廣西梧州市2023屆高三上學(xué)期第一次模擬測試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

梧州市2023屆高三第一次模擬測試

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

e

1設(shè)集合U=kN∣x≤6},M={1,2,3,4},N={2,3,4,5},則(屯/>N=()

A.{0,2,3,4,5,6}B.{2,3,4,5,6}C.{0,4,5}D.{4}

K答案2A

K解析》

K祥解》首先列舉全集中的元素，再求(①M(fèi))DN.

K詳析』由題意可知,U={0,l,2,3,4,5,6},M={1,2,3,4},N={2,3,4,5},

所以6M={0,5,6},?M)J7V={O,2,3,4,5,6).

故選：A

2.若復(fù)數(shù)Z滿足Z(I-i)=∣G-i∣,則在復(fù)平面內(nèi)Z的共轎復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

K答案DD

K解析D

K祥解》由題知z=l+i,z=ι-i,進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.

K詳析》解：因?yàn)閆(I—i)=|G—4=2

22(l+i)

所以Z=-~T=y-~?-Ty-~W=1+i,z=l-i

l-?(l-ι)(l+ι)

所以，復(fù)平面內(nèi)Z的共轎復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),為第四象限的點(diǎn)，

所以，在復(fù)平面內(nèi)Z的共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D

3.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取IO名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm),所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如

圖，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是()

甲班乙班

211813

820171268

65316257

87159

A.甲乙兩班同學(xué)身高極差相等B.甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等

C.甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等D.乙班同學(xué)身高在175Cm以上的人數(shù)較多

K答案2D

K解析H

K祥解》根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計(jì)算，即可判斷選項(xiàng)是否正確.

K詳析F由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的極差為182—157=25,乙班同學(xué)身高的極差為183—159=24,

兩班身高極差不相等，故A錯(cuò)誤；

甲班同學(xué)身高的平均值為-1(157+158+163+165+166+170+172+178+181+182)=169.2,

乙班同學(xué)身高平均值為-!-(159+162+165+167+171+172+176+178+181+183)=171.4

顯然，甲乙兩班同學(xué)身高的平均值不相等，即B錯(cuò)誤：

根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為竺95=168,乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為以±a=171.5,

22

所以，甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)不相等，即C錯(cuò)誤；

由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高在175Cm以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在175Cm以上的人數(shù)為4人，故

D正確.

故選;D

4.已知向量α,人滿足∣)∣=1,∣.∣=2,∣α+28∣=3,則∣24-8∣=()

A.3B.√iθC.√14D.4

K答案XD

K解析H

K祥解Il根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

K詳析H□向量滿足Iil=I,山=2,Ia+20∣=3,

.[α+2b∣2=∣a∣2+4??/?+41OF=I+16+4α?0=9,.?.4α?b=-8，

.?J2Q—邸=4|。/—4q?0+M=4+8+4=16,

.?.∣2a+^∣=4,

故選：D

5.我們可以把(1+1%)365看作每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是1.0尸65；而把(1—1%尸65看作每天的“落

]()1365

后”率都是1%,一年后是0.99?%5.可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的W■醞31481倍.如果每天的

099365

“進(jìn)步”率和“落后”率都是10%,至少經(jīng)過(沃后,“進(jìn)步”是“落后”的IooO倍.(Ig3≈0.477,Igll?1.041)

A.31B.33C.35D.37

K答案HC

K解析』

K祥解》根據(jù)題意可列出若干天后的“進(jìn)步”是"落后”的倍數(shù)表達(dá)式，利用參考數(shù)據(jù)和對數(shù)運(yùn)算法則中的換

底公式即可得出結(jié)果.

K詳析』根據(jù)題意，如果每天的“進(jìn)步”率和"落后”率都是10%,

假設(shè)經(jīng)過“天后，“進(jìn)步”是“落后”的IooO倍，得L匚Nloo0,

0.9,,

BP∏(lgll-lg9)>3,所以Mlgll_21g3)≥3,

33

代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)可得MLO41-2X0?477)≥3,得〃之呵麗=34.5

所以，至少經(jīng)過35天后，“進(jìn)步”是“落后”的IooO倍.

故選：C.

(兀、

6.在二ABC中，三個(gè)內(nèi)角4B,。所對的邊分別為mb,cf且。SinC+、=CSinA.若。=2,b=4,

??√

則。二()

A.2B.2√3C.4D.2√B

K答案1B

K解析D

TT

K祥解》利用正弦定理和三角恒等變換可得C=],再利用余弦定理C?=?2+b2-2"cosC即可求得C的

值.

K詳析D根據(jù)正弦定理，由αsin∣c+1)=CSinA得SinASin[C+W)=SinCSinA,

又因?yàn)镾inAH0,可得Sin（C+；I=SinC,即LSinCd———cosC=sinC

I3√22

得tanC=,CG（O,兀），所以C=Q,

由余弦定理可知，C?=/+/—2abcosC=4+16-2x2χ4χg=12,

得c=2√J?

故選：B

7.直線/：y=x與圓C:(x—iy+(y—2)2=。2(。＞0)交AB兩點(diǎn).若IABI=α,則IflABC的面積為()

A.3B.BC.—D.也

6364

K答案XA

R解析H

222

K祥解岫題知圓心為C(l,2),半徑為r=a,進(jìn)而根據(jù)幾何法求弦長得IABI=2√r-J=2y∣a-^a,

解得α=Y5,再計(jì)算面積即可得K答案D.

3

K詳析D解：由題知圓心為C(1,2),半徑為r=",

所以，圓心C(1,2)到直線/:y=x的距離為Q=擊=岑，

所以，弦長MBl=2,2-唐=2小2一；=",即3/—2=0,解得α=乎，

所以ABC的面積為S=LlABId=LX逅X巫=立

2l12326

故選：A

8.在正方體ABCD-AgGA中，E,尸分別是線段BC,G。的中點(diǎn)，則異面直線AR,E廠所成角余

弦值是()

?√2BGc√6d√3

2332

K答案XC

K解析?

K祥解】如圖所示，連接CQ,確定NCPE或其補(bǔ)角是異面直線EF與48所成角，在直角CCEE中，計(jì)

算得到R答案1

K詳析U如圖所示：F是線段G。的中點(diǎn)，連接C2交于尸，

由正方體的性質(zhì)知CDj//BAt,知異面直線AiB,EF所成角即為直線CD1,EF所成角，

故NeFE或其補(bǔ)角是異面直線EF與AlB所成角.

設(shè)正方體邊長為2,在直角CCFE中，CF=6，CE=I,EF=√3

,,,V2?/e

故icosZz.rCrFcE=—=——

√33

9.已知定義在R上的函數(shù)/O)在(-8,1］上單調(diào)遞增，若函數(shù)/(x+D為偶函數(shù)，且/(3)=0,則不等式

4'(x)>0的解集為()

A.(-1,3)B.(F,T)53,+8)C.(F,T)50,3)D.(-1,0)(3,+∞)

R答案HC

K解析》

K祥解H由已知，函數(shù)/(χ)關(guān)于X=I對稱，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可求解.

K詳析》由函數(shù)/(x+l)偶函數(shù)，知函數(shù)/(χ)關(guān)于x=l對稱，

又函數(shù)/(χ)在(7,1］上單調(diào)遞增，知函數(shù)/(χ)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

由/(3)=(),知/(—1)=0,作出函數(shù)的圖象，如下:

當(dāng)T<x<O時(shí)，f(x)>O.則?√"(x)<O;

當(dāng)O<x<3時(shí)，/(x)>O,則?√^(x)>O;

當(dāng)x>3時(shí)，/(x)<O,則?√^(x)<O;

所以不等式4"(x)>O的解集為：x<—1或O<x<3,

故選：C

2萬

10.在三棱錐P—ABC中，已知R4，平面ABC,PA=AB=AC=I,ZBAC=——.若三棱錐尸—ABC

3

各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為()

A.4πB.8"C.12萬D.20萬

K答案HD

K解析D

K祥解》利用正弦定理求出底面ABC的外接圓半徑，將三棱錐「一ABC補(bǔ)成三棱柱，過底面外接圓中

心作垂線，則垂線的中點(diǎn)即為外接球球心，進(jìn)而即可求解.

K詳析》在..ABC中，設(shè)其外接圓半徑為r,

■=2

由正弦定理可得SinNACB-.兀一八解得r=2,

sin—

6

三棱錐P-ABC補(bǔ)成三棱柱，如圖

設(shè)三棱錐P-ABC外接球半徑為R，

R=Jr2+。。2=PA

所以球。的表面積為S=4TΓR2=4%X5=2()TT

故選：D

11.若函數(shù)/(x)=6SinWX+9)+耳3>0,網(wǎng)<乃)的部分圖像如圖所示，直線X=T為函數(shù)/(x)圖

像的一條對稱軸，則函數(shù)g(x)=Λ^cos(αλτ+°)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

.τc.54/.—?

A.kτr-----.kτr-----(?∈ZB.K7Γ-----,K7lH-----(K∈Z)

_1212jv1212v7

,π,In

C.kπ--,kπ+—(ZeZ)D.kπ----,kπ+——(ZeZ)

L36jk'63

K答案HB

K解析H

K祥解》由圖像求出函數(shù)K解析》式，再求出減區(qū)間.

K詳析》令f=ox+°,則f(x)=百sin(3x+e)+；(3>0j°|<;zJ可以看出y=百Sinr+(經(jīng)過適

當(dāng)?shù)淖儞Q得到的.

由題中圖像知點(diǎn),2)在函數(shù)/(x)的圖像上,所以百Sin(W/+*[+；=2,即sin(/o+,=

則結(jié)合y=Gsin/+』圖像可得-co+φ=—.①

2123

又直線X=T為函數(shù)/(χ)圖像的一條對稱軸，結(jié)合y=Gsinf+/圖像可得手3+0=羊.②

②-①解得勿=2,再代入①解得：0=看，所以g(x)=Gcos(2x+?1.

由2Aτr≤2x+^≤2kπ+π^k∈Z),^kπ--^≤x≤kπ+^—(^k∈Z)

故選：B.

12.如圖所示,拋物線C:y=1χ2,AB為過焦點(diǎn)F的弦，過A,8分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)〃,

4

設(shè)則:①若的斜率為則；②若的斜率為則；

A(XA,yA),B(XB,yβ),M(XM,%),AB1,IABl=4AB1.XM=1

③%=T;④4=一4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

K答案』B

K解析』

K祥解】由題設(shè)直線AB的方程為y=x+l,與拋物線方程聯(lián)立判斷①，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求得AB處

的切線方程，進(jìn)而得MltLP,竽)，再依次討論②③④即可得K答案》.

K詳析D解：由。：丁=工/得f=4y,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)產(chǎn)(0,1),

4

y=x+lC

對①，直線4B的方程為y=x+l,由《二得V_6y+l=0,

?=4y-

所以%+%=6,所以IABI=%+%+p=8,故①錯(cuò)誤.

因?yàn)镃:y=；f,所以/=則直線A/、的斜率分別為;5、∣?-

所以/AMXA(Xf)，因?yàn)橐?%3所以G：丁=33-%，

所以，，”：丁=3"-%，

1—A+??,

,=尸內(nèi)_%

2，XAXB

由,?,解得＜,即M

??24

y^-χχ-yj

ββ-4

由題意知，直線4?斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為y="+l,

y=Ax+1,

由412消去y得χ2-4乙一4=0，

14

所以XA+/=43XA-XB-4,故④正確

所以yw=竽=一1，故③正確；

所以當(dāng)AB的斜率為1，則XM=幺上α=竺=3=2,②錯(cuò)誤；

222

所以，正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

x-γ-3≤0

13.實(shí)數(shù)X,?滿足：＜x+y≥Q,則LX+y的最大值是____________

x+3y-3≤O2

3

K答案》-##1.5

2

K解析，

K祥解》根據(jù)不等式組畫出可行域，然后利用Z的幾何意義求最值即可.

K詳析』根據(jù)不等式畫出可行域，如下所示：

設(shè)z=；x+y,整理可得y=—gx+z,所以Z表示直線y=-gχ+z過可行域上一點(diǎn)時(shí)的縱截距,

由圖可知，當(dāng)直線y=—；x+z過點(diǎn)8時(shí)，縱截距最大，

X—y-3=0fx=3/、3

聯(lián)立■，解得，所以33,0,代入可得ZM=7?

x+3y-3=O[y=°2

3

故K答案』為：

2

14.已知sin[α一(=g(O<α<τr),貝∣Jsintz+CoSa=

4

R答案1-

3

K解析》

K祥解》由同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換公式求解

詳析》由題意得二€(—二,亞)，而1√2

Kα-Sinlc——<——

444IzU32

故sina+cosα=V∑sin[a+—I=V∑cosIɑ-?∣=—

I4jI4)3

4

故K答案H為：一

3

15.過四點(diǎn)(一1,0),(2,1),(2,6),(2,-6)中的三點(diǎn)的雙曲線方程為C,則C的漸近線方程為.

K答案Dy=±^

K解析H

K祥解》由題知雙曲線。過點(diǎn)(-1,0),(2,百)，(2,-6)，進(jìn)而待定系數(shù)得χ2-y2=],再求解漸近線

方程即可.

K詳析Il解：由雙曲線的對稱性可知，(2,JJ),(2,-6)必在雙曲線C上，

所以，雙曲線C過點(diǎn)(-1,0),(2,石)，(2,-√3)

設(shè)雙曲線C的方程為如？+ny2=l(m∕7<0),

m=l

所以LJ解得根=1,力=一1

4m+3〃=1

所以，雙曲線C的方程為/一>2=1

所以，。的漸近線方程為y=±χ

故K答案U為：y=±χ

∣ev-lLx≤O,,

16.已知函數(shù)/(x)={,1,若關(guān)于X的方程[/(x)F-(2α+l)∕(x)+α2+4=0有5個(gè)不

√-8x+12,x>0

同的實(shí)數(shù)根，則”的取值范圍為.

K答案，[-1,1)

K解析U

K祥解》根據(jù)分段函數(shù)K解析』式可畫出函數(shù)圖象，將方程分解可得"(X)—α][∕(x)-(α+l)]=O,利

用函數(shù)圖象可知，丁=α和y=α+l與函數(shù)/S)共有5個(gè)不同的交點(diǎn)，對實(shí)數(shù)。進(jìn)行分類討論即可求得。的

取值范圍.

'?ex-]?,x≤O

K詳析》由函數(shù)/(x)={∣,1可知，其函數(shù)圖象如下圖所示：

x^-8x+12,x>O

若關(guān)于X的方程[/S)?-(20+1)/(x)+4+。=O有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即方程"(x)—α]"(X)—(α+l)]=O有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即/(x)=α和f(x)=α+1共有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

所以y=α和y=α+l與函數(shù)/(χ)共有5個(gè)不同的交點(diǎn)；

由圖可知，>與函數(shù)/W最多有三個(gè)交點(diǎn)，且α+l>α;

所以，當(dāng)αe(-4,0),y=。與函數(shù)/(χ)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

需滿足y=α+l與函數(shù)/(χ)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以α+le[0,l),

解得ae[—1,0)；

當(dāng)α∈[(),1)時(shí)，y=a與函數(shù)/(χ)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

需滿足y=。+1與函數(shù)/O)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以α+le[l,12)

解得.e[0,1);

綜上可知，ci∈[—1,1)

所以，”的取值范圍為[—1,1).

故K答案》為：[τ,l)

Kr點(diǎn)石成金JlI方法r點(diǎn)石成金』：將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題時(shí)解決此類問題的

常用方法，畫出函數(shù)圖象并利用數(shù)形結(jié)合對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)果.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知S.為數(shù)列｛可｝的前"項(xiàng)和，S,,+2=2?,,.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

a九為奇數(shù)

⑵記勿=班/申特，求也｝前12項(xiàng)的和?

[log2%,〃為偶數(shù)I"，

n

K答案』(1)an=2

(2)2772

K解析H

K祥解Il(I)由題知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為6=2,進(jìn)而得《,=2"；

,2",〃為奇數(shù)

(2)結(jié)合(1)得勿=｛工/用姐，進(jìn)而分組求和即可.

〃為偶數(shù)

K小問1詳析U

解：因?yàn)镾“+2=2%,

所以，當(dāng)〃=1時(shí)，S∣+2=%+2=2q,解得q=2,

當(dāng)時(shí)，S“+2=2an,S,-+2=2αn-l,

所以α,,=2an-2an,1,即an=2%,

所以，數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為q=2,

所以，數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式為an=2".

K小問2詳析》

解：由⑴知q=2",

2”,“為奇數(shù)

所以以=,

〃,〃為偶數(shù)

記也｝前12項(xiàng)的和為S-

I3579

所以，S12=(2+2+2+2+2+2")+(2+4+6+8+10+12)

=2(>2%(2+12)X6=—+42=2772.

1-2223

18.近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某市2016-2022年

的家庭教育支出(單位：萬元)，得到如下折線圖.(附：年份代碼1-7分別對應(yīng)2016-2022年).經(jīng)計(jì)算得

77∏7

Zχ=259,Zfa=II78,8≈2.65,J∑ι(y廠寸=27,∑(ti-7)(yi-y)=126.

i=?Z=IV/=1/=I

教育支出占家庭總支出

的比例百分比)

O123456789年份代碼

(1)用線性回歸模型擬合y與r的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)廠，并說明y與r相關(guān)性的強(qiáng)弱；(參考：若

0.30<∣r∣<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若∣r∣≥0.75,則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算，?時(shí)精確度為0.01)

(2)求出y與r的回歸直線方程；

(3)若2024年該市某家庭總支出為10萬元，預(yù)測2024年該家庭的教育支出.

附：①相關(guān)系數(shù)廠=I“

tτ22

J∑(.~)∑(yl-y)

VZ=I/=1

∑d),(%-歹)

②在回歸直線方程3=G+G,A=上IF---------------，a^y-bT.

∑(i

i=l

K答案X(1)r≈0.88,線性相關(guān)程度較高

(2)>=4.5∕+19

(3)5.95萬元.

K解析》

K祥解Il(I)由公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性即可：

7

(2)由公式算B,再由一-∑x',-算.即可；

a-y-bt-------bt

7

(3)2024年對應(yīng)的年份代碼，=9,代入回歸方程即可得到教育支出占比，即可預(yù)測2023年該家庭的教育

支出

K小問1詳析)

-1

解：由題意得，f=-×(l+2+3+4+5+6+7)=4,

72

則Zi=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,故

/=1\

￡”)(X7)

J∑e,→)∑(χ-^)2

V/=1/=1

V∣O.88∣>O.8,

??.y與1高度相關(guān)，即y與，的相關(guān)性很強(qiáng).

K小問2詳析外

/T—126

解：根據(jù)題意，得b=±J------；—=—=4.5,

∑”)-28

/=1

7

---EM259

=-b=d≤——4.5×4=--18=19

ayt77

...〉關(guān)于/的回歸直線方程為丁=4.51+19.

K小問3詳析U

解：由題知，2024年對應(yīng)的年份代碼，=9,

所以，當(dāng)7=9時(shí)，y=4.5χ9+19=59?5,

所以，預(yù)測2024年該家庭的教育支出為10x59.5%=5.95(萬元).

19.邊長為1的正方形ABC。中，點(diǎn)N分別是。C,BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將二ABN,ZWW分別沿/N,

ZM折起，使得8,。兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P,連接尸C,得到四棱錐P—AMCN.

(1)證明：平面APN_L平面PMV；

(2)求四棱錐P—AMQV的體積.

K答案［(1)證明見K解析》

⑵—

18

R解析』

K祥解R(D先證明AP人平面PMV,即可證明出平面APN_L平面PMV

(2)先利用匕JMN=%-AMN求出點(diǎn)P到平面AMN的距離，然后再根據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算，即可得

出結(jié)果.

K小問1詳析』

證明：在正方形ABe。中有ABIBC,AD±DC,??APlPM.

APVPN,又因?yàn)镻MCPN=P,所以APl平面尸MV,而APU平面APN,

所以平面APN，平面PMN.

K小問2詳析』

連接MN,由題意可得AM=AZV=Jl2+—,PM=PN=L

22

_________5

MN=√MC2+CN2=—.由PM?+PM=MN?，所以二PMN為直角三角形，即

2

111?

SPMN=—X—X—

2228

C_CCCC111111111_3

S1--

SAMN=S正方形ABC。一SABN-SADM-CMJV=-?×?×??×?×??×?×?=g

設(shè)點(diǎn)P到平面AMN的距離為h,由VA_PMN=VPTMiV得，

KPMN-PA=KAMNI,即卜1=|力，得k]

JJOO?

”_?/c,C?κ_?/311_1

vP-AMCN=g(SAMN+SΛ∕CΛT),z=^×(~÷^)×?=~

即四棱錐P-AMaV的體積為L

18

22

20.已知橢圓。：j+2=1（。＞。＞0）的長軸長為4,且經(jīng)過點(diǎn)P（√Σ,

atr

（1）求橢圓C的方程;

（2）直線/的斜率為且與橢圓交于A,8兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P）,過點(diǎn)P作/APB的角平分線交橢圓于另

一點(diǎn)Q?證明：直線PQ與坐標(biāo)軸平行.

r2

K答案2(1)—+/=1；(2)證明見K解析》.

4'

K解析』

K祥解》

'24=4

廠，（也）2解得。，b,即可得到橢圓方程.

(1)由條件得：《

22+（2）7

.CTb2

（2）證明：欲證尸。與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為尤=收；或y=與，又因?yàn)镻。平分/APB，

故只需證明Q4,PB的斜率都存在時(shí)滿足即A+后網(wǎng)=0即可.當(dāng)P4，PB的斜率不存在時(shí)，說明不滿足題

2

X2

—+y=11

意.然后證明女隊(duì)+KV)=0.設(shè)直線/:y=；x+m,4?,利用韋

Aa,yl),B(X2,y2),聯(lián)立<

y=-x+m

2

達(dá)定理結(jié)合A%+%網(wǎng)的表達(dá)式，推出結(jié)果即可.

2a=4

-(y^^?2

K詳析Il(I)解：由條件得:r解得α=2,b=?,

(后+E-1

a^b~

2

橢圓C:三+丁=1.

4.

6

(2)證明：欲證尸。與坐標(biāo)軸平行，即證直線尸。的方程為X=應(yīng)；或)=注，又因?yàn)镻Q平分/APB，

2

故只需證明PA，尸5的斜率都存在時(shí)滿足+即Zt=O即可.

當(dāng)Λ4,PB的斜率不存在時(shí).，即點(diǎn)A或B的坐標(biāo)為(0,-在)，而經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線/與橢圓C相切，不滿

足題意.故B4,PB的斜率都存在，下證&A+%,=0?

2

廠21

-τ-+y=1

設(shè)直線2：y=gx+m,A(x,>?),β(x,y),聯(lián)立<

ll22?,可得Y+2mx+2m2-2=0

y=-x+m

2

此時(shí)A=T∕√+8>0,

2

xi+x2=-2m,xlx2-2m-2,

kpA+kpB=O.

-

M-?%-孝(?i^)+(y2-?)(?)-S∣2)(□),

--

x1λ∕2X2—V2(XI-λ∕2)(x2λ∕2)

+x7

(門)式的分子=2———(x1+x2)->∕2(y1+y2)∣y2÷?J∣

CV2/、∕τ?,1111

=2-----(Xj+X7)—72(—Xj+根H—X7++F(—X2+加)+XO(一否+/71)

2

=2-2?[lm+(m—Λ∕2)(xl+x2)+xix2=2—2?∣2m+(m—λ∕2)(-2zzz)+2m—2=0，

直線PQ與坐標(biāo)軸平行.得證.

口點(diǎn)石成金』1本題主要考查了求橢圓方程以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.已知函數(shù)/(x)=xlnx—x+1.

(1)求函數(shù)/S)的最小值；

(2)證明：In次+InV^H----1-?n"2y∕n>?---------(/?∈N*,π≥2).

2〃+1',

K答案』(1)0(2)詳見K解析》

K解析』

K祥解』(I)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最小值；

,、Innn-?

(2)由(1)可知XInX≥x-1,令x=〃,〃22),不等式變形為丁丁>刀十不，不等式右邊

?'n-1∏?n-II

裂項(xiàng)為_LL,再用累加求和，即可證明不等式.

nπ÷l

K小問1詳析51

∕,(x)=lnx,%>0,

當(dāng)x∈(0,l)時(shí)，r(χ)<o,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)Xe(I,+8)時(shí)，,x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(XL=/⑴=。

K小問2詳析D

由(1)知XInxNx-I,

Y—1

即lnx≥——(當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)等成立)，

X

/*、-↑Innn-?

令∈,九≥則n,所以二一>—一

x="("N27),ln∕ι>-----57r??,

\nn-1n?n—1)

一九一1=1J1+,Inn11

mrt(rt2-l)n(∏+l)n“+]，故>不甚1，

,^ln2111∏31?Inn11

從l而--->-----,---->-----,…，-Z>-----------，

323834n2-?nn+l

.Tmln2In3Inn11人口―、十

累m力口可得----1------F...H—、>-----，命題得證.

38n2-l2n+l

K「點(diǎn)石成金曾關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二問考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問題，問題的關(guān)鍵是從要證明的式

Innn-?

子入手，將(1)的不等式變形為L7>—mr，再利用裂項(xiàng)相消法求和.

n-1n?n-1)

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

K選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程X

［

X——風(fēng)t

22.在直角坐標(biāo)系XOy中，直線/的參數(shù)方程為I2α為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸

1

建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為"+8p2Sin2^-9=0.

(1)求/的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與。交于A,B兩點(diǎn),求IoAl+∣OBl的值.

K答案D(I)e=7(o∈R),y+∕=l

(2)?OA?+?OB?=2y∕3

K解析D

夕CoSe=X

K祥解II(I)消去參數(shù)。得到直線/的普通方程，從得到其極坐標(biāo)方程，根據(jù)〈,將曲線C的極坐

p