湖北省恩施州高中教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

恩施州高中教育聯(lián)盟2023年秋季學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)命題單位：恩施州高中教育聯(lián)盟命題人：利川一中董坤吳周倫考試滿分：150分考試用時：120分鐘?？荚図樌⒁馐马棧?．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（）A．0B．1C．D．2．已知集合，則（）A．B．C．D．3．設(shè)為橢圓的兩個焦點，斜率不為0的直線過交橢圓于兩點，則的周長是（）A．25B．20C．15D．104．若是相互獨立事件，但不是互斥事件，則事件的概率是（）A．B．C．D．5．如圖，這是一半徑為的水輪示意圖，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時針轉(zhuǎn)動一圈，若當(dāng)水輪上點從水中浮出時（圖中點）開始計時，則（）A．點距離水面的高度與之間的函數(shù)關(guān)系式為B．點第一次到達(dá)最高點需要C．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有的時間，點距離水面的高度不低于D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動時，點在水面下方，距離水面6．已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（）A．B．C．D．7．在中，，將沿翻折，使，則平面與平面夾角的余弦值是（）A．B．C．D．8．如圖，已知雙曲線的左焦點為，右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列選項正確的有（）A．若，則有最小值3B．若，則有最大值1C．若，則D．若，則10．如圖，在棱長為2的正方體中，在線段（含端點）上運(yùn)動，分別是的中點，則下列判斷正確的是（）A．B．與所成角的余弦值是C．到直線的距離不是定值D．三棱錐的體積為11．已知拋物線的焦點為是拋物線上兩點，點，下列說法正確的有（）A．的準(zhǔn)線方程為B．若，則線段的中點到軸的距離為3C．的周長的最小值為D．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切12．已知平面內(nèi)一點在圓上，分別過定點的兩條直線與圓相交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．動點的軌跡是除去點的一個圓B．的最大值是C．點到直線的距離的最小值為D．動點的軌跡與圓一定沒有交點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的定義域為________．14．已知數(shù)列滿足，則________．15．已知雙曲線為坐標(biāo)原點，不經(jīng)過點的直線交雙曲線于兩點，且直線的斜率之和為0，則的斜率為________．16．如圖，在中，，過的中點的動直線與線段交于點，將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為（）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）2023年12月21日，第十四屆學(xué)校文化論壇在某市舉行，志愿者的服務(wù)工作是會議舉辦的重要保障．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名志愿者候選人的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0．3，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，并估計這100名候選者面試成績的第25百分位數(shù)．（2）現(xiàn)從以上各組中采取按比例分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的志愿者．現(xiàn)計劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機(jī)抽取2名作為組長．求選出的2人來自不同組的概率．18．（12分）已知拋物線，點在上．（1）求的方程；（2）若點是的焦點，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，求的最小值．19．（12分）在銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍．20．（12分）已知在非零數(shù)列中，，數(shù)列的前項和．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）求數(shù)列的通項公式．（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．21．（12分）在四棱錐中，四邊形為菱形，，且為的中點，為的中點，．（1）證明：平面．（2）若不是的中點，且直線與平面所成角的正切值為，求的值．22．（12分）已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其內(nèi)切．（1）求動圓圓心的軌跡方程．（2）當(dāng)過點的動直線與圓心的軌跡相交于兩不同點時，在線段上取點，滿足，則點是否在某條定直線上？若在，求該直線的方程；若不在，請說明理由．恩施州高中教育聯(lián)盟2023年秋季學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：18ACBBDBCD二、多選題：912BCDABBCABD12．解：因為，即的斜率存在，所以直線的方程不能為，由圓的定義可知動點的軌跡是除去點的一個圓，選項A正確．設(shè)，則，則的最大值是，選項B正確．點到直線的距離的最小值為，選項C錯誤．不經(jīng)過點的動點的軌跡方程為，設(shè)圓心為，兩圓沒有交點，選項D正確．答案選ABD．三、填空題：13．14．15．16．16．解：中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，得．如圖1，以底面點為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點，設(shè)點，翻折后點的投影在軸上，即，由，根據(jù)兩點間距離公式，可得，整理為．圖1圖2如圖2，在翻折過程中，作于點，則，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又動點在線段上，設(shè)，所以，且．由，得，又因為，對應(yīng)的的取值為，即，所以．故斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）經(jīng)分析可知，為時所求值最大．設(shè)，則，所以即，斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．四、解答題：17．解：（1）由題意可知，解得因為，設(shè)第25百分位數(shù)為，則，解得，所以第25百分位數(shù)為63．（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，和的頻率比為，在和中分別選取1人和5人，分別編號為和1，2，3，4，5，則在這6人中隨機(jī)抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有，，共15個，即，記事件“2人來自不同組”，則包含的樣本點有，共5個，即，所以．18．解：（1）因為點在上，所以，即．（2）設(shè)，直線的方程為（直線斜率存在且不為0）．取方程得，所以．同理，直線與的交點滿足．由拋物線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，等號成立．19．解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以．（2）在銳角中，，記的面積為．由正弦定理得，即．所以．（或因為在銳角中，，所以，解得，則，故．20．（1）證明：因為在非零數(shù)列中，，兩邊同時除以，可得，所以．又，所以，所以是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列．（2）解：因為數(shù)列的前項和為，所以，當(dāng)時，，又對也成立，所以．（3）解：由（1）可知，，又由（2）可知所以，可知為等差數(shù)列，所以．21．（1）證明：設(shè)的中點為，連接（圖略），則，又，所以，即為平行四邊形，即，又平面平面，所以平面．（2）解：不妨設(shè)與平面所成的角為，則，即．如圖，連接．易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則即令，得平面的一個法向