數(shù)值分析分章復習(第六章線性方程組迭代解法)

線性方程組迭代解法要點：〔1〕線性方程組迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 〔2〕矩陣范數(shù)計算，矩陣譜半徑計算〔3〕線性方程組迭代格式的收斂性判斷 〔4〕Jacobi迭代，G-S迭代收斂的判斷 〔5〕線性方程組的性態(tài)復習題：線性方程組為〔1〕寫出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；〔2〕寫出Jacobi迭代矩陣和Seidel迭代矩陣；〔3〕判別這兩種迭代法的收斂性。解：(1)Jacobi迭代格式： Gauss-Seidel迭代格式： 〔2〕Jacobi迭代矩陣： Gauss-Seidel迭代矩陣： 〔3〕，得的特征值為 ，可見Jacobi迭代格式不收斂 另外， ，得的特征值為 ，可見Gauss-Seidel迭代格式收斂 設方程組試問，是否可以適當調整方程的排列順序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂？說明收斂原因解：可通過方程順序交換，等價為以下方程組 這樣，系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣， 對該方程組使用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收斂對方程組，驗證Jacobi迭代法的收斂性，假設發(fā)散，那么說明理由，并調整方程順序使得Jacobi迭代收斂。解：Jacobi迭代矩陣，因為，故Jacobi迭代發(fā)散 將方程組中方程順序重排得等價的方程組 注意到這里系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，故應用于調整后的方程組的Jacobi迭代收斂設方程組，分別寫出雅可比迭代格式和高斯-塞德爾迭代格式，并討論它們的收斂性解：Jacobi迭代矩陣，Gauss-Seidel迭代矩陣 因為， 故Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代均發(fā)散方程組〔1〕寫出解此方程組的雅可比法迭代公式；〔2〕證明當時，雅可比迭代法收斂；解：Jacobi迭代格式： 當時，系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，故Jacobi迭代收斂對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并說明收斂的理由解：將原線性方程組中方程順序作重排得等價的方程組： 由于該方程組系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，故Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代均收斂 Jacobi迭代格式：Gauss-Seidel迭代格式：設，，試給出的范圍確保方程組的Jacobi迭代法及Gauss－Seidel迭代法收斂的充分必要條件 解：Jacobi迭代矩陣，Gauss－Seidel迭代矩陣 ， 可見，Jacobi迭代與Gauss－Seidel迭代收斂的充分必要條件為：求，設，求和，試計算和這里p=1,2,∞線性方程組用Jacobi迭代法是否收斂，為什么？其中解：Jacobi迭代矩陣因為：，故Jacobi迭代收斂設線性方程組:，試給出Gauss-Seidel迭代格式討論由Gauss-Seidel迭代所產