北師大版八年級數(shù)學下冊舉一反三 專題4.1 因式分解章末重難點突破（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.1因式分解章末重難點突破【北師大版】【考點1因式分解的意義】【例1】(2023秋?鋼城區(qū)期末）多項式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝．【變式1-1】(2023春?龍口市月考）若關于x的二次三項式x2﹣3x+k有一個因式是（x﹣2），則k的值是．【變式1-2】(2023?杭州模擬）若多項式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，則m的值是．【變式1-3】(2023春?永嘉縣校級期末）若多項式x2+mx+n（m、n是常數(shù)）分解因式后，有一個因式是x+1，則m﹣n的值為．【考點2用常規(guī)方法進行因式分解】【例2】(2023春?滕州市校級月考）分解因式：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）（a2+4）2﹣16a2；（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．【變式2-1】(2023秋?桐柏縣月考）分解因式：（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）3m2n﹣12mn+12n；（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；（4）（x2+9）2﹣36x2．【變式2-2】(2023秋?陵城區(qū)月考）把下列各式分解因式：（1）6ab3﹣24a3b；（2）x4﹣8x2+16；（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．【變式2-3】(2023春?槐蔭區(qū)校級月考）把下列各多項式因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；（6）16x4﹣72x2y2+81y4．【考點3用分組分解法進行因式分解】【例3】(2023秋?永吉縣期末）閱讀下列材料：一般地，沒有公因式的多項式，當項數(shù)為四項或四項以上時，經(jīng)常把這些項分成若干組，然后各組運用提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分組分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接寫出結果）．【變式3-1】(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）先閱讀下面材料，再完成后面的問題：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成組，并提出a，再把它的后兩項分成組，并提出b，從而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）這時，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（請你完成分解因式下面的過程）＝．（2）m2﹣mn+mx﹣nx．（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．【變式3-2】分解因式（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．【變式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．【考點4用十字相乘法進行因式分解】【例4】(2023秋?微山縣期末）【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．【方法探究】對于多項式x2+（p+q）x+pq我們也可這樣分析：它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)+（p+q）．所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)5．所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．類比探究：當二次項系數(shù)不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解．例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．分析：二次項系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項﹣6分解成﹣1與6（或﹣6與1，﹣2與3，﹣3與2）的積，但只有當﹣2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．【方法歸納】一般地，在分解形如關于x的二次三項式ax2+bx+c時，二次項系數(shù)a分解成a1與a2的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項c分解成c1與c2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如圖4所示方式排列，當且僅當a1c2+a2c1＝b（一次項系數(shù)）時，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應用】利用上面的方法將下列各式分解因式：（1）x2﹣5x+6；（2）10x2+x﹣21；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．【變式4-1】(2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通過這樣的關系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項﹣3＝（﹣1）×3，一次項系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用這種方法，將下列多項式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．【變式4-2】(2023秋?新泰市期中）提出問題：你能把多項式x2+5x+6因式分解嗎？探究問題：如圖1所示，設a，b為常數(shù)，由面積相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，就可以對形如x2+（a+b）x+ab的多項式進行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．觀察多項式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項為兩數(shù)之和．解決問題：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．運用結論：（1）基礎運用：把多項式x2+4x﹣21進行因式分解．（2）知識遷移：對于多項式4x2﹣4x﹣15進行因式分解還可以這樣思考：將二次項4x2分解成如圖2所示中的兩個2x的積，再將常數(shù)項﹣15分解成﹣5與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和為﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次項，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．請用十字相乘法進行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．【變式4-3】(2023春?奉化區(qū)校級期末）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反過來，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2我們發(fā)現(xiàn)，二次項的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子x2﹣x﹣6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1＝1×1，把常數(shù)項﹣6也分解為兩個因數(shù)的積，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次項的系數(shù)﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解為（x+2）（x﹣3）．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x﹣6＝．【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）2x2+5x﹣7；（2）6x2﹣7xy+2y2＝．【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝．（2）若關于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值．（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，請寫出一組符合題意的x，y的值．【考點5用整體思想進行因式分解】【例45】(2023秋?濮陽期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．【變式5-1】(2023秋?開封期末）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2+px+q的二次三項式分解因式時，如果能滿足q＝mn，且p＝m+n，則可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．解：將“x+y”看成一個整體，令x+y＝m，則原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．再將“m”還原，得原式＝（2x+2y+1）2．上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．（1）根據(jù)材料1，分解因式：x2﹣7x+12．（2）結合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．【變式5-2】(2023春?南山區(qū)校級期中）先閱讀材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．解：令a+b＝M，則（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．材料中的解題過程用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你運用這種思想方法解答下列問題：（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝．（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．【變式5-3】(2023春?驛城區(qū)校級月考）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看成一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學用換元法對多項式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4進行因式分解的過程．解：設x2+2x＝y(tǒng)．原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．請根據(jù)上述材料回答下列問題：（1）小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．差的完全平方公式D．和的完全平方公式（2）老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：；（3）請你用換元法對多項式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4進行因式分解．【考點6用拆項法進行因式分解】【例6】(2023秋?隆昌市校級月考）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結果分解徹底．（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請你試一試在實數(shù)范圍內分解因式x4﹣5x2+6．【變式6-1】(2023春?南京月考）在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．先閱讀，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照這種方法把多項式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．【變式6-2】(2023秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．【變式6-3】(2023秋?微山縣月考）【閱讀材料】對于二次三項式a2+2ab+b2可以直接分解為（a+b）2的形式，但對于二次三項式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我們可以在二次三項式a2+2ab﹣8b2中先加上一項b2，使其成為完全平方式，再減去b2這項，（這里也可把﹣8b2拆成+b2與﹣9b2的和），使整個式子的值不變．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我們把像這樣將二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．【應用材料】（1）上式中添（拆）項后先把完全平方式組合在一起，然后用法實現(xiàn)分解因式．（2）請你根據(jù)材料中提供的因式分解的方法，將下面的多項式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．【考點7由因式分解求值】【例7】(2023秋?鐵西區(qū)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）A．2 B．5 C．20 D．9【變式7-1】(2023秋?思明區(qū)校級期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），則m3+2mn﹣n3＝（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【變式7-2】(2023秋?東興區(qū)校級期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．【變式7-3】(2023秋?源匯區(qū)校級期中）若實數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．【考點8因式分解的應用】【例8】(2023秋?松滋市期末）如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以分解因式為；（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15．①則圖中1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為；②試求圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和．【變式8-1】(2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且a＞b．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為．（2）若圖中陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖中空白部分的面積．【變式8-2】(2023春?鎮(zhèn)江期中）【活動材料】若干個如圖1所示的長方形和正方形硬紙片【活動要求】用若干塊這樣的長方形和正方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，探求相應的等式．例如，由圖2，我們可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【問題解決】（1）選取正方形、長方形硬紙片共8塊，拼出如圖3的長方形，直接寫出相應的；（2）嘗試借助拼圖的方法，把二次三項式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的圖形畫在圖4的虛線方框內；（3）將2b2﹣3ab+a2分解因式：（直接寫出結果，不需要畫圖）．【變式8-3】(2023春?沭陽縣期中）如圖，正方形紙片A類，B類和長方形紙片C類若干張，（1）①請你選取適當數(shù)量的三種紙片，拼成一個長為（a+2b）、寬為（a+b）的長方形，畫出拼好后的圖形；②觀察拼圖共用張A類紙片，張B類紙片，張C類紙片．通過面積計算可以發(fā)現(xiàn)（a+2b）（a+b）＝．（2）①請你用這三類卡片拼出面積為3a2+4ab+b2的長方形，畫出拼好后的圖形．②觀察拼圖共用張A類紙片，張B類紙片，張C類紙片．通過面積計算可以發(fā)現(xiàn)3a2+4ab+b2＝．③利用拼圖，把下列多項式因式分解a2+3ab+2b2＝；3a2+5ab+2b2＝．專題4.1因式分解章末重難點突破【北師大版】【考點1因式分解的意義】【例1】(2023秋?鋼城區(qū)期末）多項式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝．分析：根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積，可得答案．【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，﹣2n＝6，m＝n﹣2．解得n＝﹣3，m＝﹣5，故答案為：﹣5．【變式1-1】(2023春?龍口市月考）若關于x的二次三項式x2﹣3x+k有一個因式是（x﹣2），則k的值是．分析：設另一個因式為x+m，則x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，即可得出答案．【解答】解：設另一個因式為x+m，則x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），而（x+m）（x﹣2）＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴m﹣2＝﹣3，解得m＝﹣1，∴k＝﹣2m＝2．故答案為：2．【變式1-2】(2023?杭州模擬）若多項式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，則m的值是．分析：設另一個因式是x+a，根據(jù)已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再進行化簡，即可求出a、m值．【解答】解：∵多項式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，∴設另一個因式是x+a，則（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，∵（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，∴a﹣1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2，故答案為：2．【變式1-3】(2023春?永嘉縣校級期末）若多項式x2+mx+n（m、n是常數(shù)）分解因式后，有一個因式是x+1，則m﹣n的值為．分析：設另一個因式為x+a，因為整式乘法是因式分解的逆運算，所以將兩個因式相乘后結果得x2+mx+n，根據(jù)各項系數(shù)相等列式，計算可得m﹣n的值．【解答】解：設另一個因式為x+a，則x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a，由此可得a+1=m①n=a②由①得：a＝m﹣1③，把③代入②得：n＝m﹣1，m﹣n＝1，故答案為：1．【考點2用常規(guī)方法進行因式分解】【例2】(2023春?滕州市校級月考）分解因式：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）（a2+4）2﹣16a2；（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．分析：（1）先提公因式，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；（2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；（3）利用提公因式法分解即可；（4）利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2（x﹣3）2；（2）（a2+4）2﹣16a2＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）＝（a+2）2（a﹣2）2；（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）＝2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）＝2（x﹣y）（x﹣y﹣3）；（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）＝（7a﹣b）（a﹣7b）．【變式2-1】(2023秋?桐柏縣月考）分解因式：（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）3m2n﹣12mn+12n；（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；（4）（x2+9）2﹣36x2．分析：（1）將y﹣x變形為﹣（x﹣y），提公因式即可；（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；（3）把（x+2y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式即可．【解答】解：（1）原式＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y）＝（x﹣y）（a﹣b）；（2）原式＝3n（m2﹣4m+4）＝3n（m﹣2）2；（3）原式＝（x+2y）2﹣4（x+2y）+4＝（x+2y﹣2）2；（4）原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2．【變式2-2】(2023秋?陵城區(qū)月考）把下列各式分解因式：（1）6ab3﹣24a3b；（2）x4﹣8x2+16；（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．分析：（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式，最后用積的乘方；（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解因式．【解答】解：（1）原式＝6ab（b2﹣4a2）＝6ab（b+2a）（b﹣2a）；（2）原式＝（x2﹣4）2＝[（x+2）（x﹣2）]2＝（x﹣2）2（x+2）2；（3）原式＝（x+y）（a2﹣b2）＝（x+y）（a+b）（a﹣b）；（4）原式＝（2mn+m2+n2）（2mn﹣m2﹣n2）＝﹣（m+n）2（m﹣n）2．【變式2-3】(2023春?槐蔭區(qū)校級月考）把下列各多項式因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；（6）16x4﹣72x2y2+81y4．分析：（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；（2）（3）先把（b﹣a）用﹣（a﹣b）表示，再提取公因式；（4）先利用平方差公式再利用完全平方公式分解；（5）把m2﹣5看成一個整體，先利用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（6）先利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．【解答】解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）＝﹣3xy2（x﹣y）2；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）；（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2；（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16＝（m2﹣5+4）2＝（m2﹣1）2＝[（m+1）（m﹣1）]2＝（m+1）2（m﹣1）2；（6）16x4﹣72x2y2+81y4＝（4x2﹣9y2）2＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．【考點3用分組分解法進行因式分解】【例3】(2023秋?永吉縣期末）閱讀下列材料：一般地，沒有公因式的多項式，當項數(shù)為四項或四項以上時，經(jīng)常把這些項分成若干組，然后各組運用提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分組分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（a+b+1）（a+b﹣1）（直接寫出結果）．分析：（1）①直接將前兩項和后兩項組合，提取公因式，進而分解因式即可；②直接將前兩項和后兩項組合，提取公因式，進而分解因式即可；（2）將前三項利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）＝3（m﹣y）+a（m﹣y）＝（m﹣y）（3+a）；②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）＝a2（x+y）+b2（x+y）＝（x+y）（a2+b2）；（2）a2+2ab+b2﹣1＝（a+b）2﹣1＝（a+b+1）（a+b﹣1）．故答案為：（a+b+1）（a+b﹣1）．【變式3-1】(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）先閱讀下面材料，再完成后面的問題：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成組，并提出a，再把它的后兩項分成組，并提出b，從而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）這時，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（請你完成分解因式下面的過程）＝（b﹣c）（a﹣b）．（2）m2﹣mn+mx﹣nx．（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．分析：（1）提公因式（b﹣c）即可；（2）先分組，使因式分解先在組內進行，再使分組在組與組之間進行即可；（3）前兩項提公因式x2y，后兩項利用平方差公式，再進行提公因式即可．【解答】解：（1）提公因式（b﹣c）得，（b﹣c）（a﹣b），故答案為：（b﹣c）（a﹣b）；（2）m2﹣mn+mx﹣nx＝m（m﹣n）+x（m﹣n）＝（m﹣n）（m+x）；（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16＝x2y（y﹣2）﹣（4y+8）（y﹣2）＝（y﹣2）（x2y﹣4y﹣8）．【變式3-2】分解因式（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．分析：（1）首先利用補項法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出；（2）先利用十字相乘法把前三項化為兩個因式積的形式，再把后三項湊出前兩項中任意整式，提取公因式即可．【解答】解：（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8＝x2+2x（1﹣y）﹣3y2+10y﹣8＝x2+2x（1﹣y）+（1﹣y）2﹣（1﹣y）2﹣3y2+10y﹣8＝[x+（1﹣y）]2﹣1+2y﹣y2+﹣3y2+10y﹣8＝[x+（1﹣y）]2﹣（4y2﹣12y+9）＝[x+（1﹣y）]2﹣（2y﹣3）2＝[x+（1﹣y）﹣（2y﹣3）][x+（1﹣y）+（2y﹣3）]＝（x﹣3y+4）（x+y﹣2）；（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3＝（2x﹣3y）（2x+y）﹣3（2x﹣3y）+（2x+y）﹣3＝（2x﹣3y）（2x+y﹣3）+（2x+y﹣3）＝（2x﹣3y+1）（2x+y﹣3）．【變式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．分析：首先將第1，2項組合以及將第3，6相結合和第4，5項結合提取公因式求出即可．【解答】解：2ax+2ay﹣3bx+4cy﹣4cx﹣3by＝2a（x+y）﹣3b（x+y）+4c（y+x）＝（x+y）（2a﹣3b+4c）．【考點4用十字相乘法進行因式分解】【例4】(2023秋?微山縣期末）【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．【方法探究】對于多項式x2+（p+q）x+pq我們也可這樣分析：它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)+（p+q）．所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)5．所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．類比探究：當二次項系數(shù)不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解．例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．分析：二次項系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項﹣6分解成﹣1與6（或﹣6與1，﹣2與3，﹣3與2）的積，但只有當﹣2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．【方法歸納】一般地，在分解形如關于x的二次三項式ax2+bx+c時，二次項系數(shù)a分解成a1與a2的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項c分解成c1與c2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如圖4所示方式排列，當且僅當a1c2+a2c1＝b（一次項系數(shù)）時，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法應用】利用上面的方法將下列各式分解因式：（1）x2﹣5x+6；（2）10x2+x﹣21；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．分析：（1）根據(jù)6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），進行分解即可；（2）根據(jù)10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，進行分解即可；（3）先把x2﹣4x看成一個整體，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．【變式4-1】(2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通過這樣的關系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項﹣3＝（﹣1）×3，一次項系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用這種方法，將下列多項式分解因式：（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．分析：（1）把10分解成2×5；（2）把﹣3分解成﹣3×1；（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案為：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．【變式4-2】(2023秋?新泰市期中）提出問題：你能把多項式x2+5x+6因式分解嗎？探究問題：如圖1所示，設a，b為常數(shù)，由面積相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，就可以對形如x2+（a+b）x+ab的多項式進行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．觀察多項式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項為兩數(shù)之和．解決問題：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．運用結論：（1）基礎運用：把多項式x2+4x﹣21進行因式分解．（2）知識遷移：對于多項式4x2﹣4x﹣15進行因式分解還可以這樣思考：將二次項4x2分解成如圖2所示中的兩個2x的積，再將常數(shù)項﹣15分解成﹣5與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和為﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次項，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．請用十字相乘法進行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．分析：根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點，分解即可．【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．【變式4-3】(2023春?奉化區(qū)校級期末）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反過來，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2我們發(fā)現(xiàn)，二次項的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子x2﹣x﹣6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1＝1×1，把常數(shù)項﹣6也分解為兩個因數(shù)的積，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次項的系數(shù)﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解為（x+2）（x﹣3）．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）．【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）2x2+5x﹣7（x﹣1）（2x+7）；（2）6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）．【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）．（2）若關于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值．（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，請寫出一組符合題意的x，y的值．分析：【閱讀與思考】根據(jù)閱讀材料中的方法分解即可；【理解與應用】利用得出的十字相乘法分解即可；【探究與拓展】（1）仿照十字相乘方法分解即可；（2）根據(jù)題意確定出m的值即可；（3）寫出一組符合題意x與y的值即可．【解答】解：【閱讀與思考】分解因式：x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；故答案為：（x+3）（x﹣2）；【理解與應用】（1）2x2+5x﹣7＝（x﹣1）（2x+7）；（2）6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）；故答案為：（1）（x﹣1）（2x+7）；（2）（2x﹣y）（3x﹣2y）；【探究與拓展】（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）；故答案為：（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）（2）∵關于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，∴存在其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，∴m＝27+16＝43或m＝﹣72﹣6＝﹣78，故m的值為43或﹣78；（3）x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，可以是x＝﹣1，y＝0（答案不唯一）．【考點5用整體思想進行因式分解】【例45】(2023秋?濮陽期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．分析：（1）把x﹣y看作一個整體，利用完全平方公式分解即可；（2）把a+2看作一個整體，利用完全平方公式分解即可；（3）把y2﹣6y看作一個整體，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）設x﹣y＝m，原式＝1﹣2m+m2＝（1﹣m）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2；（2）設a+2＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2＝[5（a+2）﹣1]2＝（5a+9）2；（3）設y2﹣6y＝m，原式＝m（m+18）+81＝m2+18m+81＝（m+9）2＝（y2﹣6y+9）2＝（y﹣3）4．【變式5-1】(2023秋?開封期末）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2+px+q的二次三項式分解因式時，如果能滿足q＝mn，且p＝m+n，則可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．解：將“x+y”看成一個整體，令x+y＝m，則原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．再將“m”還原，得原式＝（2x+2y+1）2．上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．（1）根據(jù)材料1，分解因式：x2﹣7x+12．（2）結合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．分析：（1）將x2﹣7x+12寫成x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4），根據(jù)材料1的方法可得（x﹣3）（x﹣4）即可；（2）①令x﹣y＝A，原式可變?yōu)锳2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可；②令B＝x（x+2）＝x2+2x，原式可變?yōu)锽（B﹣2）﹣3，即B2﹣2B﹣3，利用十字相乘法可分解為（B﹣3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，則原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝x（x+2）＝x2+2x，則原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3，＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（x2+2x+1）（x2+2x﹣3）＝（x+1）2（x﹣1）（x+3）．【變式5-2】(2023春?南山區(qū)校級期中）先閱讀材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．解：令a+b＝M，則（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．材料中的解題過程用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你運用這種思想方法解答下列問題：（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．分析：（1）將（x+y）看作一個整體進行因式分解；（2）將（m+n）看作一個整體進行因式分解；（3）先計算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再將n2+3n看作整體因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，繼而由n2+3n+1為正整數(shù)可得答案．【解答】解：（1）令x+y＝M，則（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．故答案為：（x+y﹣1）2；（2）令A＝m+n，則（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．令n2+3n＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2＝（n2+3n+1）2．∵n是正整數(shù)，∴n2+3n+1也為正整數(shù)．∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．【變式5-3】(2023春?驛城區(qū)校級月考）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看成一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學用換元法對多項式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4進行因式分解的過程．解：設x2+2x＝y(tǒng)．原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．請根據(jù)上述材料回答下列問題：（1）小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的D；A．提取公因式法B．平方差公式法C．差的完全平方公式D．和的完全平方公式（2）老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：（x+1）4；（3）請你用換元法對多項式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4進行因式分解．分析：（1）直接由第三步的式子得到結果；（2）由x2+2x+1＝（x+1）2得到最后結果；（3）設9x2﹣6x＝y(tǒng)，然后代入原式因式分解．【解答】解：（1）由（y+1）2可知第二步到第三步運用了和的完全平方公式，故選：D．由y2+2y+1＝（y+1）2可知，小涵運用了因式分解的完全平方公式法，故選C．（2）∵x2+2x+1＝（x+1）2，∴（x2+2x+1）2＝（x+1）4，故答案為：（x+1）4．（3）設9x2﹣6x＝y(tǒng)，原式＝（y+3）（y﹣1）+4＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（9x2﹣6x+1）2＝（3x﹣1）4．【考點6用拆項法進行因式分解】【例6】(2023秋?隆昌市校級月考）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結果分解徹底．（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請你試一試在實數(shù)范圍內分解因式x4﹣5x2+6．分析：（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．【解答】解：（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+2）（x?2）（x+3）（【變式6-1】(2023春?南京月考）在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．先閱讀，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照這種方法把多項式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．分析：（1）將原式變形為x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，進一步分解可得；（2）將原式變形為a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再進一步分解可得．【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）a4+a2b2+b4＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．【變式6-2】(2023秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．分析：（1）將前兩項利用平方差公式分解因式，進而利用提取公因式法分解因式得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．【變式6-3】(2023秋?微山縣月考）【閱讀材料】對于二次三項式a2+2ab+b2可以直接分解為（a+b）2的形式，但對于二次三項式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我們可以在二次三項式a2+2ab﹣8b2中先加上一項b2，使其成為完全平方式，再減去b2這項，（這里也可把﹣8b2拆成+b2與﹣9b2的和），使整個式子的值不變．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我們把像這樣將二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．【應用材料】（1）上式中添（拆）項后先把完全平方式組合在一起，然后用添（拆）項法實現(xiàn)分解因式．（2）請你根據(jù)材料中提供的因式分解的方法，將下面的多項式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．分析：（1）根據(jù)給出材料方法，直接得答案；（2）①把8變?yōu)?﹣1，利用添（拆）項法分解；②把9b4變?yōu)?5b4﹣16b4，利用添（拆）項法分解．【解答】解：（1）二次三項式a2+2ab﹣8b2的因式分解，利用了添（拆）項法．故答案為：添（拆）項．（2）①m2+6m+8＝m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣1＝（m+3+1）（m+3﹣1）＝（m+4）（m+2）；②a4+10a2b2+9b4＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）＝（a2+9b2）（a2+b2）．【考點7由因式分解求值】【例7】(2023秋?鐵西區(qū)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）A．2 B．5 C．20 D．9分析：根據(jù)分組分解法分解因式得c2﹣（a+b）2＝10，從而（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，根據(jù)a+b+c＝﹣5即可得出答案．【解答】解：∵c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，∴c2﹣（a2+2ab+b2）＝10，∴c2﹣（a+b）2＝10，∴（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，∵a+b+c＝﹣5，∴c﹣a﹣b＝﹣2，∴a+b﹣c＝2，故選：A．【變式7-1】(2023秋?思明區(qū)校級期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），則m3+2mn﹣n3＝（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2分析：由m2＝2﹣n，n2＝m+2及平方差公式可得m﹣n＝﹣1，由m3＝m?m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n?n2＝n（m+2）＝mn+2n可得原式＝2（m﹣n）＝﹣2．【解答】解：∵m2＝2﹣n，n2＝m+2，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2﹣n﹣m﹣2＝﹣（m+n），∴m﹣n＝﹣1，∵m3＝m?m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n?n2＝n（m+2）＝mn+2n，∴m3+2mn﹣n3＝2m﹣mn+2mn﹣mn﹣2n＝2（m﹣n）＝﹣2，故選：D．【變式7-2】(2023秋?東興區(qū)校級期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．分析：由已知a，b，c求出a﹣b，a﹣c以及b﹣c的值，原式乘以2變形，利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：∵a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，原式=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）＝3，故答案為：3．【變式7-3】(2023秋?源匯區(qū)校級期中）若實數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝2022．分析：先將x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入計算可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．【考點8因式分解的應用】【例8】(2023秋?松滋市期末）如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以分解因式為（a+2b）（2a+b）；（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15