2022-2023學(xué)年蘇教版（2019）選擇性必修一第五章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 單元測(cè)試卷（含答案）

蘇教版(2019)選擇性必修一第五章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

3

r_1?r?S∩

1、設(shè)0<m≤2,已知函數(shù)/(幻二一十DU,對(duì)于任意M,χ2G[m-2,m]f都有

16〃？

∣∕(%1)-∕(x2)∣≤ι,則實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍為()

A.T2b?P2dT1

2、已知定義在(0,?κo)上的函數(shù)y=/(x)有不等式2∕(x)<0?'(x)<3∕(x)恒成立，其中y=f'(x)為

函數(shù)y=/(X)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.4<^^<16B.4<^^<8C.3<^^<4D.2<^^<4

/⑴/(D/d)AI)

3、內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()

43

A.RB.2/?C:RD.-R

34

4、某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)斤，每種植一斤藕，成

本增加0.5元.已知銷(xiāo)售額函數(shù)是/(X)=-"丁+看奴,+3犬(X是蓮藕種植量，單位：萬(wàn)斤；銷(xiāo)售額

的單位：萬(wàn)元，。是常數(shù))，若種植2萬(wàn)斤，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕

()

A.6萬(wàn)斤B.8萬(wàn)斤C.3萬(wàn)斤D.5萬(wàn)斤

5、已知函數(shù)/(x)=3x3-d√+x-5在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()

(371

A.(―oo,5JB.(―∞,5)C.I—D.(—oo,3]

6、已知/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)Xe(0,2)時(shí)，/(x)=InX-Or(α>g),當(dāng)Xe(-2,0)時(shí)，/(x)的最小值

為1,則“的值為()

A.lB.2C.3D.-1

2

7、若x=-2是函數(shù)/(x)=(9+αv一ι)e*τ的極值點(diǎn)，則f(x)=(x+0r-l)e*τ的極小值為()

A.-lB.-2e-3C.5e^3D.1

8,已知奇函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,他))上滿(mǎn)足M~'(x)+f(x)>O,且八一1)=0,則不等式劃^(x)<0的解

集為()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-∞,-l)o(0,l)C.(-1,0)u(0,1)D.(-l,0)o(l,+∞)

9、如圖，y=∕(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線(xiàn)Ly=丘+2是曲線(xiàn)y=∕(x)在x=3處的切線(xiàn)，令

g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g'⑶的值為()

A.-lB.0C.2D.4

10、設(shè)函數(shù)/*)=V+3_1)￡+奴.若∕?(χ)為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)y=/(X)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線(xiàn)方程

為()

A.y=4x—1B.y=2x-4C.y=4x-2D.y=2x-6

二、填空題

11、已知/(x)的定義域?yàn)?ro,0)50,R),/'(X)是導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足礦⑴一2∕(x)>0,若/(x)是

偶函數(shù)，/(1)=1,則不等式F(X)>寸的解集為.

12、設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+0r2-?∣x,若x=l是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極小值為

13、已知函數(shù)/(x)=2/⑴InX-X,則/(x)的極大值為.

14、設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo)，若Iim純出二迎=1,則八1)=.

心→03?x

15、已知函數(shù)/(x)=XInX+2x(x-a)2(α∈R).若存在χ∈［l,引，使得/(x)>4'(x)成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

三、解答題

16、已知函數(shù)/(x)=αr-l-lnx(a∈R).

(1)若α=l,求f(x)在區(qū)間H，e］上的極值；

e_

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

17、已知函數(shù)/(x)=Inx+二.

X

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間［2,+oo)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值為3,求實(shí)數(shù)“的值.

18、已知函數(shù)/(x)=gα√-gχ2+i(α>o)

(1)若函數(shù)/(x)的圖象與直線(xiàn)6x-3y-7=0相切，求實(shí)數(shù)”的值；

(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值.

19、已知函數(shù)f(x)=x3.

(1)求函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù);

(2)過(guò)點(diǎn)p(∣,θ)作函數(shù)/(x)的圖象的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程.

參考答案

1、答案：B

解析：設(shè)g(x)=∕-12x+50,貝ijg，(X)=3/—12=3,2—4),當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，g'(x)>O,

g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)-2<x<2時(shí)g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<〃/2時(shí)，[m-2向1>[-2,2],所

以g(x)在區(qū)間何-2,〃?]上單調(diào)遞減，所以/(X)在區(qū)間[加-2,〃?]上單調(diào)遞減，所以

/(x)gχ=/(機(jī)-2),/(x)min=f(m),因?yàn)閷?duì)于任意內(nèi)，XJe[m-2,m],都有∣∕(x1)-/(%)|41，

GEZ?z\,...Hnz?∕c、￡/?(m-2)3—12(加—2)+50ι∏,-12ZH+50.Hl

所以/(x)χ-/(xz)xms41，即/(%-2)一/(,W)=?——T1——---------------------------41,即r

maIom16/77

、4「4-

3T7∕2+2∕M-8≥O,解得，"≤-2或加≥2.又0vm≤2,所以實(shí)數(shù)，"的取值范圍為一,2.

313.

2、答案：B

解析:由2/(X)C礦(X),得析(x)?x-2f(x)>0.因?yàn)閥=f(x)定義在(0,加)上,所以

2WV

f'(x)-X-2xf(x)>Q.^g(x)=Δ^-,則g<χ)=/'-：2V(X)>o,故函數(shù)g(χ)在區(qū)間(0,KO)

JrX

上單調(diào)遞增.由g(2)>g⑴，得華又2∕(x)<3"r),所以∕?(x)>0,所以幽>4.同理令

22I2/(?)

Mx)=卒，/(X)=Fa)?χ3-3/1(X)=/'(X)?X:3∕(x)<0,則函數(shù)〃(X)在區(qū)間(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞

χ,XX

減.由∕z(2)<∕z⑴，得幺^<華，即以々<8.綜上4<∕^<8.

23I3?(l)/(1)

3、答案：C

解析：設(shè)圓錐的高為人，底面半徑為r,體積為匕則R2=(∕2-R)2+/,所以，=2股一人2,所以

V=-πr2h=-h(2Rh-h2]=-πRh2--h3,V'=-πRh-πh2,令V'=0,^h=-R,當(dāng)O<∕J<±R

33`,33333

4P4.、

時(shí)，Vz>0；當(dāng)——<〃<2R時(shí)，Vz<0,所以當(dāng)〃=一農(nóng)時(shí)，圓錐體積最大.

33

4、答案：A

解析：設(shè)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為g(x),則^(x)=-^x3+?ɑr2+??-l-??,即g(x)=-ξ%3+γ^ax2-1,

Q51Q

當(dāng)x=2時(shí)，^(2)=—1+—a—1=—>解得a=2,?kg(x)=——x3+-X2—1,則

g,(x)=--√+-x=--x?(x-6),可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,6)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(6,8)上單調(diào)遞

848

減，所以當(dāng)x=6時(shí)，利潤(rùn)最大.

5、答案：A

解析：由題意，得r(x)=9f-20x+l≥0在區(qū)間[1,2]上恒成立，則=10,所以

IMmin

a≤5.

6、答案：A

解析:因?yàn)?(%)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),/(x)的最小值為1,所以Fa)在區(qū)間(0,2)上的最大

值為-1,當(dāng)Xe(0,2)時(shí)，f?x)=--a,令/(χ)=0,得χ=L.又所以0<工<2,令

Xa2a

Γ(X)>O,則X/，所以/(x)在區(qū)間jo-]上單調(diào)遞增；令((x)<0,則x>L所以F(X)在區(qū)

aVa)a

間上單調(diào)遞減，所以/(χ)maχ=/(1]=ln1-α?4=T,所以InL=0,則α=l?

?a)?a)aaa

7、答案：A

解析：因?yàn)閞(x)=[x2+(a+2)x+α—l]e'v^l,f(-2)=0,所以α=T,所以

/(x)=(x2-x-l)ev^',∕,(x)=(x2+?-2)ejr^l.4∕,(x)=O,解得x=—2或x=l,所以當(dāng)

x∈(ro,-2)時(shí)，∕,(Λ)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-2,l)時(shí)，f'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)

x∈(l,+∞)時(shí)，尸(X)>0,f(x)單調(diào)遞增，所以/(x)的極小值為F(I)=(I-l-l)e∣τ=T.

8、答案：C

解析：由題意可令版X)=獷3，則∕ι(x)為偶函可當(dāng)x>0時(shí),“(X)=礦(x)+∕?(x)>0,則∕z(x)為

增函數(shù)，4(》)<0等價(jià)于/?。)<0="(一1),即〃(IXl)<∕ι⑴，則IXl<1,所以T<x<l.又/7(0)=0,

故不等式的解集為(-l,O)u(O,l).

9、答案：B

解析：由于點(diǎn)(3,1)在函數(shù)y=履+2的圖象上，則k=-g,即/(3)=-g,對(duì)函數(shù)g(x)=4(x)求

導(dǎo)，得g'(x)=∕(x)+H(x),所以g'(3)=/(3)+3f'(3)=1+3、+!卜0.

10、答案：C

解析：由題意，得/(X)的定義域是R,因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以

/(-x)=-X3+(Q—l)d-ax=-f(x)=-X3-(a-l)x2-ax,即(〃-l)x2=O,所以α—]=0,則

67=1,所以/(x)=d+χ,則八χ)=3f+l,所以八1)=4.又/⑴=2,所以切線(xiàn)方程是

γ-2=4(x-l),即y=4x-2.

11、答案：(→o,T)5L÷∞)

解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=9,該函數(shù)的定義域?yàn)?Y0,0)=(0,”).因?yàn)楹瘮?shù)A(X)為偶函數(shù)，所以

X

g(-x)=止?=駕=g(χ),所以函數(shù)g(χ)為偶函數(shù).又g<χ)=X?/'w-/(X),當(dāng)χ>0時(shí)，

(-χ)XX

礦(x)-2∕(x)>0,貝∣J∕(x)>O,所以函數(shù)g(x)在(0,E)上為增函數(shù).因?yàn)?⑴=1,所以

g⑴=斗=1.由/(x)>χ2,得綽>1,即g(χ)>g(l),所以g(∣χ∣)>g⑴，所以∣χ∣>l,解得

1-JT

XVI或x>l,故不等式f(x)>X2的解集為(Yo,-I)5L+0°).

12、答案：In2-2

解析：由題意，得/'(X)=—+2Or—.乂X=I是函數(shù)/(九)的極大值點(diǎn)，所以/⑴=-+勿—=O?

X212

,,

解得4=；,則f(χ)=inx+]-∣x,∕(χ)=l+∣-∣Λ∕(x)=0,解得x=l或x=2,則當(dāng)

x=2時(shí)，/(x)的極小值為ln2-2.

13、答案：21n2-2

解析：因?yàn)閞(x)=也2—1,令X=I,則/(1)=2/(1)一1,解得/⑴=1,所以r(x)=2-l.令

XX

f'(x)=0,解得x=2,所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f'(x)>O,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xw(2,?κo)時(shí),

∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值/(2)=2In2—2.

14、答案：3

解析：因?yàn)镮im""詞一"1)=],所以Jlim?〃1+AX)-/⑴=],即Ir⑴=1,故/()=3.

—??r3刈3,AV3

15、答案：(i+00)

解析：由/(x)>礦(X),得[號(hào)]<°，設(shè)g(x)=號(hào)=lnx+2(x-a)2,則存在XWU,3],使得

g'(x)<O成立，即g'(x)=J+4(x-a)<0成立，所以a〉'+》成立，所以a>('+x].令

X4x14XJmin

t{x}=-+x,則ax)。+Dpi),所以Xe[i,3]時(shí)，f'(x)>O,r(x)單調(diào)遞增，所以

4x4x^

+

/(χ)min=r(l)=I，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(i∞).

16、答案：(1)有極小值/⑴=0,無(wú)極大值

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)AX)的單調(diào)減區(qū)間為(0,yo),無(wú)單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0」],單調(diào)增區(qū)間為卜,+81

解析：(1)當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=X-I-Inx,

Iγ一1

所以/"(X)=I——=——(x>0),

XX

則:。)，/(X)隨X的變化情況如下表:

X1(?,e]

一(X)-O+

/(X)、極小7

所以f(x)在區(qū)間H，e

上有極小值〃1)=0,無(wú)極大值.

e

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?O,+∞),f'(χ)=α—L=竺二!■.

XX

當(dāng)a≤0時(shí)，0r-l<0,從而f'(x)<O,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,yo)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，若0<x<—，則eve-1<0>從而?(?)<0；若x>—，則cix—1>0>從而f?x)≥0.

aa

故函數(shù)f(X)在區(qū)間((),5)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(},+oo)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)α≤0時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞),無(wú)單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)

的單調(diào)減區(qū)間為(0,J，單調(diào)增區(qū)間為［*oo).

17、答案：(1)由題意，得r(X)=三在.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［2,+OO)上是增函數(shù)，且∕>O,所以X—2αN0在區(qū)間［2,W)恒成立，即

2-2a≥0,解得α≤l.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(TO,1］.

(2)由題意，得r(X)=土g.

X"

①當(dāng)α≤j時(shí)，f'(x)=三3≥0在區(qū)間［l,e］上恒成立，所以f(x)在區(qū)間［l,e］上為增函數(shù),

2x~

所以f(x)n?=?ΛD=3,則α=/不符合題意；

②當(dāng)g<.<?∣時(shí)，-(x)=七M(jìn)≤0在區(qū)間U,2ɑ|上成立，

所以f(x)在區(qū)間［l,2α］上為減函數(shù)；

r(X)=土卓NO在區(qū)間［24,e］上成立，

所以f(x)在區(qū)間［24,e］上為增函數(shù)，

所以/(χ)min=f(2a)=3,解得α=/不符合題意；

③當(dāng)42￡時(shí)，r(x)=七^(guò)≤O在區(qū)間［l,e］上恒成立，所以f(x)在區(qū)間［l,e］上為減函數(shù)，

所以f(x)min=f(e)=3,解得α=e,符合題意.

故實(shí)數(shù)a的值為e.

解析：

18、答案：⑴設(shè)切點(diǎn)PNqN-gW+l)

因?yàn)榍芯€(xiàn)方程為6x-3y-7=O,

所以A=2=r(xo)=at；-%,①

乂［岐一^￥+I=2%-1，②

由①，得腐=2+x0③

將③代入②，得片+8x0-20=0,即(X。+10)(%-2)=0,則與=2或ΛO=-10,當(dāng)Xo=2時(shí)，代

9

入③，得a=1;當(dāng)y=一10時(shí)，代入③,得。=---.

25

因?yàn)椤?gt;0,所以實(shí)數(shù)。的值為L(zhǎng)

(2)由題意，得f'