第二節(jié) 與圓有關的位置關系

第二節(jié)與圓有關的位置關系第六章圓

（1）點與圓的位置關系；（2）直線與圓的位置關系；（3）切線的性質與判定；（4）三角形的外心與內心.從安徽省近幾年的中考試卷看，與本節(jié)有關的命題常常是切線的性質與圓的基本性質綜合考查，命題的題型有選擇題、填空題和解答題，考試的難度中等及以下.從近幾年的考查來看，直線與圓的位置關系，三角形的外心和內心要求較易，切線的概念和切線與過切點的半徑的關系（切線的性質）要求較高，預測對這部分知識的考查著力點還是放在切線的概念和切線與過切點的半徑的關系上.呈·真題呈面前

切線的性質與判定

1.（2018·安徽）如圖，菱形ABOC的邊AB，AC分別與☉O相切于點D，E.若點D是AB的中點，則∠DOE＝

60°

?.

60°

2.（2020·安徽）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點，AD＝BC，AC與BD相交于點F

，BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E.（1）求證：△CBA≌△DAB；【解答】（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ACB＝∠BDA＝90°，

在Rt△CBA和Rt△DAB中，∵BC＝AD，BA＝AB，∴Rt△CBA≌Rt△DAB.（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB.【解答】（2）證明：方法一：∵BE＝BF.又由（1）知BC⊥EF

，∴BC平分∠EBF，

∵AB為半圓O的直徑，BE為切線，∴BE⊥AB，∴∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝

∠CAB

，故AC平分∠DAB.

方法二：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，

∵AB為半圓O的直徑，BE為切線，∴BE⊥AB，∴∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD，故AC平分∠DAB.3.（2022·安徽）已知AB為☉O的直徑，C為☉O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD.（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；

（2）如圖2，若DC與☉O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE.求證：CE⊥AB.【解答】（2）∵DC與☉O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∵∠ACD＝∠ACE，

∴∠OAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB.

三角形的外接圓與內切圓

5.（2017·安徽）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓☉O于點E，連接AE.（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；【解答】證明：（1）由圓周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，

∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，

∴∠E＋∠ECD＝180°，

∴AE∥CD，∴四邊形AECD為平行四邊形；（2）連接CO，求證：CO平分∠BCE.【解答】證明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，

∵四邊形AECD為平行四邊形，

∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，

∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，

∴CO平分∠BCE.

【解答】證明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.理·梳理知識點

點與圓的位置關系

點與圓的位置關系示意圖數(shù)量關系點A在圓內

d表示點到圓心O的距離，r表示☉O的半徑

d＜r

d＝r點B在圓上

d＞r點C在圓外d＜rd＝rd＞r

直線與圓的位置關系

1.設☉O的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關系如下表所示：位置關系相離相切相交示意圖d與r的關系d＞rd＝rd＜r直線與圓公共點的個數(shù)012d＞rd＝rd＜r012①直線與圓相交時，這條直線叫做圓的割線，公共點叫做直線與圓的交點.②直線與圓相切時，這條直線叫做圓的

切線?，唯一的公共點叫做

切點?.

切線切點2.相關概念：

切線的性質與判定

1.切線的性質：圓的切線

垂直于?過切點的半徑.

2.切線的判定：經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【點睛】（1）遇到切線，通常連接過切點的半徑；（2）證明切線的方法是：①“連半徑，證垂直”，即已知直線與圓有公共點，連接過公共點的半徑，證明這條半徑垂直于直線；②“作垂直，證半徑”，即已知直線與圓的公共點位置，過圓心作這條直線的垂線段，證明這條垂線段是圓的半徑.垂直于3.切線長及切線長定理①經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這一點與切點之間線段的長叫做這點到圓的切線長.②切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長

相等?，并且這一點與圓心的連線平分兩切線的夾角.

相等

三角形的外接圓與內切圓

名稱三角形的外接圓三角形的內切圓描述經(jīng)過三角形的三個頂點的圓與三角形各邊都相切的圓圖形圓心名稱外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點內心：三角形三個內角的平分線的交點性質三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等三角形的內心到三角形三邊的距離相等

講·名師講典例

?典例1

（切線的性質）如圖，已知AB是☉O的直徑，BC是☉O的切線，連接OC與☉O相交于點D，過B點作BE⊥OD，垂足為E，連接AD.（1）當點E為OD的中點時，求證：BC＝AD；【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵BE⊥OD，點E為OD的中點，OB＝OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠DOB＝∠DBO＝∠ODB＝60°，∵AB為☉O的直徑，BC為☉O的切線，∴∠ADB＝∠OBC＝90°，∠A＝30°＝∠C，∴△ADB≌△CBO，∴AD＝CB；

【解答】（2）設OE＝x，而DE＝2，∴OA＝OB＝OD＝x＋2，

意，舍去），∴AB＝2x＋4＝10.

已知切線，通常連接過切點的半徑，利用過切點的半徑與切線的垂直關系，證明推理，或利用勾股定理、相似進行計算.

1.（2022·眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（

C

）A.28°B.50°C.56°D.62°C

3

【解答】（1）連接AD，OD，∵DE與☉O相切于點D，∴∠EDO＝90°，∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴AB⊥AC；3.如圖，AB為☉O的直徑，BC交☉O于點D，點E是AC的中點，DE與☉O相切于點D，ED與AB的延長線相交于點F.（1）求證：AB⊥AC；（2）求證：AB·DF＝AC·BF.【解答】（2）∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠C＝∠BAD，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，

∴AB∶AC＝BD∶AD，∵∠FDB＋∠BDO＝∠BDO＋∠ADO＝90°，

∴∠FDB＝∠ADO＝∠OAD，

∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD，

∴DB∶AD＝BF∶DF，∴AB∶AC＝BF∶DF，

∴AB·DF＝AC·BF.

?典例2

（切線的判定）（2022·濱州）如圖，已知AC為☉O的直徑，直線PA與☉O相切于點A，直線PD經(jīng)過☉O上的點B且∠CBD＝∠CAB，連接OP交AB于點M.求證：PD是☉O的切線.【解答】證明：連接OB，如圖所示，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC是☉O的直徑，∴∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠OCB＝90°，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∵OB是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.

證明某直線是圓的切線時，一般作輔助線的方法：若已知直線與圓有公共點，連接過公共點的半徑，證明這條半徑與直線垂直；若已知直線與圓沒有給出公共點，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段是圓的半徑.

4.（2022·衡陽）如圖，AB為☉O的直徑，過圓上一點D作☉O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE.（1）直線BE與☉O相切嗎？并說明理由；【解答】（1）直線BE與☉O相切，理由：連接OD，∵CD與☉O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，

∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，

∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，

∵OB是☉O的半徑，∴直線BE與☉O相切；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長.【解答】（2）設☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，

∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，

由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，

∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2，解得DE＝6，∴DE的長為6.

【解答】（2）設☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2