-微分方程的基本概念

§9.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、問題的提出二、微分方程的定義微積分電子教案引例

一曲線通過點(1,2),且在該曲線上的任一點M(x,y)處的切線的斜率為2x,

求該曲線的方程。解：設(shè)所求曲線方程為：y=f(x)兩邊對x求積分：即

y=x2+C將x=1,y=2代入，得：2=1+C即

C=1故所求曲線為：y=x2+1一、問題的提出由題意得：定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程的定義定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定義未知函數(shù)是多元函數(shù)，即含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程常微分方程定義2微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。二階微分方程n階微分方程的一般形式為：F(x，y，y

，y

，…，y(n))=0一階微分方程二、微分方程的定義2.2、微分方程的階二、微分方程的定義2.3、微分方程的分類分類1:常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程分類2:分類3:線性(未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次)非線性微分方程分類4:單個微分方程與微分方程組.定義3

若將某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程,可使方程成為恒等式,則稱此函數(shù)為微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1

驗證下列函數(shù)都是微分方程y

－2y

+y=0的解.解:代入原方程∴

是原方程的解.代入原方程：∴

是原方程的解.三、微分方程的解例1

驗證下列函數(shù)都是微分方程y

－2y

+y=0的解.解:代入原方程：∴

是原方程的解.解的線性組合也是解y=0也是解。均為解，有何區(qū)別？⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常數(shù)，這些常數(shù)相互獨立(即不能合并了)，且個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。3.2、通解與特解三、微分方程的解⑵特解：確定了通解中任意常數(shù)的解。例1中：——通解——特解——既非通解，也非特解，是個解?！娼猓ǖ皇翘亟?，不研究）通解：通用的解，含有任意常數(shù)；特解：特殊的解，不含有任意常數(shù)⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常數(shù)，這些常數(shù)相互獨立(即不能合并了)，且個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。3.2、通解與特解三、微分方程的解⑵特解：確定了通解中任意常數(shù)的解。特解可以從通解中通過某個條件求出常數(shù)得到特解稱為定解條件，也稱為初始條件一般地，n階微分方程就有n個定解條件三、微分方程的解求特解步驟：先求通解，代入初始條件，確定通解中任意常數(shù)的值，可得特解。微分方程微分方程的通解初始條件如引例求解得：微分方程的特解解例3

驗證:函數(shù)是微分方程的解.并求滿足初始條件的特解.三、微分方程的解所求特解為練習：為微分方程的特解.三、微分方程的解函數(shù)是微分方程的解嗎？如是解，請問是什么解?練習題練習題答案§5.2一階微分方程Basicconceptofdifferentialequations三、齊次方程一、一階微分方程的形式四、一階線性微分方程微積分電子教案二、可分離變量的微分方程⑴一般形式:F(x,y,y

)=0⑵正規(guī)型:⑶微分型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正規(guī)型可化為如：

下面只討論一階微分方程中最常見的幾種類型及解法,包括：可分離變量的微分方程、齊次微分方程、線性齊次微分方程、線性非齊次微分方程。一、一階微分方程的形式y(tǒng)

=

f(x,y)⑴形式：即變量x的函數(shù)和微分與變量y的函數(shù)和微分已分離在等式兩邊（或已分離開來）.⑵解法：直接積分。例1、求通解：解：兩邊積分故原方程的通解為：2.1、可分離變量的微分方程二、可分離變量的微分方程例2求通解：解：兩邊積分得：二、可分離變量的微分方程故原方程的通解為：結(jié)論1:

通解既可用顯函數(shù)表示,也可用隱函數(shù)表示.⑴形式：二、可分離變量的微分方程2.2、可分離變量的微分方程⑵解法：先分離變量，再兩邊積分即可?；蚶?

解微分方程解:先分離變量，二、可分離變量的微分方程再兩邊積分故原方程的通解為二、可分離變量的微分方程⑵若積分后出現(xiàn)對數(shù),則可將任意常數(shù)寫成

lnC的形式,以利化簡.說明:⑴在解微分方程時,對形如…積分,可直接得lnx,lny,…不必加絕對值；òdxx1òdyy1例3解題過程可簡化為：先分離變量：再兩邊積分解：二、可分離變量的微分方程例4求方程滿足初始條件y(1)=2的特解.分離變量積分得：故通解為:將x=1,y=2代入通解故所求特解為：得：C=10例5

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù),且滿足:求f(x).注：⑴積分方程求導(dǎo)后化為微分方程;

⑵注意隱條件.二、可分離變量的微分方程ò+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程對x求導(dǎo)：即：分離變量得：兩端積分得：由原方程可知：f(0)=0代入通解C=2故把函數(shù)的自變量乘以一個因子

，如果此時因變量相當于原函數(shù)乘以這個因子的冪，則稱此函數(shù)為齊次函數(shù)。定義函數(shù)為k次齊次函數(shù)，需滿足關(guān)系：

解：⑴∵f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故⑴是齊次函數(shù),且是3次齊次函數(shù);故⑵是齊次函數(shù),且是0次齊次函數(shù).三、齊次方程⑴復(fù)習:證明函數(shù)⑴f(x,y)=50xy2;都是齊次函數(shù),并說明是幾次齊次函數(shù).yxyxyxf+-=),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.1、齊次方程的引入3.2、齊次方程及其解法⑷解法：①化標準形式；②變量替換；③分離變量；④求通解；⑤回代。⑵標準形式：⑶常見形式：如三、齊次方程化為標準形式⑴定義:微分方程

中,若為0次齊次函數(shù),則稱該方程為齊次微分方程,簡稱為齊次方程.⑴—關(guān)于y的微分方程代入原方程,得：⑵—關(guān)于u的微分方程分離變量,得：積分、整理得通解：回代得：是⑴的解。三、齊