均值不等式和柯西不等式

中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家PAGE1PAGE3中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家龍文教育·教育是一項良心工程武漢龍文教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時間5-5授課題目不等式（二）課型復(fù)習(xí)使用教具講義、白紙教學(xué)目標(biāo)靈活的運(yùn)用均值不等式和柯西不等式求最值教學(xué)重點和難點重點和難點在于如何用有效的方法去解決最值問題參考教材網(wǎng)資教學(xué)流程及授課詳案柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若，則（1）是正數(shù)；（2）和（）或（）為定值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號。在運(yùn)用均值不等式解題時，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性轉(zhuǎn)化、變形，才能求得正確的最值。二例題：柯西不等式向量求最值1、設(shè)，試求的最大值與最小值。答：根據(jù)柯西不等式即而有故的最大值為15，最小值為–15。2、設(shè)，試求之最小值。答案：考慮以下兩組向量=(2,–1,–2)=(x,y,z)根據(jù)柯西不等式，就有即將代入其中，得而有故之最小值為4。3、設(shè)，，求的最小值m，并求此時x、y、z之值。Ans：4設(shè)x，y，zR，2x2yz80，則(x1)2(y2)2(z3)2之最小值為解：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考慮以下兩組向量=(,,)，=(,,)

[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)2(z3)2]．(222212)

(x1)2(y2)2(z3)295設(shè)x,y,zR，若，則之最小值為________，又此時________。解：2x3(y1)z()，考慮以下兩組向量=(,,)，=(,,)解析：∴最小值∴∴因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，又因為所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。上面兩式同時取等號，故。評注：錯解中取不到等號成立的條件是當(dāng)時，，則，這是不可能的。本例也告訴我們，在用均值不等式求三角函數(shù)最值時，既要考慮等號，又要考慮三角函數(shù)的有界性，使等號成立的條件與三角函數(shù)的有界性保持一致。四、綜合變換例5求函數(shù)的最小值，下列解法是否正確？為什么？解法1：，所以。解法2：當(dāng)，即時，。評注：所給兩種解法均有錯誤。解法1錯在取不到“等”，即不存在x使，解法2錯在不是定值。正解：對原函數(shù)合理拆（添）項，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，。通過以上幾例我們體會到：均值定理真重要，用于最值有訣竅，正確理解“正、定、等”，合理進(jìn)行拆、拼、湊。練習(xí)：1.已知x>0，y>0，且，求的最小值。2.若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3.求的最大值。答案與提示：1.由（定值），又知x>1，y>9，故當(dāng)且僅當(dāng)x－1=y－9=3，即x=4，y=12時，。2.由，得3.，此時，，故當(dāng)時，。一、配湊1.湊系數(shù)例1.當(dāng)時，求的最大值。2.湊項例2.已知，求函數(shù)的最大值。3.分離例3.求的值域。二、整體代換例4.已知，求的最小值。三、換元例5.求函數(shù)的最大值。四、取平方例6.求函數(shù)的最大值。［練一練］若，求的最大值。求函數(shù)的最小值。求函數(shù)的最小值。已知，且，求的最小值。5設(shè)是滿足的正數(shù)，則的最大值是()6若，且恒成立，則a的最小值是()78已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍9已知，且，則的最大值為10設(shè)且，求的最大值11求的最小值。12、設(shè)x，y，zR且，求xyz之最大值，最小值。13、已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范圍.14、設(shè)a,b,c,x