第一節(jié) 圓的基本性質(zhì)

第一節(jié)圓的基本性質(zhì)第六章圓

（1）圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，等圓、等弧的概念；（2）垂徑定理；（3）圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等；（4）圓周角定理及其推論.這部分的內(nèi)容是安徽中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查的部分，幾乎每年都有以這部分內(nèi)容為考查點(diǎn)的命題，其中“圓周角定理及其推論”是圓的考查的重中之重，題型涵蓋了選擇題、填空題和解答題.圓的知識(shí)本身比較綜合，可借助圓考計(jì)算圓內(nèi)線段的長度、角的大小，三角形全等和相似，因此考查的難度一般在中等或偏上.呈·真題呈面前

垂徑定理

1.（2022·安徽）已知☉O的半徑為7，AB是☉O的弦，點(diǎn)P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

D

）B.4D.5D2.（2021·安徽）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E.（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長；

圖1（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD.【解答】（2）連接AC，延長AF交BD于G，如圖2，∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分線，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB，∵∠CDB＋∠B＝90°，∴∠FAE＋∠B＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD.圖2

圓周角

3.（2020·安徽）已知點(diǎn)A，B，C在☉O上，則下列命題為真命題的是（

B

）A.若半徑OB平分弦AC，則四邊形OABC是平行四邊形B.若四邊形OABC是平行四邊形，則∠ABC＝120°C.若∠ABC＝120°，則弦AC平分半徑OBD.若弦AC平分半徑OB，則半徑OB平分弦ACB

5.（2014·安徽）如圖，在☉O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F，D是CF延長線與☉O的交點(diǎn).若OE＝4，OF＝6，求☉O的半徑和CD的長.

與圓的基本性質(zhì)相關(guān)的最值問題

6.（2016·安徽）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為（

B

）B.2B【解答】（1）連接OQ，如圖1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，

7.（2015·安徽）在☉O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在☉O上，且OP⊥PQ.（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長的最大值.

理·梳理知識(shí)點(diǎn)

圓的有關(guān)概念和基本性質(zhì)

1.圓的定義圓的定義有兩種：①在平面內(nèi)，將一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的封閉曲線叫做圓.②在平面內(nèi)，到

定點(diǎn)?距離等于

定長?的所有點(diǎn)組成的圖形，叫做圓，

定點(diǎn)?叫做圓的圓心，

定長?叫做圓的半徑.

如圖，點(diǎn)O叫做圓心，OA叫做半徑，這個(gè)圓記作：☉O，讀作：圓O.定點(diǎn)定長定點(diǎn)定長2.圓的有關(guān)概念概念定義同心圓圓心相同，半徑不同的圓叫做同心圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦直徑經(jīng)過

圓心?的弦叫做直徑

弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用“⌒”表示；小于半圓的弧叫做

劣弧?，大于半圓的弧叫做

優(yōu)弧

圓心劣弧優(yōu)弧

概念定義半圓圓的任意一條

直徑?的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓

等弧能夠互相重合的弧叫做

等弧

弦心距圓心到弦的

距離?叫做弦心距

圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做

圓心角

圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有另一公共點(diǎn)的角叫做

圓周角

直徑等弧

距離圓心角

圓周角

3.圓的基本性質(zhì)①同圓或等圓的半徑

相等?.

②圓的直徑等于同圓或等圓半徑的

2

?倍，直徑是圓的最長的弦.

③圓既是軸對(duì)稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，還是中心對(duì)稱圖形.過圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱軸；圓心是它的旋轉(zhuǎn)中心，圓繞著圓心任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與自身重合.相等2

垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.2.推論：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；②圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

1.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧

相等?，所對(duì)的弦

相等?，所對(duì)弦的弦心距

相等?.

2.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及這兩個(gè)角所對(duì)的弧、所對(duì)的弦、所對(duì)的弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等.相等相等相等

圓周角定理及推論

定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

一半

常見圖形一半

結(jié)論推論（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角

相等?，相等的圓周角所對(duì)的弧也

相等

（2）半圓或直徑所對(duì)的圓周角是90°，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑相等相等

圓的內(nèi)接四邊形

1.定義：一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這樣的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.2.定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

互補(bǔ)?，且任何一個(gè)外角都等于它的

內(nèi)對(duì)角?.

互補(bǔ)內(nèi)對(duì)角講·名師講典例

一般地，半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，圓的半徑為r，弦AB的長為a，弦心距OC的長為d，弓高CD的長為h，這四個(gè)量我們能“知二求二”，具體辦法是連接OB，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算或建立方程求解.

1.（2022·長沙）如圖，A，B，C是☉O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長為

7

?.

7

2.（2022·自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為

26

?厘米.

26

?典例2

（圓周角定理）如圖，AB為☉O的直徑，C，D為圓上的兩點(diǎn)，OC∥BD，弦AD，BC相交于點(diǎn)E.

【解答】（1）連接OD，如圖.∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，

（2）若CE＝1，EB＝3，求☉O的半徑.

解決與圓有關(guān)的角度的問題時(shí)，一般先判斷角是圓心角還是圓周角，再轉(zhuǎn)化為同弧或等弧所對(duì)的圓心角或圓周角，利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”和“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”等關(guān)系求解.特別地，當(dāng)有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解決問題.還要充分利用“在同圓或等圓中，圓心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等?圓周角相等”，進(jìn)行弦、弧、角相等關(guān)系的轉(zhuǎn)換.

1

4.（2022·宜昌）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，連接OB，OD，BD，若∠C＝110°，則∠OBD＝（

B

）A.15°B.20°C.25°D.30°B5.（2022·呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的☉O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長線于點(diǎn)E，連接BE.（1）求證：BD