第十二章 非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜

第十二章

非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜

線性電路中若有多個(gè)不同頻率的正弦電源，或者線性電路中含有非正弦周期電源，則電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的電流和電壓響應(yīng)將是非正弦周期函數(shù)，稱這種電路為非正弦周期電流電路。

12.1

非正弦周期信號(hào)

12.2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

12.3有效值、平均值和平均功率

12.4非正弦周期電流電路的計(jì)算

12.5例題非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)：

不是正弦波

按周期規(guī)律變化概述12.1非正弦周期信號(hào)生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通常會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變動(dòng)的電源和信號(hào)。例如：實(shí)際的交流發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓波形；收音機(jī)、電視機(jī)收到的信號(hào)電壓或電流；自動(dòng)控制、電子計(jì)算機(jī)等技術(shù)領(lǐng)域中用到的脈沖信號(hào)；電路中存在非線性元件時(shí)；非正弦電流可分為：周期和非周期的下面舉例說明半波整流電路的輸出信號(hào)：非正弦周期交流信號(hào)示波器內(nèi)的水平掃描電壓：周期性鋸齒波交直流共存電路：+UCC

Es

uCtUCucuO=UmsinωtCuO計(jì)算機(jī)內(nèi)的脈沖信號(hào):Tt本章主要討論在非正弦周期電壓、電流或信號(hào)作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析和計(jì)算方法，并簡要介紹信號(hào)頻譜的初步概念根據(jù)疊加定理，當(dāng)電路中包含有多個(gè)不同頻率正弦電源（其中可含直流電源）時(shí)，可分別求出各單一頻率正弦電源及支流電源單獨(dú)作用時(shí)電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后疊加。應(yīng)注意以下問題：求各單一頻率穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，可分別采用相量法。不同頻率電源作用時(shí)，電感和電容的阻抗是不同的。直流電源作用時(shí)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路。不同頻率正弦量的相量求和是無意義的，疊加只能對瞬時(shí)表達(dá)式進(jìn)行。12.2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式設(shè)周期函數(shù)的周期T，且滿足狄氏條件（在一周期內(nèi)絕對可積、在一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值、在一周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)），則可展開成級數(shù)：基波（和原函數(shù)同頻）二次諧波（2倍頻）

直流分量高次諧波22t)1t=)10wAm++++sin(2fwm+fwsin()(Aatf…..注：任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開為傅里葉級數(shù)：周期函數(shù)傅里葉級數(shù)其中：a0為

f(t)的恒定分量（平均值〕；為

f(t)的基波分量，基波頻率與f(t)的頻率相同；Ak是為

f(t)的

k次諧波的振幅，

k

是k次諧波的初相位，k次諧波的頻率是基波頻率的k倍。傅立葉級數(shù)是一個(gè)無窮三角級數(shù)周期函數(shù)教材p174(12-3)式求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函數(shù)的展開式。

周期性方波的分解tt基波t三次諧波五次諧波七次諧波例uUmtππ23πω0直流分量基波直流分量直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波頻譜圖時(shí)域時(shí)域周期性函數(shù)頻域離散譜線頻域例：電路如圖，已知，求

i0。解：us

單獨(dú)作用時(shí)電路相量模型如圖。解得:is

單獨(dú)作用時(shí)電路相量模型如圖。解得:根據(jù)疊加定理，有：i'0的周期：i''0的周期：i0的周期T是T1和T2的最小公倍數(shù)：12.3有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流和電壓的有效值周期為T的非正弦周期電流i(t)的有效值為：若i(t)表為恒定分量和L個(gè)不同頻率正弦分量的和：其中：ak

(k=1,2,,)均為正整數(shù)，=2/T。則：考慮根號(hào)內(nèi)函數(shù)：展開后有如下項(xiàng)：于是有：同樣可推得：結(jié)論：周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。非正弦周期電流的平均值非正弦周期電流的平均值=此電流絕對值的平均值設(shè)非正弦周期電流電路中某一單口網(wǎng)絡(luò)的端電流和端電壓表達(dá)式為：其中：ak

(k=1,2,,)均為正整數(shù)。i和u

的周期為T=2/。非正弦周期電流電路的平均功率將被積函數(shù)展開后，以上積分式可分解成如下積分項(xiàng)：則網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率為：平均功率等于直流分量構(gòu)成的功率和各次諧波分量構(gòu)成的平均功率之和。得：平均功率的計(jì)算

結(jié)論：

平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率積分結(jié)果整理后得：P=U1I1COS1+U2I2COS2=538.4W例題1中：例1：單口網(wǎng)絡(luò)如圖，已知求單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率P及電流和電壓的有效值。解：例2：電路如圖，已知求i、I及負(fù)載吸收的平均功率P。解：非正弦周期電源作用下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解的一般步驟：根據(jù)傅立葉級數(shù)將非正弦周期電源分解成直流分量及各次諧波分量，相當(dāng)于在電路輸入端施加多個(gè)等效電壓源串聯(lián)。分別計(jì)算個(gè)各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)電路的響應(yīng)分量。由于電路是線性的，根據(jù)疊加原理，上述響應(yīng)分量的代數(shù)和就是非正弦周期電源作用下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。12.4非正弦周期電流電路的計(jì)算注意問題：在直流電源激勵(lì)時(shí)，電感器L短接，電容器C開路。在k次諧波激勵(lì)時(shí)，感抗為，容抗為感納為容納為

2.利用正弦交流電路的計(jì)算方法（用疊加原理），對各諧波信號(hào)分別計(jì)算。（注意對交流各諧波的

XL、XC不同，對直流C

相當(dāng)于開路、L相于短路。）1.利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成若干種頻率的諧波信號(hào)；3.將以上計(jì)算結(jié)果，用瞬時(shí)值疊加。非正弦周期電流的線性電路計(jì)算要點(diǎn)：1.最后結(jié)果只能是瞬時(shí)值疊加。不同頻率正弦量不能用相量相加。2.不同頻率對應(yīng)的

XC、XL不同。...計(jì)算非正弦周期交流電路應(yīng)

注意的問題12.5例題無源網(wǎng)絡(luò)例1：如圖所示，已知求該電路的有功功率P。無源網(wǎng)絡(luò)解：因?yàn)橹挥型l率的電壓和電流諧波分量才能構(gòu)成平均功率，所以--------例2：如圖所示RL串聯(lián)電路，若輸入電壓且基波頻率為50Hz，求輸出電壓。解：（1）輸入電壓已分解為傅氏級數(shù)，即（2）計(jì)算各分量單獨(dú)作用時(shí)的輸出電壓。

單獨(dú)作用時(shí)，因?yàn)橹绷麟娐分须姼邢喈?dāng)于短路，所以：

單獨(dú)作用時(shí)，應(yīng)用相量法可得：式中為基波感抗，所以

單獨(dú)作用時(shí)，應(yīng)注意三次諧波感抗：即三次諧波感抗為基波感抗的3倍，由此可推得k次諧波感抗為基波感抗的k倍。應(yīng)用相量法可得：所以（3）將所求得的輸出電壓各諧波分量瞬時(shí)值相疊加得：注意：由于電感電容的存在，因此電路對不同頻率的諧波的阻抗不同，可稱之為諧波阻抗；在最后結(jié)果時(shí)必須用待求量的各次諧波的瞬時(shí)值相疊加，而絕不可把各次諧波的相量相疊加。例3：設(shè)如圖（a）所示電路中的電壓且已知試求各支路電流及支路吸收的平均功率。（a）解：題目已給定非正弦周期電壓的傅立葉級數(shù)展開式，可直接進(jìn)行計(jì)算。直流分量單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖（b）所示。按此電路可計(jì)算各支路電流的直流分量（b）基波單獨(dú)作用時(shí)的相量模型如圖（c）所示，用相量法計(jì)算得各支路電流基波分量的相量：（c）（d）三次諧波單獨(dú)作用時(shí)的相量模型如圖（d）所示，用相量法計(jì)算把各支路電流的各諧波分量瞬時(shí)值進(jìn)行疊加得最終結(jié)果：

支路吸收的功率：

支路的平均功率還可以這樣計(jì)算：因?yàn)樵撝返钠骄β蕦?shí)際上就是耗能元件吸收的功率：所以計(jì)算結(jié)果與上面一致，出現(xiàn)的差值是由舍入誤差引起的，是允許的。例4：電路如圖所示，已知電流源電壓源電流電阻R中流過的直流電流為0.5A（方向如圖所示）。試求R，L，，的值及上的電壓。解：根據(jù)已知條件可見，電流與電壓源中的基波分量同頻同相，而二次諧波分量為零。這說明支路對中的基波頻率發(fā)生串聯(lián)諧振，而回路對二次諧波頻率發(fā)生并聯(lián)諧振。因?yàn)橹穼ń穷l率發(fā)生串聯(lián)諧振，所以因?yàn)榛芈穼Χ沃C波角頻率發(fā)生并聯(lián)諧振，所以回路的等效電容量而解得當(dāng)中的基波分量單獨(dú)作用時(shí)，支路發(fā)生串聯(lián)諧振，其等效電路如圖（a）所示。（a）圖中所以此時(shí)，原電路圖的