2024屆五年高考數(shù)學（理）真題分類訓練：一 集合與常用邏輯用語

專題一集合與常用邏輯用語

考點1集合

題組

一、選擇題

1.［2023新高考卷I,5分］已知集合M={-2-1,0,1,2},N={x\x2-x-6>

0},則MClN=(C)

A.［-2-1,0,1}B.［0,1,2}C.{-2}D.{2}

［解析］解法一因為N={x\x2-%-6>0}={x\x23或％W—2},所以Mn

N={—2},故選C.

解法二由于1WN,所以1WMCIN,排除A,B；由于2WN,所以2WMCl

N,排除D.故選C.

2.［2023全國卷乙，5分］設集合U=R，集合M={x\x<1］,N{x\-1<x<

2},則{%|久22}=(A)

A.Cu(MUN)B.NUQMC.Cy(MnW)D.MUCVN

［解析］MUN=(x\x<2},所以Cu(MUN)=(x\x>2］,故選A.

3.［2023新高考卷IL5分］設集合4={0-a］,B={1,a—2,2a-2},若4G

B,則a=(B)

2

A.2B.1C.-D.-1

3

［解析］依題意，有a—2=0或2a—2=0.當a—2=0時，解得a=2,止匕時

4={0-2},B={1,0,2},不滿足2GB；當2a—2=0時，解得a=1,止匕

時4={0-1},B={-1,0,1},滿足4cB.所以a=1,故選B.

4.［2023天津,5分］已知集合［;={1,2,3,4,5}/={1,3},B={1,2,4},則(QB)U

4=(A)

A.{1,3,5}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

［解析］解法一因為U={123,4,5},B={1,2,4},所以QB={3,5}，又2=

{1,3},所以(QB)U4={1,3,5}.故選A.

解法二因為2={1,3},所以2U(QB)UA，所以集合(QB)UA中必含有元素

1,3,所以排除選項C,D；觀察選項A,B,因為5WB,所以5CQB,即5c

(QB)UA,故選A.

5.[2023全國卷甲，5分]設全集U=Z,集合M={幻％=3/c+l,/ceZ},N=

(x\x=3k+2,kCZ},則Q(MUN)=(A)

A.{x\x-3k,kEZB.\x\x—3k—1,kEZ)

C.{x\x—3k—2,kEZ)D.0

[解析]解法一M={...,-2,1,4,7,10,...},N={...-1,2,5,8,11,...},所以MUN=

{…，-2,—1,1,2,4,5,7,8,10,11,...},所以Cu(MUN)=3,0,3,6,9,...},其元

素都是3的倍數(shù)，即Q(MUN)=[x\x=3k,keZJ,故選A.

解法二集合MUN表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰

好被3整除的整數(shù)集，故選A.

6.[2022新高考卷I,5分]若集合M={x|Vx<4},N=(x\3x>1}，則MCN=

(D)

11

A.{x|0<%<2]B.{x|-<%<2}C.{x|3<x<16}D.{x|-<%<16]

[解析]因為M={x|V%<4},所以M=<%|0<x<16]；因為N={x\3x>

1},所以N=(x\x>|}.所以MN-{x\^<x<16},故選D.

7.[2022新高考卷H,5分]已知集合2={-1,1,2,4},B={x\|x-1|<

1},則aClB=(B)

A.[-1,2}B.[1,2}C.[1,4}D.{-1,4}

[解析]由|為一1|W1,^-1<x-l<l,解得0W尤W2,所以B={X|OW

x<2},所以aClB={1,2},故選B.

8.[2022北京，4分]已知全集U={久|一3<%<3},集合Z(x\-2<x<

1}，則C“=(D)

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U

。3)

[解析]因為全集U=(—3,3),4=(—2,1],所以QM=(—3,-2]U(1,3),故選

D.

9.[2022全國卷乙，5分]設全集U={123,4,5},集合M滿足QM=[1,3}，則

(A)

A.2EMB.3EMC.40MD.50M

［解析］由題意知M={2,4,5},故選A.

10.[2022全國卷甲，5分]設全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合2=

{-1,2},B={x\x2-4%+3=0}，則0(4UB)=(D)

A.[1,3}B.[0,3}C.[-2,1}D.[-2,0}

[解析]集合B={1,3},所以aUB={-1,1,2,3}，所以CuG4UB)={-2,0}.故

選D.

11.[2021新高考卷n,5分]若全集U={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,

貝

6},B={2,3,4},n(CyB)=(B)

A.{3}B.[1,6}C.[5,6}D.[1,3}

[解析]因為QB={1,5,6},A={1,3,6),所以an(CuB)={1,6}.

12.[2021新高考卷I,5分]設集合4={x|-2<x<4],B={2,3,4,5),則4n

B=(B)

A.{2}B.[2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

[解析]因為2={久|-2<%<4},B=[2,3,15),所以2ClB={2,3},故選B.

13.[2021全國卷甲，5分]設集合M={x|0<%<4]=<%||<x<5]，則Mn

N=(B)

11

A.{x|0<%<-}B.{x|-<%<4}C.{x|4<%<5}D.[%|0<%<5]

[解析]MnW={x||<%<4}.

14.[2021全國卷乙，5分]已知集合S={s\s=2n+1,nGZ},T={t\t=4n+

l,neZ)，貝USCiT=(C)

A.0B.SC.TD.Z

[解析]解法一在集合T中，令律=k(keZ),則t=4九+1=2(2/c)+

l(/ceZ),而集合S中，s=2n+l(nGZ),所以必有T麋S,所以TnS=

T,故選C.

解法二(歹U舉法)S={…,一3,—1,1,3,5,…},T={…,一3,1,5,…},觀察可知，

T窿S,所以TClS=T,故選C.

15.[2020全國卷n,5分]已知集合U=[-2-1,0,1,2,3}/={-1,0,1},B=

{1,2},則Cu(ZUB)=(A)

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2-1,0,3}D.{-2-1,0,2,3}

[解析]由題意，得aUB={-1,0,1,2},所以Cu(ZUB)={—2,3},故選A.

16.[2020全國卷I,5分]設集合2={x\x2-4<0},B={x\2x+a<0]，且4n

B={久|-2W%W1},則a=(B)

A.-4B.-2C.2D.4

[解析]易知a=<%|-2<x<2},B={x\x<-^]，因為aClB=[%|-2<%<

1)，所以—￡=1，解得a=-2.故選B.

17.[2020全國卷III,5分]已知集合4={(x,y)|x,yeN*,y>x},B={(x,y)|x+

y=8}，則anB中元素的個數(shù)為(C)

A.2B.3C.4D.6

[解析]由題意得，AnB的元素是直線%+y=8上滿足久,yEN*且y之久的

點,即點(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以2CB中元素的個數(shù)為4,選C.

【方法技巧】當用描述法表示集合時，要注意集合中的元素表示的意義是什么.

集合{%1/(%)=0]{%|/(x)>0]{x\y=/(%))(y\y={(%,y)|y=

/(%)}/(%)}

代表元素方程/(%)=0不等式函數(shù)y=/(%)函數(shù)y=函數(shù)y=

的根./(%)>0的的自變量的取f(x)的函數(shù)/(%)圖象上

解.值.值.的點.

18.[2020新高考卷I,5分]設集合A=(%|1<%<3]={x\2<%<4}，則4U

B=(C)

A.{x\2<%<3}B.[x\2<%<3}C.[%|1<%<4}D.{x\l<%<4}

[解析]a={x|l<%<3},B-{x\2<%<4},則aUB={x|l<%<4},選

c.

19.[2020北京，4分]已知集合4=[-1,0,1,2},B=<%|0<x<3},則LHB=

(D)

A.[-1,0,1}B.[0,l}C.[-1,1,2}D.{1,2}

[解析]由題意得，aClB={1,2},故選D.

20.[2020浙江，4分]設集合S,T,SGN*,TQN\S,T中至少有2個元素，且

S,T滿足：

①對于任意的％,yeS,若%豐y,則為yGT;

②對于任意的久,yeT,若無＜y，則（GS.

下列命題正確的是（A）

A.若S有4個元素，則SUT有7個元素B.若S有4個元素，則SUT有6個元

素

C.若S有3個元素，則SUT有5個元素D.若S有3個元素，則SUT有4個元

素

[解析]解法一特殊值法.當S={1,2,4},7={2,4,8}時，SUT={1,2,4,8},故C

錯誤；當5={2,4,8},T={8,16,32}時，SUT={2,4,8,16,32},故D錯誤；當

S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}時，SUT={2,4,8,16,32,64,128},故B

錯誤.故選A.

解法二①當S中有3個元素時，設S={a,b,c},a<b<c,則{ab,bc,ac}G

T,所以&ESESES,當￡=c時，a=1,所以￡=b,即c=b2,止匕時

abaab

S={1力2},T={b，爐乃3},所以suT={1力力2,b3},有4個元素；當（=

匕時，c=ab,所以2—a,即匕=a2（a豐）止匕時23

a1,S={a,a,a},T—

345345456

{a,a,a}或{M9a,a,a}或{M,a,a,a）,所以SUT=

{a,a2,a3,a4,a5}或{a,a2,a3,a4,a5,a6},有5個或6個元素.故排除

C,D.

②當S中有4個元素時，設5={a,c,d},a<b<c<d9所以ab<ac<

ad<bd<cd,且{ab,ac,ad,bd,cd}QT,所以竺<也<㈣<也,且

'Jabababab

喘黑，黑冷US,所以胃=a，與=b,3=c，M=d,所以b=a2,c=

abababababababab

a3,d—a4（a豐1），此時S={a,a2,a3,a4},T—{a3,a4,a5,a6,a7），則SUT=

{a,a2,a3,a4,a5,a6,a，},有7個元素，故選A.

21.[2019全國卷m,5分]已知集合4={—1,0,1,2},B={x\x2<1},則

4CiB=（A）

A.{—1,0,1}B.[0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

[解析]集合B={%|-1<%<1}，則an5={-i,0,1}.

22.[2019全國卷I,5分]已知集合知={久I—4<%<2},N{x\x2-x-6<

0},則MClN=（C）

A.{x|-4<%<3}B.[%|-4<%<—2]

C.{x|-2<%<2}D.{x\2<%<3]

［解析］：N—{x\—2<x<3］,M—{x\—4<x<2},Mr\N-{x\—2<x<

2),故選C.

23.［2019全國卷H,5分］設集合Z={久比2-5%+6>0},B=(x\x-1<

0},則aClB=(A)

A.(-oo,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+s)

［解析］因為4=(x\x2—5x+6>0］={x\x>3或%<2},B={x\x-1<0}=

{x\x<1},所以2CB=(x\x<1},故選A.

24.［2019天津，5分］設集合4={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C=

{XER\1<X<3},則G4CIC)UB=(D)

A.{2}B.［2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

［解析］由條件可得anc={1,2}，故(anc)uB={1,234}.

25.［2019浙江，4分］已知全集［/={-1,0,1,2,3］,集合4={0,1,2),

B={-1,0,1},則(C“)CB=(A)

A.{-1}B.［0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,

3)

［解析］由題意可得={-1,3},則(C“)nB={-1}.故選A.

二、填空題

26.［2020江蘇，5分］已知集合4=［-1,0,1,2},B=［0,2,3}，則2CB=￡02}.

［解析］由交集的定義可得aCB={0,2}.

27.［2019江蘇,5分］已知集合4={-1,0,1,6},B=(x\x>0,xER},

則4CB=￡L6}.

［解析］由交集定義可得anB=［1,6}.

考點2常用邏輯用語

題組

選擇題

1.［2023天津，5分］"。2=/”是72+匕2=2ab”的(B)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分又不必要條件

［解析］因為"a?=人2"qua——b或a=b"，aa2+b2-lab"Q"a=

b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a=-匕或a=匕”與“a=b”的關系，又

“a=—b或a=b”是“a=匕”的必要不充分條件，所以“a2=爐”是

aa2+b2-2ab”的必要不充分條件.故選B.

2.［2023全國卷甲，5分］設甲:sin2a+sin2s=1，乙:sina+cos0=0，則(B)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

［解析］甲等價于sin2a=1—siM0=cos20,等價于sina=±cos0,所以由

甲不能推導出sina+cos夕=0,所以甲不是乙的充分條件；由sina+cosp=

0,得sina=—cos0,平方可得siMa=cos?。=1—siM?,即sin2a+

sin2^=1,所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.

3J2023新高考卷I,5分］設%為數(shù)列｛即｝的前幾項和，設甲：｛冊｝為等差數(shù)

列；乙：｛乎｝為等差數(shù)列.則(C)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

［解析］若｛"｝為等差數(shù)列，設其公差為d,貝1］冊=%+(n—l)d,所以％=

71al+""1)d,所以包—+(n-I'),所以昆旦一團=的+(n+1—1)?

2n2n+1n

［電+⑺―1)4］=會為常數(shù)，(等差數(shù)列的定義)

所以｛乎｝為等差數(shù)列，即甲=乙；若｛曰｝為等差數(shù)列，設其公差為t,則曰二

Y+(n—l)t=a-L+(n—l)t,所以％=nar+n(n—l)t,所以當n22時，

CLn=Sn一S九一］=Tld^+TL(TL_1)t-［(71-l)d^+(Tl-1)(Tl-2)t］=CL^+

2(n—l)t,當n=l時，Si=的也滿足上式，所以a”=的+2(九—1)《九e

N),所以冊+i—an=&+2(n+1—l)t—［ci-1+2(n—l)t］=2t,為常數(shù)，

所以｛斯｝為等差數(shù)列，即甲仁乙.所以甲是乙的充要條件，故選C.

4.［2022天津,5分］“久是整數(shù)”是“2%+1是整數(shù)”的(A)

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］若％是整數(shù)，則2%+1是整數(shù)；當久=］時，2%+1是整數(shù)，但％不是整

數(shù).所以"％是整數(shù)”是“2%+1是整數(shù)”的充分不必要條件，故選A.

5.［2022浙江，4分］設％GR,則“sin%=1”是“cos%=0"的(A)

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］由sinx-1,得％=2/CTT+(/cGZ),則cos^2/CTT+；)=cos］=0，

故充分性成立；又由cos%=0,得％=Mi+］(/cCZ),而sin(/CTT+；)=1或

—1,故必要性不成立.所以"sin%=1"是"cos%=0"的充分不必要條件，故

選A.

6.［2022北京，4分］設｛冊｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛斯｝為遞增數(shù)

列”是“存在正整數(shù)為,當n>No時,an>0”的(C)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］設無窮等差數(shù)列｛冊｝的公差為d(d豐0),則與=%+(ri-l)d=dn+

ar-d,若｛冊｝為遞增數(shù)列，則d>0,則存在正整數(shù)No，使得當n>No時，

an-dn+ar-d>0,所以充分性成立；若存在正整數(shù)為，使得當n>No

時，廝=dn+%_—d>0,即d>對任意的n〉No,nCN*均成立，由

于TIT+8時，誓-0,且d#0,所以￡/>0,｛斯｝為遞增數(shù)列，必要性成

立.故選C.

7.［2021全國卷乙，5分］已知命題CR,sinx<1；命題q:V%eR,e團之

1,則下列命題中為真命題的是(A)

A.pAqB.-ipAqC.pA-iqD.-i(pVq)

［解析］由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，存在久GR，使得sin%<1,所以命題p

為真命題.對任意的久CR,均有9幻20。=1成立，故命題q為真命題，所以命

題pAq為真命題，故選A.

【方法技巧】1.命題pVq,pAq1P的真假判斷

pqpVqpAq-ip

真真真真假

真假真假假

假真真假真

假餐餐假X

2.“pvq”“pM”“-1P”形式命題真假的判斷步驟

(1)確定命題構(gòu)成形式；

(2)判斷命題p,q的真假；

(3)根據(jù)真值表確定“pvq”“p/\q”“「p”形式命題的真假.

8.［2021浙江，4分］已知非零向量a力,c，則“a?c=b?c”是“a=b”的

(B)

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］由a?c=b?c可得(a—b)?c=0,所以(a-b)1c或2=b,所以

“a?c=b?c”是“a=b”的必要不充分條件.故選B.

9.［2021北京，4分］設函數(shù)/(久)的定義域為［0,1］,則“函數(shù)/(%)在［0,1］上單調(diào)

遞增”是“函數(shù)/(無)在［0,1］上的最大值為/(I)”的(A)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］設P：函數(shù)/(%)在［0,1］上單調(diào)遞增，q：函數(shù)/(%)在［0,1］上的最大值為

/(I),由單調(diào)性的定義可知，pnq成立，而qnp不成立，舉反例如圖所示.

10.［2021全國卷甲，5分］等比數(shù)列的公比為q,前幾項和為％.設甲：q>

0,乙：｛S。｝是遞增數(shù)列,則(B)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

［解析］當?shù)?lt;0,q>1時，an=<0，此時數(shù)列｛Sn｝遞減，所以甲不是

n

乙的充分條件.當數(shù)列｛S"｝遞增時，有％+1—Sn=an+1=a1q>0,若的〉

0,則q”>0(neN*),即q>0；若<0,則q"<0(neN*),不存在.所

以甲是乙的必要條件.

11.［2021上海春季，5分］已知函數(shù)y=/(%)的定義域為R,下列是/(%)無最大

值的充分條件的是(C)

A./(%)為偶函數(shù)且圖象關于點(1,1)對稱

B./(%)為偶函數(shù)且圖象關于直線％=1對稱

C./(%)為奇函數(shù)且圖象關于點(1,1)對稱

D./(%)為奇函數(shù)且圖象關于直線久=1對稱

［解析］選項A,B,D的反例如圖1,圖2,圖3所示，故選項A,B,D錯誤；對

于選項C,???/(%)為奇函數(shù)且圖象關于點(1,1)對稱，/(%)+/(-%)=0,

/(2+%)+/(—%)=2,/(2+%)—/(%)=2,f(2k+%)=/(%)+2k,kE

Z,又/(0)=0,/(2/c)-2k,kEZ,當k—+oo時，f(2k)=2kt

+8,函數(shù)/(%)無最大值，C正確.

圖3

12.［2020天津，5分］設aGR，則“a>1”是“a2>a”的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］由a?>a得a>1或a<0,反之，由a〉1得a?>a,貝U"a>1"是

a2>a的充分不必要條件，故選A.

13.［2020北京，4分］已知a,。eR，則“存在kGZ使得a=Mi+(―1)?”

是"sina=sin￡”的(C)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］若存在keZ使得a=/CTT+(―1)平，則當k=2nJieZ時，a-2nn+

B,則sina=sin(27rn:+6)=sin夕；當/c=2n+1,neZ時，a—

(2n+l)ii—°,則sina—sin(2九TC+TT—?)=sin(n—?)=sin夕.若sina—

sin0,則a=2)rn:+夕或a=2THT+TT一夕,neZ,即a=kn+(―1)上.，

kEZ,故選C.

14.［2020浙江,4分］已知空間中不過同一點的三條直線，,TH