°,AB^=AC,

：.?AEB^?AMCCAAS),

JCM=BEiG

在RtZXBHO中，?！?8￡>SinNABE=第80，

.?.CD+尋BD=CD+DH,

?'CD+DH^CM,

ΛCD+^BD≥4√5,

.?.CC+韻。的最小值是：4√5,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了胡不歸問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

5.(2021秋?澄海區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=∕+3χ-4的圖象與X軸交于4、C兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)8,若尸是X軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q(0,2)在〉軸上，連接PQ,則PQ+孝PC的最小值

O

A.6B.2+^√2C.2+3√2D.3√2

思路引領(lǐng)：過p作/WL8C,過。作Q“J_8C.再由PH=孝PC得PQ+孝PC=PQ+PH,根據(jù)垂線段最

短可知，PQ+PH的最小值為。"，求出QHl即可.

解：連接BC,過P作PHLBC,過。作QffLBC,

令y=0,即/+3X-4=0,

解得x=-4或1,

ΛA(1,O),C(-4,0),

Q

VOB=OC=A9ZBOC=90,

.?.NPCH=45°,

???尸H=PCSin45°=會C.

,PQ*PC=PQ+PH,

根據(jù)垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為QH,

9：BQ=OBWQ=4+2=6,ZQBHf=45°,

ΛQH,=sin45o?3Q=3√Σ,

.?PQ+^PC的最小值為3√Σ.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，

解題的關(guān)鍵是將求P。+乎PC的最小值轉(zhuǎn)化為求PQ+P”的最小值.屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，ZkABC中，AB=AC=I5,tanA=2,BEj_4C于點(diǎn)E,力是線段BE

上的一個動點(diǎn)，則C。+喀BO的最小值是（）

A.3√5B.6√5C.5√3D.10

思路引領(lǐng)：如圖，作DHjLAB于H,CM_LAB于由SnA=器=2,設(shè)AE=",BE=2a,利用勾股

定理構(gòu)建方程求出“，再證明OH=絡(luò)BO,推出C。+絡(luò)8。=C。+OH,由垂線段最短即可解決問題.

解：如圖，作于"CTWLAZTfM.

,：BElAC,

NAEB=90°,

*tcιτιA=AE=2,

設(shè)AE=a,BE=2a,

則有：225=a2+4a2,

.*.a2=45,

.?.α=3√5或-3花（舍棄）,

.,.BE=2α=6√5,

"：AB=AC,BEYAC,CMlAB,

：,CM=BE=6由（等腰三角形兩腰上的高相等）,

?：NDBH=NABE,NBHD=NBEA,

..DHAE√5

..SiW7nBoHu=前=而=可'

：.DH=^-BD,

：.CD+^-BD=CD+DH,

；CD+DH>CM,

當(dāng)點(diǎn)”與M重合，且C,D,，共線時，CD+?！钡闹底钚?

.?.CD+殺。的最小值為線段CM的長,

.?.CC+第BD的最小值為6斯.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

48

X2

7.（2022?邢江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=9-3-X軸的正半軸父于點(diǎn)A,B

點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，C點(diǎn)為該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，則3BC+5AC的最小值為()

A.24B.25C.30D.36

思路引領(lǐng)：連接OB,過C點(diǎn)作CM，OB于M點(diǎn)，過A點(diǎn)作AN，。B于N點(diǎn)，拋物線的對稱軸與X軸

交于點(diǎn)D,先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得出BD.OA.OD,再證明AOBOS△

OBDSAoAN,進(jìn)而可得3>BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM),當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂

直08時，AC+CM最小，根據(jù)蔡=黑求出AMAC+CM最小值即為AM則問題得解.

解：連接0B,過C點(diǎn)作CMJ_。B于M點(diǎn)，過4點(diǎn)作ANLOB于N點(diǎn)，拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)D,

解得：xι=0,X2=6,

.?.A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),即OA=6,

將y=-^x2+鼠配成頂點(diǎn)式得：y=-3)2+4,

???3點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),

.?.BD=4,OD=S9

?：CM上OB,ANLOB,

：.ZBMC=ΛANO=90o,

根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)可知BDLOAf

：.ZBDO=Wo,

在RtZXBQO中，

利用勾股定理得OB=>∕0D2+BD2=√32+42=5,

?：/OBD=NCBM,NBDO=NBMC=90°,

：.40BDSACBM,

同理可證得408QSM

?￡￡_￡￡BD

99MC~ODOA~OBf

BCBO5

.β.一=一=即ππ3BC=5MC,

MCOD3

.β.3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM),

??,當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂直05時，AC+CM最小，

.?.AC+CM最小值為AM如圖所示，

..ANBD

'OA-OBf

.BDC4,24

?*λNkt=詼XoAyl=5X6=y,

24

.?AC+CM最小值g,

即3BC+5AC=5(AC+CΛ∕)=24.

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線

段最短等知識，利用三角形相似得出3BC=5MC,進(jìn)而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本題的關(guān)鍵.

8.(2021?錦州二模)如圖所示，菱形ABC。的邊長為5,對角線OB的長為4花，P為。B上一動點(diǎn)，則

AP+洛OP的最小值為(

)

A.4B.5C.2√5D.3√5

思路引領(lǐng)：如圖，過點(diǎn)A作A”，。C于點(diǎn)”，過點(diǎn)P作PFL。C于點(diǎn)F,連接AC交OB于點(diǎn)J.利用

面積法求出A"，再證明PF=洛0P,利用垂線段最短，可得結(jié)論.

解：如圖，過點(diǎn)A作C于點(diǎn)兒過點(diǎn)P作PFLOC于點(diǎn)F,連接AC交08于點(diǎn)1/.

：西邊形OABC是菱形,

：.ACA-OB,

Λ0y=7B=2√5,CJ=yj0C2-0J2=J52-(2√5)2=√5,

ΛAC=2C7=2√5,

?'AHLOC,

：.OC'AH=^?OB-AC,

.4U14√5×2√5.

..AH=2X-----ζ-----=4,

...PFCJ√5

??smz∕Pdz°iFc=而=近=可'

.?PF=^-OP,

.?AP+^-OP=AP+PF,

"JAP+PF^AH,

，”+絡(luò)。PN4,

.?.AP+韻P的最小值為4,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查胡不歸問題，菱形的性質(zhì)，垂線段最短，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

二.填空題

9.（2022春?廣陵區(qū)期末）如圖，在菱形ABCO中，AB=AC=IO,對角線AC、8。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)M在線

段AC上，且AM=2,點(diǎn)尸為線段8。上的一個動點(diǎn)，則MP+*PB的最小值是.

思路引領(lǐng)：過P點(diǎn)作P4,BC于H,過M點(diǎn)作MALLBC于M如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC,BO

平分∕A8C,AOLBD,再判斷BC為等邊三角形得到∕A8C=/ACB=60°,貝IJNoBC=30°,所以

PH=^BP,則MP+*PB=MP+P”,所以例P+PH的最小值為Λ7N的長，然后利用含30度角的直角三角

形三邊的關(guān)系求出MN即可.

解：過尸點(diǎn)作∕771?8C于”，過M點(diǎn)作A/ML8C于N,如圖，

：四邊形ABCO為菱形，

：.AB=BC,Bo平分NABC,AOYBD,

VΛB=ΛC=lO,

：.AB=AC=BC=XO,

.?ΛABC為等邊三角形，

.?.∕A8C=N4C8=60°,

.?.∕OBC=30°,

：*PH=^BP,

J.MP+^PB=MP+PH,

當(dāng)M、P、”共線時，MP+PH的值最小,

即MP+PH的最小值為MN的長，

,.,AM=2,

ΛCM=10-2=8,

在RtZ?MNC中，YNMCN=60°,

：.CN=∣CΛ∕=4,

：.MN=√3C7V=4√3,

即MP+B的最小值為4√3.

故答案為：4√3.

總結(jié)提升：本題考查了胡不歸問題：利用垂線段最短解決最短路徑問題，把轉(zhuǎn)化為PH是解決問題

的關(guān)鍵.也考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì).

10.（2022春?武漢期末）如圖，團(tuán)ABCQ中NA=60°,AB=6,AO=2,P為邊CD上一點(diǎn),則√5PQ+2PB

最小值為.

思路引領(lǐng)：由直角三角形的性質(zhì)可得。4=紗P,HP=用DH=導(dǎo)DP,則當(dāng)點(diǎn)“，點(diǎn)P,點(diǎn)，三點(diǎn)共線

時，HP+PB有最小值，即√5PC+2PB有最小值，即可求解.

解：如圖，過點(diǎn)P作PHLAC,交40的延長線于，，

.?AB∕∕CD,

.?.∕A=NCO"=60°,

βφ

.HP.LADf

：.ZDPH=30°,

.".DH=^DP,HP=陋DH=5DP,

.√3

,:痘rPD+2PB=2(―PD+PB)=2(HP+PB),

2

當(dāng)點(diǎn)H,點(diǎn)P,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時，4P+P8有最小值，即√5PD+2P8有最小值，

此時：BHlAH,NA=60°,

ΛZABP=30°,

：.AH=YB=3,BH=√3AW=3√3,

則√^7)+2P8最小值為6√3,

故答案為：6√3.

總結(jié)提升：本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

11.(2022春?江漢區(qū)月考)如圖，ZXABC中，AB=AC=10,ZA=30°.BQ是aABC的邊AC上的高，

√3

點(diǎn)P是BO上動點(diǎn)，則T7BP+CP的最小值是

2--------

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)P作PELAB于點(diǎn)E,先在Rt?ΛBD中求出/ABD及B。，再在Rt?BPE中利用sin60o

√3

得到三BP+CP=EP+CP,當(dāng)當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CEj時其取得最小值，最小值為

CE,計算即可求出結(jié)果.

解：過點(diǎn)P作PELAB于點(diǎn)E,

E

Bc

1

在RtZkABD中,NABD=I80°-90°-30°=60°，BD=^AB=5,

在RtZSBPE中，sin60o=磊=亨，

.".EP=苧8P,

√3

：.—BP+CP=EP+CP,

2

當(dāng)C、P、E三點(diǎn)在同一直線上，且CELAB時/8P+CP="+CP取得最小值.

VΛB=AC=10,BD±AC,CElAB,

：?CE=BD=5,

/?

.'.-BP+CP=EP+C尸的最〃、值為5.

2

故答案為5.

總結(jié)提升：此題是胡不歸模型，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，解題

關(guān)鍵是將3BP+CP轉(zhuǎn)化成EP+CP.

2

12.（2022?江北區(qū)開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=亭X-H分別交X軸、），軸于A、B兩

思路引領(lǐng)：先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點(diǎn)8關(guān)于OA的對稱點(diǎn)8,可證

是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=/C,則2BC+4C=2(BC+C”)，即當(dāng)點(diǎn)8,點(diǎn)C,點(diǎn)”

三點(diǎn)共線時，8'C+C”有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

解：’；一次函數(shù)y=?^x-√5分別交X軸、y軸于4、8兩點(diǎn)，

二點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)、B(0,-√3),

.?AO=3,BO=√3,

.,.AB=7AO2+OB2=√9^+3=2√3,

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對稱點(diǎn)B',連接AB,,BC,過點(diǎn)C作CHLA8于H,

又YA0"L88,

ΛBB,=2√3,AB=ΛB'=2√3,BC=B'C,

：.AB=BB'=B'A,

是等邊三角形，

'：AOLBB',

ΛZBAO=30o,

"：CHLAB,

：.CH=^AC,

.?2BC+AC=2(BC+^AO=2(B,C+CH),

當(dāng)點(diǎn)8,點(diǎn)C,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時，8C+C4有最小值，即28C+AC有最小值,

此時，B'HrAB,Z?ABF是等邊三角形，

：.BH=AH=√3,NBBH=30°,

J.B'H=WBH=3,

.?2BC+AC的最小值為6,

故答案為：6.

總結(jié)提升：本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵.

13.(2021秋?縉云縣期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2),P是直線y=√Ir在第一象限

內(nèi)的一個動點(diǎn).

(1)NMoP=.

思路引領(lǐng)：(1)設(shè)PC,√3r),過點(diǎn)P作LX軸交于H,由tanN尸。H=百，則NPOH=60°,即可

求∕MOP=30°；

(2)作M點(diǎn)關(guān)于直線y=√3x的對稱點(diǎn)M,過M作M1NLy軸交于N,連接MM,則有MP+*OP=MP+NP

=MW,此時MPI4。P的值最小.

解：(1)設(shè)P(t,√3r),

過點(diǎn)尸作尸”_LX軸交于H,

：.0H=3PH=√3r,

PU

AtanZPOH=??=√3,

：.ZPOH=60°,

ΛZMOP=30o,

故答案為：30°:

(2)作M點(diǎn)關(guān)于直線產(chǎn)片的對稱點(diǎn)M,過Af作MWLy軸交于M連接MΛΓ,

：.MP=M'P,

VZMOP=30o,

INP二9P,

MP+爭P=M'P+NP=MN,

此時MP+aO尸的值最小，

VMMlOP,∕MOP=30°

：?MG=^OMt

VM(0,2),

：.MG=\,

ΛMΛ∕,=2,

VZOMG=60o,

.?.MN=1,

JON=I,

總結(jié)提升：本題考查胡不歸問題，熟練掌握胡不歸問題的解題方法，軸對稱求最短距離的方法，直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?馬鞍山一模)如圖，AC垂直平分線段80,相交于點(diǎn)0,且OB=OCNBAD=I20°.

(1)ZABC=.

1

⑵E為BO邊上的一個動點(diǎn)，BC=6,當(dāng)ZE+”E最小時BE=.

lD

A

二

B------------------------C

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求得NABG

1

(2)作A關(guān)于08的對稱點(diǎn)W,過A作AG_LA/于G,過點(diǎn)E作EnLA歸于R將一BE轉(zhuǎn)化為EK再

2

11

根據(jù)4￡'+28七=4￡：+/石246,設(shè)46與。8交于￡,BE即為當(dāng)4E+最小時的8E,求出8￡即可.

解：(1)..SC垂直平分線段8D,

.'.AB=AC9

：.ZABD=ZADBf

VZBAD=120°,

.?ZABD=(180o-120o)÷2=30o,

?：OB=OC,OBLOC,

.u.ZOBC=45o,

ΛZAβC=30o+45°=75°,

故答案為：75°；

(2)作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A,,過A作AGl.AtB于G,過點(diǎn)E作EF±A,B于F,

VZABO=30o,

ΛZAtBO=30°,

：.FE=^BE,

1

.'.AE+^BE=AE+FE^AGt

1

設(shè)AG與OB交于￡,5E即為當(dāng)4E+”E最小時的

?.'8C=6,NOBC=45°,

.β.OB=OC=BCcos45o=3√2,

??∕.^OB3√2√3

?COS∕AλBd°F=肅=區(qū)，

：.BA'=2√6,

VZA'BA=60Q,AB=A'B,

...△A2A'為等邊三角形，

：.BG=加=√6,

...,BG4643

?cosz_zΛBozOι===彳，

.?.BE=2√Σ.

故答案為：2√Σ.

總結(jié)提升：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解三角形，解決此題

的關(guān)鍵是作出垂線EF和AG,將三BE轉(zhuǎn)化為EF.

2

15.（2021秋?福清市期末）如圖，AABC為等邊三角形,BO平分/ABC,A4BC的面積為百，點(diǎn)尸為BQ

上動點(diǎn)，連接AP,則AP+*8P的最小值為.

11

思路引領(lǐng)：過A作AF_LC8于E,過點(diǎn)P作PE_LBC于E,故PE=/BP,?AP+^BP=AP+PE^AF,求

出AF即可.

解：過A作AF_LCB于E,過點(diǎn)尸作「E_LBe于E,

:△ABC為等邊三角形，8。平分N48C,

ΛZDfiC=30°,

：.PE=^BP,

：.AP+^BP=AP+PE^AF,

「△ABC的面積為百，

v?-

.?~AC"7=?r/?,

ΛΛC=2,

1L

I-BUAF=√3,

2

ΛΛF=√3,

.,.AP+^BP的最小值為√5.

總結(jié)提升：本題主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊一半，作出垂線尸E,

得至UPE=^BP是解決本題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?亭湖區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZACB=90Q,∕A=30°,點(diǎn)A(-3,0),B(1,

0).根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結(jié)論：在Rt448C中，AB=2BC.請?jiān)谶@一結(jié)論

的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若點(diǎn)。是AB邊上的動點(diǎn)，則的最小值為.

思路引領(lǐng)：作射線AG,使得NB4G=30°,過。作DELAG于E,過C作CFLAG于F,故DE=^AD,

1

故^AD=CD+DE^CF,求jCF即可.

CD+H1

解：作射線AG,使得NBAG=30°

過。作DELAG于E,過C作C尸，AG于F,

：.CD+∣AD=CD+DE》CF,

,.M(-3,0),8(1,0).

.?AB=4,

?.?∕AC5=90°,NA=30°,

：.BC=^AB=2,

：.AC=y∕AB2-BC2=2√3,

,.?ZCAG=ZCAB+ZBAG=60o,

.'.AF=%C=√3>

.?CF=?∕AC2-AF2=3,

...CD+/。的最小值為3.

故答案為：3.

總結(jié)提升：本題主要考查了含30°直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊一半，作出射線AG,使

得∕A4G=30°是本題的關(guān)鍵.

17.(2021秋?宜興市期末)如圖①，在AABC中，NAC8=90°,NA=30°,點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的

BC?

點(diǎn)。重合.連接。E,請你探究：—=-;請?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在AOPM中，

AB-2一

1

NOPM=90°,ZM=30°,若OM=2,點(diǎn)G是。M邊上的動點(diǎn)，則PG+*MG的最小值為.

①②

思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得Ao=BD,BC=BD,貝IJ有AB=2BC;作尸點(diǎn)關(guān)于。例的對稱點(diǎn)P',作PW

11

LPM交于N點(diǎn),交OM于G，點(diǎn)，PG/MG=P'G'+GN2PW,此時PG+*MG的值最小，求出PN的

長即為所求.

解：VZACB=90σ,ZA=30o,

ΛZABC=60Q,

Y點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合，

；?/DBE=∕CBE=3C,

JZA=ZABE,

?.?∕BDE=NC=90°,

IAD=BD,

?/BC=BD,

,AB=2BC,

.BC1

??=一,

AB2

作尸點(diǎn)關(guān)于OM的對稱點(diǎn)P,作PMLpM交于N點(diǎn)，交OM于G點(diǎn),

.?.PG=PG,

VZM=30o,

：.NG=∣G,M,

11

.?.PG+*MG=P'G+G'N2PN,此時PG+*MG的值最小，

'/OM=I,

1

在RtPM中，OP=去OM=1,

.,.PM=√3,

在RtZ?PDM中，PD=WM=胃,

：.PP=√3,

VZP'=30o,

：.PN=?,

在RtZ?PPV中，P'N=?,

13

.?.PG+*MG的最小值為一,

13

故答案為：

22

總結(jié)提升：本題是圖形的折疊變換，熟練掌握折疊的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，正確作出輔助線利

用軸對稱求路線最短是解題的關(guān)鍵.

18.（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=∕-2x+c的圖象與X軸交于A、C兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)β（0,-3）,若P是X軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）在y軸上,連接PD,則C點(diǎn)的坐標(biāo)是,

√2PD+PC的最小值是.

思路引領(lǐng):過點(diǎn)尸作PJLBC于J,過點(diǎn)。作￡>H_L2C于H.根據(jù)PC=近（PD+浮PC）=√2（DP+PJ）,

求出OP+PJ的最小值即可解決問題.

解：過點(diǎn)尸作PJLBC于J,過點(diǎn)。作于H.

；二次函數(shù)y=f-2Λ+C的圖象與），軸交于點(diǎn)8（0,-3）,

?'?c=-3,

.?.二次函數(shù)的解析式為y=∕-2χ-3,令y=0,7-2χ-3=0,

解得X=-1或3,

ΛA(-I,0),C(3,0),

：.OB=OC=3,

VZBOC=90",

：.ZOBC=ZOCB=45o,

,：D(0,1),

ΛOD=LBO=4,

'.'DHl.BC,

：.NDHB=9。°,

ΛD∕7=BD?sin45o=2√Σ,

"：PJlCB,

：.NPJC=9?！?

.'.PJ=辱PC,

.,.√2PD+PC=√2(尸。+乎PC)=√2(DP+PJ),

?/DP+PJ^DH,

.?.DP+Λ∕≥2√2,

.?.DP+R/的最小值為2√L

：.y[2PD+PC的最小值為4.

故答案為:(3,0),4.

總結(jié)提升：本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，

解題的關(guān)鍵是將求√∑PO+PC得最小值轉(zhuǎn)化為求√Σ(DP+PJ)的最小值.屬于中考選擇題中的壓軸題.

19.(2021秋?南海區(qū)期末)如圖，AABC中AB=AC,A(0,8),C(6,0),。為射線Ao上一點(diǎn)，一動

點(diǎn)戶從A出發(fā)，運(yùn)動路徑為AfZ）-C,點(diǎn)尸在Ao上的運(yùn)動速度是在CD上的I倍，要使整個運(yùn)動時間

思路引領(lǐng)：過B點(diǎn)作8”，AC交于”點(diǎn)，交A。于。點(diǎn)，連接C￡>,設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時間為/,在CC上

1ADADΔΠ

的運(yùn)動速度為U,r=t（虧+C。），只需號+CD最小即可，再證明AAOHsAACO,可得￡>//=學(xué),

33§

則當(dāng)8、D、4點(diǎn)三點(diǎn)共線時，此時，有最小值，再由aBQOS△4￡>”，求出。。即可求坐標(biāo).

解：過B點(diǎn)作BHLAC交于，點(diǎn)，交40于。點(diǎn)，連接CQ,

：AB=AC,

：.BD=CD,

設(shè)尸點(diǎn)的運(yùn)動時間為二,在CO上的運(yùn)動速度為V,

5

；點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動速度是在CD上的孑倍，

.AD,CD1"。，「c、

..t=-E~+—=-(-5-+CD),

1vvv-

33

VZAHD=ZAOC=90o,

.,.∕?ADH^∕?ACO,

.AD_DH

AC~CO1

VA(0,8),C(6,0),

ΛOC=6,04=8,

.?.AC=10,

ADDH

?e?1=,

106

：.DH=^-,

?

.,.t=-(DH+CD),

V

當(dāng)8、D、H點(diǎn)三點(diǎn)共線時，∕=*XBH,此時f有最小值,

,:ZBDO=ZADH,

：.ZDBO=ZOAC,

:?4BDOs∕?ADH,

DOOCDO6

，一=—,即—=

BOAO68

9

???。0=/

9

：.D(0,-),

2

總結(jié)提升：本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離和胡不歸求最短距離的方法，三角

形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?無棣縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-χ+4的圖象分別與y軸和X軸交于點(diǎn)A和

1

點(diǎn)、B.若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（O,6√3）,點(diǎn)Q是y軸上任意一點(diǎn)，則^PQ+Q^的最小值為

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)尸作直線尸。與y軸的夾角/。尸。=30°,作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)8,過夕點(diǎn)作8萬

11

LPD交于點(diǎn)E、交），軸于點(diǎn)Q,-PQ^-QB=QE+B'Q=B'Ei此時^PQ+QB取最小值，求出BE即可.

解：過點(diǎn)尸作直線尸。與y軸的夾角No尸。=30°,作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)8,過8點(diǎn)作方從LPO交

于點(diǎn)七、交y軸于點(diǎn)

9：B'ELPD,ZOPE=30°,

1

:?QE=抑2,

YBQ=BQ

1ι

，于。+。8=。石+8。=8￡此時萬0。+。8取最小值，

VZOPD=30o,NPOo=90°,

.?PD=2OD,ZODP=GOQ,

。尸的坐標(biāo)為(O,6√3),

ΛPO=6√3,

：.OD2+(6√3)2=(20。)2,

.?.0Q=6,

Y直線y=-x+4的圖象分別與y軸和X軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)B,

：.A(0,4),B(4,0),

.β.08=4,

.β.08=4,

ΛB,D=10,

?,B'E±PD.NOoP=60°,

ΛZEB,D=30o,

1

：.DE=D=5,

.,.B'E=?∕B'D2-DE2=√102-52=5√3.

?"?^PQ+QB取最小值為5√3,

故答案為：5√3.

總結(jié)提升：本題考查胡不歸求最短路徑，熟練掌握胡不歸求最短距離的方法，通過構(gòu)造直角三角形及特

殊角，將之PQ+QB的系數(shù)2進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

21.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）如圖，團(tuán)ABCO中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,P為邊CQ上的一動

思路引領(lǐng)：過點(diǎn)尸作A。的垂線交Ao延長線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCz）是平行四邊形，可得A2〃C￡>,

所以NEZ）P=∕D4B=30°,得EP=*P,要求P8+*P。的最小值，即求PB+EP的最小值，當(dāng)點(diǎn)B、

P、E三點(diǎn)共線時，P8+EP取最小值，最小值為BE的長，根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可

求出PB+*O的最小值.

解：如圖過點(diǎn)P作AC的垂線交AC延長線于點(diǎn)E,

E..-

Y四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

二NEOP=NAM8=30°,

：.EP=^pP,

要求PB+^PD的最小值，即求PB+EP的最小值，

當(dāng)點(diǎn)8、P、E三點(diǎn)共線時，

PB+EP取最小值，最小值為BE的長，

：在RtZ?ABE中，NEAB=30°,AB=S,

ΛBE=∣ΛB≈4.

故答案為：4.

總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握30度角所對直角邊等于斜邊的一半.

22.（2022秋?江夏區(qū)校級期末）如圖在AABC中.N8=45°.A8=4.點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn).?BP+2AP

有最小值時，NBAP的度數(shù)為.

BP

11

思路引領(lǐng)：以BC為邊,作NCM=30°,過點(diǎn)P作PHLBF于從則BP+2AP=2LBP+AP)=^(PH+AP)f

故當(dāng)4、P、”三點(diǎn)共線時，P"+AP最小，從而解決問題.

解；如圖，以BC為邊，作NCBF=30°,過點(diǎn)尸作/V7,B尸于”，

1

.?.PH=-BP,

11

：.BP+2AP=2(-BP+AP)=?<,PH+AP),

22

.?.當(dāng)4、P、”三點(diǎn)共線時，PH+AP最小，

過點(diǎn)A作AGj_8/于G,交BC于P,

在RIZ?ABG中，NABG=30°+45°=75°,

ΛZBAG=15°,

.?.當(dāng)B75+2A尸有最小值時,NBAP的度數(shù)為15°,

故答案為：15°.

總結(jié)提升：本題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，胡不歸問題，垂線段最短等知識，根據(jù)題意，

作輔助線，將BP+2AP的最下值轉(zhuǎn)化為IG的長是解題的關(guān)鍵.

2

23.(2022?東陽市開學(xué))如圖：二次函數(shù)產(chǎn)一∣∕+3x+2的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))

與)，軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)￡>.

(1)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使BP-CP的值最大時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+^PD的值最小時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

思路引領(lǐng)：(1)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)為C',直線BC'與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；

(2)如圖，連接A。，DB,過點(diǎn)Z作AFLBD于點(diǎn)凡對稱軸交X軸于點(diǎn)E,連接4P,過點(diǎn)尸作PHJ_

BD于點(diǎn)、H,設(shè)AF交OE于點(diǎn)T.求出點(diǎn)T的之比，證明P"=啜PD,把問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短即可解

決問題.

解：(1)Vy=-5(?-I)2+6,

L

???拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)(1,6),

令y=0,-I(X-I)2+6=0,解得X=-I或3,

.?.A(-1,O),B(3,0),

Q

令X=0,得到尸2,

9

：.C(0,-),

2

9

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)為C',則U(2,一),

2

直線BC'與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,

9

設(shè)直線BC'的解析式為y=fcc+6,則+-

2fc2

-2-

-272

.?.直線BC1的解析式為)=一%十號,

當(dāng)x=l時，y=9,

：.P(1,9).

故答案為：(1,9)；

（2）如圖，連接AD,DB,過點(diǎn)Z作AFJ_8力于點(diǎn)兒對稱軸交X軸于點(diǎn)E,連接4P,過點(diǎn)尸作P，_L

8。于點(diǎn)從設(shè)A尸交。E于點(diǎn)7.

VD(1,6),B(3,O),A(-1,0),

：.AD=DB=√22+62=2√iθ,

?：NTAE=NEDB,

1

.".tanZTAE=tan/EDB=?,

.ET1

??=一,

AE3

：,ET=

.?PH=DP?sinZEDB=嚕PD,

；Λn

PA+^?PD=AP+PH^AF,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)T重合時，%+嚅Pn的值最小，此時尸（1,|）.

故答案為：（1,~）.

總結(jié)提升：本題考查胡不歸問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最短，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

24.（2021秋?北陪區(qū)校級期末）如圖，在菱形4BC。中，NBAD=I20°,CD=4,M,N分別是邊AB,

AD的動點(diǎn)，滿足AM=OM連接CM、CN,E是邊CM上的動點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連

1

接AE、BE、NF,當(dāng)ACFN面積最小時，］BE+AE的最小值為.

思路引領(lǐng)：連接MN、AC,由菱形ABCC的性質(zhì)和NBA。=120°得至IJAB=A。=CZXZBAC=ZDAC

=/AOC=60°,從而得到AAOC和aABC為等邊三角形，然后得到AC=OC,然后結(jié)合AM=Z)N得

證WC絲ZMWC,得到CM=CN、/DCN=NACM,從而得到∕MCN=60°,得到ACMN為等邊三

角形，由點(diǎn)F是CM上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)得到SACFN=?CMW,所以ACMN的面積最小時，ACFN

的面積也最小，從而有當(dāng)CN和CM最短，BRCN±AD.CM_LAB時ACFN的面積最小，取BE的中點(diǎn)

為點(diǎn)G,連接MG,由AABC為等邊三角形和。WLAB得到點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)、AE=BE,進(jìn)而有MG=

%E=誑,所以%E+AE=∣AE,最后