2023年陜西省延安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年陜西省延安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},則（CRA）∩B=（）

A.{-1,1}B.{-2,-1）

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2）

2.（5分）已知復(fù)數(shù)zι=2+i,z2=7+2i,則氏一生|=（）

z2

A.1B.2√2C.2D.√5

3.（5分）正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為√IL則其體積為（）

28

A.28B.—C.32D.24

3

4.（5分）設(shè){〃”}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則'Z<-2”是“對任意的正整數(shù)

n,α2"-ι+"2"<0''的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）如圖，在正方體ABeo-AIBICIDI中，P是線段CZh上的動點(diǎn)，則（）

A.AP〃平面BC1。B.Ap〃平面AlBel

C.APJ_平面AIBDD.AP_L平面BBlDl

6.（5分）冶鐵技術(shù)在我國已有悠久的歷史，據(jù)史料記載，我國最早的冶鐵技術(shù)可以追溯到

春秋時(shí)代已知某鐵塊的三視圖如圖所示，若將該鐵塊澆鑄成一個(gè)鐵球，則該鐵球的表面

積為（）

2

2

側(cè)視

圖

2

2

俯

圖

視

233

202B24

A.c?赤D.4VTT

7.（5分）在三棱錐A-BCD中，已知43_1_平面3C。，BC.LCD,若AB=2,BC=CD=Af

則AC與BO所成角的余弦值為（）

√152√2√10√3

A.——B.——C.—D.一

5353

8.（5分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,ca>h,Cos(A-B)=*,a=

10,且CoSC=I則AABC的面積為（）

1515√715√7

A.B.-------C.-------D.15√7

442

9.（5分）在如圖所示的圓臺OOi中，AC為圓。的一條直徑，3為圓弧AC上靠近點(diǎn)C的

一個(gè)三等分點(diǎn)，若OiALOcOιA=OιC=2√2,則點(diǎn)A到平面CBOx的距離為（）

2√72√21

A.一B.-------C.D.-------

7777

10.(5分)設(shè)a=3eS,b=e°?6,c?=L6,則（)

A.a<b<cB.c<h<aC.h<a<cD.h<c<a

11.（5分）在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱ABC-AlBa展開，得到的平面圖如

圖所示.其中AB=4,AC=3,BC=AAI=5,M是BBi上的點(diǎn)，則在直三棱柱ABC-AiBiCi

中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AM與Ael是異面直線

B.AClAiM

C.平面ABlC將三棱柱截成一個(gè)五面體和一個(gè)四面體

D.4M+MC的最小值是2低

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=Acos（2x+φ）-I（A>0,0<φ<π）,若函數(shù)y=?f（X）I的

部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)g（X）=ASin（Aχ-φ）,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)g（%）的圖象關(guān)于直線X=今對稱

TC

B.函數(shù)g（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（§,0）對稱

TlTl

C.函數(shù)g（X）在區(qū)間［0,上的減區(qū)間為［0,—］

Tl

D.函數(shù)gG）的圖象可由函數(shù)y=∕（x）+1的圖象向左平移Z個(gè)單位長度得到

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）如圖，梯形ABCQ是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中NABC=45°,

AB=AO=I,DClBC,則原圖形的面積為.

14.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xθy中，已知向量α=（1,2）,b=（-2,-1）,試寫一個(gè)

非零向量C=,使得α?c=b?c.

15.（5分）己知數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為即,且2S"=34"-2n,若所>560,則正整數(shù)機(jī)的

最小值是.

16.（5分）在棱長為2的正方體A8C。-AIBICIDI中,N為BC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M在平面DCCiDi

內(nèi)運(yùn)動時(shí)，有MN〃平面AI8。，則線段MN的最小值為.

三、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)如圖，在四棱錐。中，底面ABCo是矩形，雨，平面ABC7λPA=AD

=1,AB=√3,尸是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CD

(1)求四棱錐P-A8C。的表面積；

(2)求證：PELAF.

18.(12分)已知數(shù)列｛“"｝滿足“"+1+如=2"+5(n∈N*),且αι=3.

(1)求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

?幾?;?

(2)數(shù)列｛為｝滿足為=’一,若bι?b2?b3?以=3(AeN*),

JOg(ZI+i)α7l,n≥2,TlwN*

求及的值.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AIBlCl中，四邊形AAICIC是邊長為4的菱形，AB=

BC=√∏,點(diǎn)力為棱AC上一動點(diǎn)(不與A,C重合)，平面BlB力與棱4C∣交于點(diǎn)E.

(1)求證：BBi//DEi

ΛΓ)3

(2)若二二:，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求

AC4

直線AB與平面BlBDE所成角的正弦值.條件①平面ABC，平面AAICIC;條件②/AiAC

=60°；條件③AiB=√ΣT.

注：若選擇多種組合解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.（12分）如圖，在三棱錐A-BC。中，Z?ABC是正三角形，平面ABCL平面BCC,BD

LCD,^E,F分別是BC,OC的中點(diǎn).

（1）證明：C￡>_L平面AEE

（2）若/88=6（）°,點(diǎn)G是線段Bo上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)G運(yùn)動到何處時(shí)，平面AEG

與平面AeQ所成銳二面角的余弦值最大.

21.（12分）圖1是直角梯形A8CQ,AB//CD,ZD=90o,四邊形ABCE是邊長為2的菱

形,并且∕BCE=60°,以BE為折痕將48CE折起,使點(diǎn)C到達(dá)Cl的位置,且AcI=√6,

如圖2.

（1）求證：平面8。E，平面AB￡￡>；

√15

（2）在棱DCl上是否存在點(diǎn)P,使得P到平面ABC?的距離為《一?若存在，求出直線

EP與平面ABCi所成角的正弦值.

圖1圖2

4

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=2加x+4,g(x)=x+-÷3.

(1)證明：f(x)<g(x)；

,1

(2)設(shè)方程/(x)=F有兩個(gè)實(shí)根Xi,X2(OVXlV雙)，求證：—<rι<l<x2<2.

2023年陜西省延安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={x∣x<-4或x>l},B={-2,-1,1,2},則（CRA）∏B=（）

1.1）B.{-2,-1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2}

【解答】解：：A={x|x<-4或x>l},.?.CRA={X∣-4WXW1},

二（CRA）CB={-2,-I,1}.

故選：C.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)zι=2+i,Z2=-l+2z,則IZl-Ill=（）

A.IB.2√2C.2D.√5

.*?IZj----?I——■∣2+i+i∣-2>∕2.

故選：B.

3.（5分）正四棱臺的上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為√∏,則其體積為（）

A.28C.32D.24

【解答】解：如圖所示，正四棱臺中，。。1是高，

連接OB,OiBi,設(shè)BIE_LO2,垂足為E,

顯然OB=i√42+42=2>∕2,OIBl=^√22+22=V2,

2

該正四棱臺的高為OOi=B1E=Jll-（2√2-√2）=3,

1

，正四棱臺的體積卜=?×（22+2×4+42）×3=28.

故選：A.

4.(5分)設(shè)｛.｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則％<-2”是“對任意的正整數(shù)

n,a2n-l+α2n<0,'的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：因?yàn)椤?"-1+。2”<0,

2n22n1

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a1(q-+q-)<0,

即/(,,^1)(q+↑)<0,所以q∈(-8,-1),

故''qV-2”是“對任意的正整數(shù)〃，"2".|+。2"<0”的充分不必要條件.

故選：B.

5.(5分)如圖，在正方體ABCQ-AIBICIQI中，P是線段CQI上的動點(diǎn)，則()

A.AP〃平面BCiOB.A尸〃平面48。

C.APj_平面AiBOD.APJ_平面BBlDl

【解答】解：如圖，正方體ABeQ-4BιCiQi中，由AAl與CCl平行且相等得平行四邊

形ACelA1,

AiCi//AC,由ACc平面AlBC1,AlCIU平面CIB由,

所以AC〃平面AlBC同理AOi〃平面AlBC

而AOi,AC是平面A。IC內(nèi)兩條相交直線，

因此平面AoIC〃平面AIBC1,又APU平面ADC,

所以AP〃平面AlBCi,

故選：B.

6.（5分）冶鐵技術(shù)在我國已有悠久的歷史，據(jù)史料記載，我國最早的冶鐵技術(shù)可以追溯到

春秋時(shí)代已知某鐵塊的三視圖如圖所示，若將該鐵塊澆鑄成一個(gè)鐵球，則該鐵球的表面

積為（）

2

側(cè)視圖

4

c?樂D.4VTT

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為四面體A8CD,其中正方體的棱長為2,

Il4

設(shè)四面體ABCD外接球的半徑為r,由VEX*x2x2x2=∣πr3,解得r=??

?7Γ

得4斤

，該鐵球的表面積為S=4π∕=4πx

故選：D.

7.（5分）在三棱鏈A-BC。中，已知ABJ_平面BCD,BCLCD,若AB=2,BC=CD=4,

則AC與BD所成角的余弦值為（）

√15√3

D.

3

【解答】解：如圖，取BC，AB,AO的中點(diǎn)E,F,G連接FG,EF,EG,

?'EF∕∕AC,FG//BD,

：.NEFG（或其補(bǔ)角）即為AC與所成的角.

平面BCD,

：.ABLBC,

：.AC=2√5,則EF=√5,

VBClCD,BD=4√2,FG=2√2.

取BO的中點(diǎn)H,連接GH,EH,

J.HG//AB,

."G，平面BCD,

11

HG1.EH,又G”=*?IB=LEH=WCD=2,

：.EG=√G"2+E"2=√5,

222__

(√g)+(2√?-(√?國

ΛCOSZ-EFG=

2×vf5×2τ∕25?

.?.AC與8。所成角的余弦值為厚.

故選：C.

8.(5分)在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,a>b,CoSG4-B)J〃=

Ql

10,且CoSC=Il,則AABC的面積為()

1515√715√7

A.—B.C.-------D.15√7

442

31

【解答】解：?.ZosC=

32,

.*.cos(A+B)=-cosC=-sin(A+8)=

1

又YcosQl—B)=?,a>b,

ΛA>B,

Λ0<A-B<π,

?*?si∏(√4—B)—&，

?cos2B—cos[(√4+8)-(√4-B)]=一×θH—X:=*

?4O?LΛOO

因?yàn)镃OS28=1-2sin2B=?,

O

..2n_7,_√7?_3?，一?W?-Q31,33√7-5√7

??SLTIΔB—"τ∑^SiTIB=~τ^fcosB=?,siτιA=SITI(B+C)=-?-XZ+9XxZ??="τz^?

JLo1T*T4T?Δ1?A>?O

αb

?-;=~;>'

smASinB

?'?O=8,

???SΔΛBC=；X8X1OX婆=苧.

故選：B.

9.（5分）在如圖所示的圓臺OOi中，AC為圓O的一條直徑，B為圓弧AC上靠近點(diǎn)C的

一個(gè)三等分點(diǎn)，若OiALOlGOlA=OlC=2√Σ,則點(diǎn)A到平面CBOi的距離為（）

2√72√21

A.一B.一C.—D.-------

7777

【解答】解：如圖，連接AB，BC,00?,BO,

因?yàn)镺lA_LOIC,OlA=OIC=2√Σ

所以AC=4,OOl=2,

因?yàn)锽為圓弧AC上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn),

所以NBoC=卷NBAC=N

?。

因?yàn)锳C為圓。的一條直徑,

所以NABC=}AB=2√3,BC-2,

因?yàn)?。?，底面48。,

所以三棱錐Oi-4BC的體積V=∣×∣×2√3×3X3=警,

因?yàn)椤?是圓01的圓心，A,B,C都在圓。上，

所以O(shè)IA=OIC=OIB=2√Σ,

因?yàn)椤?8=2或，O∣C=2√2,BC=2,

所以SΔO1BC=I×2×J(2√2)2-12=√7,

設(shè)點(diǎn)A到平面CBol的距離為d,

由等體積法可得:X√7Xd=隼，

解得d=孥，

故選：B.

10.(5分)設(shè)α=3e°3,?=eα6,C=1.6,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【解答】解：設(shè)f(x)=ex-X-1,則/(x)=ex-1,

當(dāng)XVo時(shí)，f(x)<0,/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，當(dāng)1>0時(shí)，f(χ)<0,/(x)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x≠0時(shí)，f(X)>f(O)=0,即ex>x+?,

所以a=3e03>3X(-0.3+1)=2.1,?=e0,6>0.6+l=1.6,所以c=1.6最小，

be°?6e0*9e

又因?yàn)椤?~~~——--<-<1,所以b<a.

a3e-0?333

綜上可知，CVbVa.

故選：B.

11.(5分)在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱ABC-4B∣C∣展開，得到的平面圖如

圖所示.其中AB=4,AC=3,8C=A4ι=5,M是BBI上的點(diǎn)，則在直三棱柱ABC-AiBiQ

中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.AM與4Cι是異面直線

B.AClAiM

C.平面ABlC將三棱柱截成一個(gè)五面體和一個(gè)四面體

D.4M+MC的最小值是2√Σδ

【解答】解：由題設(shè)，可得直三棱柱，如圖.

由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知AM與AICI是異面直線，A項(xiàng)正確；

因?yàn)锳Al_LAC,BA±AC,且AAmBA=A,所以AC_L平面AAIBlB,

又AIMU平面AAlBl8,故AC_LAiM,B項(xiàng)正確；

由圖知，平面ABlC將三棱柱截成四棱錐Bi-ACCIAI和三棱錐Bl-ABC,一個(gè)五面體和

一個(gè)四面體，C項(xiàng)正確：

將平面A41B∣B和平面CCIBl8展開，展開為一個(gè)平面，如下圖，

當(dāng)Aι,M,C共線時(shí)，AlM+"C的最小值為。項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,O<φ<π),若函數(shù)y=[f(X)|的

部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)g(X)=Asin(Ar-φ),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)g(X)的圖象關(guān)于直線X=今對稱

TT

B.函數(shù)g(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(手，0)對稱

TCTl

C.函數(shù)g(X)在區(qū)間［0,上的減區(qū)間為［0,—］

Tl

D.函數(shù)g(X)的圖象可由函數(shù)y=∕(x)+1的圖象向左平移二個(gè)單位長度得到

6

【解答】解：?.?｛［+；二:，.?,A=2,'/(X)=2cos(2x+φ)-1,?f(0)∣=∣2cosφ-

—?—1

7TF

1∣=2,0<φ<π,?'?φ=芋，

:?g(x)=2Sirl(2x—?-),令2x—?-=?ττ+?,?EZ,

當(dāng)k=-1時(shí)，X=??,

???函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸方程為R=金，,A正確；

令2x-?-=Icn(A∈Z),則X=為+(Λ∈Z),

∏

,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(］,0)對稱，正確；

令—+2ZITW2Λ-≤2Zττ一｝?∈Z,則—+左TCWXWklT+?^?,ZEZ,

nTC

令4=0,則函數(shù)g(?)在區(qū)間［0,上的減區(qū)間為［0,石］,,C正確；

f(x÷^)+1=2cos(2x+^+?)=-2cos2x≠g(X),，。錯(cuò)誤.

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)如圖，梯形A5CO是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中NA3C=45°,

A8=AO=1,DCLBC,則原圖形的面積為2+g.

—Z—

【解答】解：因?yàn)锳B=AC=I,NA8C=45°,DCLBC,

所以8C=l+￥，A'D'=?,A'B'=2,B'C'=1+?)

所以S=寺(A'D'+B'C')?A'B,=∣×(2+^)×2=2+^.

14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xθy中，已知向量ɑ=(1,2),b=(,-2,-1),試寫一個(gè)

非零向量工=(-1,1)(答案不唯一)，使得＞"=b?c.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縕=(1,2),e=(-2,-1),

所以向量卷不關(guān)于原點(diǎn)對稱，只要取向量左弧所在直線構(gòu)成的角平分線上的向量均滿足

題意，

不妨取K=(-1,1).

故答案為：(-1,1)(答案不唯一).

15.(5分)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為防，K2S∏=3an-2n,若加＞560,則正整數(shù)Zn的

最小值是6.

【解答】解：?.?2S"=3SL2"①，

二當(dāng)”=1時(shí),2S∣=3a?-2,解得αι=2,

當(dāng)〃22時(shí)，2S"∣=3z一I-2(〃-1)②，

由①-②得4"=3。"-I+2,即“"+1=3(47n-I+1),

?.?m+l=3,數(shù)列｛α,,+l｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

n

則。"+1=3",即an-3-1,

要使S”>560,即3m-l>56O,

V∕M∈N>

故正整數(shù)m的最小值是6.

16.（5分）在棱長為2的正方體ABCD-AIBICIDI中,N為BC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M在平面OCclDl

√6

內(nèi)運(yùn)動時(shí)，有MN〃平面AlBE>,則線段MN的最小值為一.

-2—

【解答】解：在正方體中E,F,G,H,I,N分別是CZλDDi,AiOi,AiBi,BB?,BC

的中點(diǎn)，

由正方體性質(zhì)易知：BD//EN,而4∣B"O∣C,EF//DiC,則4B〃EF,

由BoU面A∣BD,EMt面A?BD,則EN〃面AiSD,

同理有EF〃面AiBZX

由EN∩EF=E,EN,EFU面EFGHlN,故面E尸GH/N〃面4189,

所以面EFGHlN中的直線平行于面480,

由MN〃面AlB。，則M在直線EF上運(yùn)動，要使MN最小，只需MNLEF,

延長FE,CIC交于K,故只需求出AENK底邊EK上的高即可，

根據(jù)CE=CK=CN=I,得到aENK為√Σ的等邊三角形，

所以底邊EK上的高為三，即MN最小值為二，

√6

故答案為：

三、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是矩形，附，平面A8CZλPA=AD

=1,AB=陋,尸是PO的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CD

(?)求四棱錐P-A8C。的表面積;

(2)求證：PELAF.

【解答】解：(1)已知以_L平面A8CZλA。U平面ABC￡>,C.PAVAD,

而底面ABCD是矩形，貝i」A8_LA。，

又A8ΠΛ4=A,ΛADl5FlSfABP,?'BC∕∕AD,

.?.8C_L平面ABP,YBPu平面A8P,

ΛBClBP,

ΛZPBC=90°,同理可得NPDC=90°,

-1

：.S表=S底+SA%B+SAPBC+SZ?PDC+SAΛA0=1X√5+)X(1X√5+1X2+√ΣX√5+1X

1、?,3√3,√6

1)=2+―+T-

證明：(2)V∕?15∣zffiΛBCD,CoU平面A8CD,

.?CD±PA,

又；四邊形A3C。是矩形，

：.CD±AD,

VBA∩AD=A,

.?.CC_L平面PAD,

：AFu平面PAD,

：.AF±CD,

又?.?∕?=A。，點(diǎn)尸是尸。的中點(diǎn)，

：.AF±PD,

而CDCPD=D,

.?.AF，平面PDC,

VPEc5PffiPDC,

：.PElAF.

18.(12分)已知數(shù)列｛斯｝滿足Φι+ι+z=2"+5(n∈N*),且αι=3.

(1)求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛d｝滿足hn='-，若bι?b2?b3?…?bk=3(A∈N*),

，°g(n+l)Qn，n≥2,TlEN*

求Z的值.

【解答】解：(1),??〃〃+l+?！?2〃+5①，

：?a∏+2+an+?=2〃+7②,

由②-①得CLnjrλr-?！?2,

?,?數(shù)列｛板｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列且公差為2,

Tm=3,a2+aι=7,

,42=4,

Λa2∏-i=aι+2(n-l)=2n+l=In-1÷2,即當(dāng)相為奇數(shù)時(shí)，a∏=n+2t

?a2n=a2+2(?7-1)=2/+2,即當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，ΛΛ=∕I+2,

綜上所述，an=n+2(H∈N*);

]H=I

(n∈N*),

I/og("+i)(n+2),n≥2

.".bι?b2?b3......?A?=log34×log45×...×log<*+1)(?+2)=k>g3(?+2)=3,解得上=25.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，四邊形AAIClC是邊長為4的菱形，AS=

BC=√∏,點(diǎn)。為棱AC上一動點(diǎn)(不與A,C重合)，平面BBo與棱AlCl交于點(diǎn)E.

(1)求證:BB?∕∕DEi

ΔΓ)3

(2)若==-，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求

AC4

直線AB與平面BlBDE所成角的正弦值.條件①平面ABC，平面AAiCiC;條件②NAlAC

=60°；條件③AlB=√ΣL

注：若選擇多種組合解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解答】(1)證明：三棱柱ABC-AlBlCI中，AAι∕∕BB?,且BBiU平面ACCIAι,AΛι?

平面ACCIA1,所以BBi〃平面AecjA1,

又因?yàn)槠矫鍮IBDfn平面ACCIAl=OE,所以BB?∕/DE.

(2)解：選條件①②：

連接AiC,取AC中點(diǎn)。，連接AI0,BO,

在菱形ACCIAl中，/4MC=60°,所以AANC為等邊三角形，

又因?yàn)椤锳C中點(diǎn)，所以4。_LAC,

又因?yàn)槠矫鍭8C_L平面ACCIA平面ABCn平面ACCI4=AC,AIoU平面AeCI4,且

4。_LAC,所以AIo_L平面ABC,

又OBu平面ABC,所以

又因?yàn)锳B=BC,所以B0"LAC,

以。為原點(diǎn)，以。8、OC.OAl為X軸、)，軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0),A(0,-2,0),Ai(0,0,2√3),B(3,0,0),D(0,1,0),

所以而=(-3,1,0),DE=AA1=(0,2,2√3),

設(shè)平面BBOE的一個(gè)法向量為曾=(x,y,z),

則E—3x+y—0,令Z=一√J,得y=3,x=l,所以￡=(1,3,-√3).

(.n?DE=2y+2√3z—0

又因?yàn)榫?(3,2,0),設(shè)直線AB與平面518。E所成角為。，

T→

TTAB'Tl3+6+09

所以sinθ=∣cos<AB,n>∣=∣-~~=-------------------/=一,

213

IABllTll√32+22+02×J12+32+(-√3)

9

所以直線AB與平面BiBDE所成角的正弦值為一.

選條件②③:

連接AiC,取AC中點(diǎn)0,連接AiO,BO,

在菱形ACCIAl中，/4AC=60°,所以AANC為等邊三角形，

又O為AC中點(diǎn)，所以40J_AC,且40=2√l

又因?yàn)镺B=3,AiB=√21,所以4。2+0解=482,所以4。_1_08,

又因?yàn)锳cnoB=O,所以AIO_L平面ABC,

以下同選①②.

選條件①③：

取AC中點(diǎn)0,連接BO,A?0,

在AABC中，因?yàn)锽A=BC,所以80_LAC,且A0=2,OB=3,

又因?yàn)槠矫鍭BC_L平面4CC14,平面ABCn平面ACClAl=AC,所以Bo，平面ACCIAI,

因?yàn)?4U平面ACCI4,所以Bo_LoA1,

在Rtzλ804中，。41=2百，

因?yàn)椤?=2,AAI=4,所以4IO2+0A2=4A2,所以AIO_LA。，

以下同選①②.

20.（12分）如圖，在三棱錐A-BCo中，ZXABC是正三角形，平面ABC，平面BCZXBD

LCD,點(diǎn)E,F分別是BC,OC的中點(diǎn).

（1）證明：CD_L平面AEF：

（2）若NBeD=60°,點(diǎn)G是線段B力上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)G運(yùn)動到何處時(shí)，平面AEG

與平面ACD所成銳二面角的余弦值最大.

A

【解答】解：(1)證明：因?yàn)锳ABC是正三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

所以AE_LBC,

又因?yàn)槠矫鍭8C_L平面SCO,5F≡ABCHBCD=BC,AEU平面4BC,

所以AEJ"平面BCD,又因?yàn)镃OU平面BCD,所以C￡>_L4E.

因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別是BC,CD的中點(diǎn)，所以E尸〃BD,

又因?yàn)锽DrCD,所以CD上EF,

又因?yàn)镃￡>J_AE,AEHEF=E,AE,EF在平面內(nèi)，所以CC_L平面AER

(2)在平面BCO中，過點(diǎn)E作EH_L8。，垂足為H,

設(shè)BC=4,貝UDF=FC=?,EA=2√3,EF=√3.

以｛誦，EF,61｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則E(0,0,0),4(0,0,2√3),C(-l,√3,0),D(l,√3,0),

設(shè)G(l,y,0),則或=(0,0,2√3),AD=(1,√3,-2√3),CD=(2,0,0),EG=

(1，y，0)?

設(shè)平面AEG的法向量為元=(Xi，y1,z1),

,(n?￡71=2Λ∕3Z=0?,,,→,?人、

叫1:一1，令yι=-l,故九1=(y,-1,0),

In1?FG=x1+yy1=0

設(shè)平面Aa)的法向量為幾2=(%2，yifZ2),

則月用=不+題-2√?=0,令z2=1,則R=(o,2,1).

{n2?CD=2X2=O

設(shè)平面AEG與平面AC。所成銳二面角的平面角為。，

22

所以cos。=ICoSA，n2?=I-----,J=----,——.當(dāng)y=0時(shí)，cosθ=止匕時(shí)最大，

√5?Jy2+l√5?Jy2+l-b

故當(dāng)G為BO的中點(diǎn)時(shí)，平面AEG與平面Aa)所成銳二面角的余弦值最大.

21.(12分)圖1是直角梯形ABCz),AB//CD,ZZ)=90o,四邊形ABCE是邊長為2的菱

形,并且∕BCE=60°,以BE為折痕將ABCE折起,使點(diǎn)C到達(dá)Cl的位置,且=√6,

如圖2.

(1)求證：平面BCI凡L平面4BED；

(2)在棱上是否存在點(diǎn)P,使得P到平面ABa的距離為巖？若存在，求出直線

EP與平面ABCi所成角的正弦值.

圖1圖2

【解答】解：(1)證明：在圖1中，連接AC,交BE于0,如圖,

；四邊形ABCE是邊長為2的菱形，且NBCE=60°,

：.AC±BE,且OA=OC=√5,

在圖2中，/4。。是二面角A-BE-Cl的平面角，

222

VAC1=√6,.?OA+OC1=AC1,ΛOA±OCι,ΛZAOCi=90°,

平面BCiE，平面ABED；

ΛΓξ

(2)假設(shè)在棱DCi上存在點(diǎn)P,使得P到平面ABCx的距離為《一,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A,OB,OCl所在直線為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

/?

則D(―,-?,O),Ci(O,O,√3),4(√3,O,O),B(O,I,O),E(0,-1,0),

22

；.DiI=(-?,∣,√3),AD=(一孚，-∣,O),AB=(-√3,