第七章 不完全信息靜態(tài)博弈

第七章不完全信息靜態(tài)博弈主要內(nèi)容針對不完全信息靜態(tài)博弈，本章給出了一個(gè)把得益不確定的博弈轉(zhuǎn)化為對類型的不確定的方法，即“海薩尼轉(zhuǎn)換”。本章還較仔細(xì)的討論了幾種典型的不完全信息博弈。重點(diǎn)1.靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示2.海薩尼轉(zhuǎn)換及其思想3/12/20241經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1靜態(tài)貝葉斯博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息的古諾模型靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示海薩尼轉(zhuǎn)換貝葉斯納什均衡3/12/20242經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型定義：假定在古諾模型中，各個(gè)廠商對彼此的得益不是共識的，則該模型稱為“不完全信息古諾模型”。由于模型中的兩個(gè)廠商在信息方面是不平等，不對稱的，因此有時(shí)也稱其為“不對稱信息的古諾模型”。3/12/20243經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型描述：市場需求為P(Q)＝a－Q，其中Q為市場總產(chǎn)量，為兩廠商產(chǎn)量q1和q2之和，即Q＝q1＋q2。廠商1的成本函數(shù)為C1＝C1（q1）＝C1q1，即無固定成本，邊際成本為C1，它是兩個(gè)廠商都清楚的。而廠商2的成本函數(shù)卻只有廠商2自己完全清楚，廠商1只知道有兩種可能性，一種是C2＝C2（q2）＝CHq2，概率為θ，另一種是C2＝C2（q2）＝CLq2，概率為1－θ，而CH>CL,也即邊際成本有高、低兩種可能。3/12/20244經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型廠商2在邊際成本是較高的CH時(shí)會選擇較低的產(chǎn)量，而在邊際成本為較低的CL時(shí)會選擇較高的產(chǎn)量。廠商1在做出自己的產(chǎn)量決策時(shí)當(dāng)然會考慮廠商2的這種行為特點(diǎn)。設(shè)廠商1的最佳產(chǎn)量為q1*

廠商2的邊際成本為CH時(shí)的最佳產(chǎn)量為q2*（CH），邊際成本為CL時(shí)的最佳產(chǎn)量為q2*（CH），根據(jù)上面的假設(shè)，q2*（CH）滿足下式：3/12/20245經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型q2*（CL）滿足：q1*滿足：即廠商2是在不同邊際成本下分別根據(jù)q1*求出使自己取得最大得益的產(chǎn)量。而廠商1則根據(jù)q2*（CH）和q2*（CL）及它們出現(xiàn)的概率求出使自己獲得最大期望得益的產(chǎn)量。3/12/20246經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型上述三個(gè)最大值問題的一階條件為：解由這三個(gè)方程構(gòu)成的方程組得：3/12/20247經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.1不完全信息的古諾模型與完全信息古諾模型比較完全信息古諾模型中的的產(chǎn)量

3/12/20248經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.2靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示完全信息博弈的一般表達(dá)式為為博弈方i的策略空間，即他的全體可選策略集合，而為博弈方i的得益函數(shù)。在完全信息靜態(tài)博弈中，一個(gè)博弈方的一個(gè)策略就是一次選擇或一個(gè)行為，用表示博弈方i的一個(gè)行為，而用表示他的行為空間（全部可能的構(gòu)成的集合），則完全信息靜態(tài)博弈可表達(dá)為其中為各博弈方都相互知道的，即當(dāng)確定后，就隨之確定了，并且是公開的信息和知識。3/12/20249經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.2靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示在靜態(tài)貝葉斯博弈中，關(guān)于得益的信息是不公開的，如何表示這種特征呢？將博弈中某些博弈方對其他博弈方得益的不了解轉(zhuǎn)化成對這些博弈方“類型”的不了解，是一種“追根溯源”的方法。這里的類型是相應(yīng)的博弈方自己清楚而他人無法肯定的私人內(nèi)部信息、有關(guān)情況或數(shù)據(jù)等。3/12/202410經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.2靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示用ti表示博弈方i的類型，并用Ti表示博弈方i的類型空間（全部可能類型的集合），則。用ui（a1,…an,ti）來表示博弈方i在策略組合（a1,…，an）下的得益，因?yàn)檫@個(gè)得益函數(shù)中含有一個(gè)反應(yīng)該博弈方類型的變量ti，并且該變量的取值是博弈方i自己知道而其他博弈方并不清楚的，因?yàn)檎每梢苑磻?yīng)靜態(tài)貝葉斯博弈中的信息不完全的特征。3/12/202411經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.2靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表示靜態(tài)貝葉斯博弈的一般表達(dá)式為：

G={A1,…，An;T1,…，Tn;u1,…，un}

其中Ai為博弈方i的行為空間（策略空間），Ti是博弈方i的類型空間，博弈方i的得益ui=ui(a1，…，an,ti)為策略組合(a1，…，an)和類型ti的函數(shù)。3/12/202412經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.3海薩尼轉(zhuǎn)換基本思路：將靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化為動態(tài)博弈（1）假設(shè)有一個(gè)名為“自然”的博弈方0，該博弈方的作用是先為其他每個(gè)博弈方抽取他們的類型，抽取的這些類型構(gòu)成類型向量

t＝（t1，…，tn）,其中，i=1,…，n。（2）“自然”讓每個(gè)博弈方知道到自己的類型，但卻不讓其他博弈方知道。3/12/202413經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.3海薩尼轉(zhuǎn)換（3）除了“自然”以外的其他博弈方同時(shí)從自己的行為空間中選擇行動方案a1，…，an.（4）除了博弈方0,即“自然”以外,其余博弈方各自取得收益ui=ui(a1，…，an,ti)其中i=1,2,..，n.

這個(gè)博弈就是一個(gè)完全但不完美的動態(tài)博弈，不過它是帶有同時(shí)選擇的。3/12/202414經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.3海薩尼轉(zhuǎn)換（1）－（4）所描述的是一個(gè)完全但不完美信息的有同時(shí)選擇的動態(tài)博弈。但是，容易看出（1）－（4）表達(dá)的博弈問題與一般不完全信息靜態(tài)博弈G={A1,…，An;T1,…,Tn;u1,…，un}所表達(dá)的博弈問題是完全一樣的。也就是說通過（1）和（2）引進(jìn)的“自然”這個(gè)假設(shè)的博弈方0的行動（隨機(jī)選擇n個(gè)博弈方的類型），把一個(gè)不完全信息靜態(tài)博弈（即靜態(tài)貝葉斯博弈）轉(zhuǎn)化成了一個(gè)完全但不完美信息的動態(tài)博弈問題。此即所謂的“海薩尼轉(zhuǎn)換”。3/12/202415經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.4貝葉斯納什均衡定義:在靜態(tài)貝葉斯博弈

中,博弈方i的一個(gè)策略是該博弈方自己的類型ti的函數(shù)Si(ti),其中ti屬于Ti.Si(ti)設(shè)定在自然抽取的博弈方i的類型為ti

的情況下,博弈方i從行動空間Ai中所選擇的行動ai.3/12/202416經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.1.4貝葉斯納什均衡定義:在靜態(tài)貝葉斯博弈中,如果對任意博弈方i和他的每一種可能的類型所選擇的行動都能滿足則就稱為一個(gè)（純策略）貝葉斯納什均衡，即博弈中的任何一方都不會單獨(dú)改變自己策略中的哪怕只是一種類型下的一個(gè)行動。3/12/202417經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.2混合策略和不完全信息完全信息靜態(tài)博弈中的混合策略是解決這種類型的博弈中不存在純策略納什均衡或存在多個(gè)相互沒有絕對的優(yōu)劣之分的純策略納什均衡時(shí),相應(yīng)的博弈方的決策選擇問題的.海薩尼認(rèn)為:完全信息靜態(tài)博弈中的一個(gè)混合策略博弈幾乎總是可以被解釋為一個(gè)有少量不完全信息的近似博弈的一個(gè)純策略貝葉斯納什均衡.3/12/202418經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.2混合策略和不完全信息例夫妻之爭的不完全信息的“近似博弈”假設(shè)夫妻倆雖然已經(jīng)共同生活了很長時(shí)間，但他們相互對對方關(guān)于時(shí)裝表演和足球賽的喜愛程度并沒有徹底的了解，即相互對各種選擇的收益不完全確知。設(shè)具體的情況的收益矩陣如圖所示，其中tw、th分別相當(dāng)于妻子和丈夫的類型且只有其本人知道。夫妻時(shí)裝足球時(shí)裝足球2+tw，1

0，00，01,3+th不完全信息夫妻之爭3/12/202419經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.2混合策略和不完全信息在此靜態(tài)貝葉斯博弈中，博弈雙方的策略空間為，雙方的類型空間設(shè)妻子的策略為：當(dāng)時(shí)，選擇時(shí)裝表演，否則選擇足球；丈夫的策略為時(shí)，選擇足球，否則選擇時(shí)裝。所以妻子選時(shí)裝和足球的概率分別為

，丈夫的概率為。根據(jù)妻子和丈夫的分別選擇時(shí)裝和足球的期望得益可計(jì)算出妻子和丈夫分別選擇時(shí)裝和足球的概率在的情況下，為3/4和2/3，而這也是完全信息夫妻之爭博弈的混合策略均衡的隨機(jī)選擇的概率。3/12/202420經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.3暗標(biāo)拍賣—典型的靜態(tài)貝葉斯博弈基本原則:各投標(biāo)人密封投標(biāo)書投標(biāo),統(tǒng)一時(shí)間開標(biāo),標(biāo)價(jià)最高者中標(biāo),萬一出現(xiàn)標(biāo)價(jià)相同的情況,則用拋硬幣或類似的方法決定誰中標(biāo).模型描述:假定只有兩個(gè)投標(biāo)人,稱其為博弈方1和博弈方2.設(shè)他們對拍品的的估價(jià)分別為V1和V2,則博弈方i用價(jià)格P拍得拍品的得益為Vi-P.設(shè)兩博弈方的估價(jià)V1,V2是相互獨(dú)立的,都是[0,1]上的標(biāo)準(zhǔn)分布,各博弈方知道自己的估價(jià)和另一方估價(jià)的概率分布.另,假設(shè)兩博弈方都是風(fēng)險(xiǎn)中性的.以上情況各博弈方都清楚.3/12/202421經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.3暗標(biāo)拍賣—典型的靜態(tài)貝葉斯博弈標(biāo)準(zhǔn)貝葉斯形式:1.博弈方i的行為就是他的標(biāo)價(jià)bi,且標(biāo)價(jià)是非負(fù)的,因此其行為空間為。如果考慮博弈方i在理智情況下決不會報(bào)出比自己對拍品的估價(jià)還要高的標(biāo)價(jià),則行為空間Ai=[0,1].2.博弈方i的類型即他的估價(jià)Vi,類型空間為Ti=[0,1],博弈方i的實(shí)際類型只有自己知道,另一方只知道他的類型Vi是[0,1]上的標(biāo)準(zhǔn)分布.3.兩博弈方對對方類型的判斷就是[0,1]上的標(biāo)準(zhǔn)分布,即對方的估價(jià)取[0,1]中任何數(shù)值的機(jī)會都是均等的.3/12/202422經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.3暗標(biāo)拍賣—典型的靜態(tài)貝葉斯博弈當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)i=1時(shí),j=2；當(dāng)i=2時(shí),j=1.則，博弈方i的得益函數(shù)3/12/202423經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授求解:1.構(gòu)建兩博弈方的策略空間.博弈方i的策略空間為所有可能的函數(shù)關(guān)系bi(vi)的集合.2.貝葉斯納什均衡:如果策略組合[b1(v1),b2(v2)]是一個(gè)貝葉斯納什均衡,則必須對每個(gè)博弈方i的每個(gè)類型，bi(vi)都滿足:7.3暗標(biāo)拍賣—典型的靜態(tài)貝葉斯博弈3/12/202424經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授線性策略均衡3/12/202425經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣問題描述:

有一個(gè)買方和一個(gè)賣方就某貨物進(jìn)行交易,交易的規(guī)則如下:買方和賣方同時(shí)各報(bào)一個(gè)價(jià)格,設(shè)買方的報(bào)價(jià)為Pb,賣方的價(jià)格為Ps,如果,則以P=(Pb+Ps)/2的價(jià)格成交,否則不成交.

假設(shè)買方對貨物的估價(jià)為Vb，賣方的估價(jià)為Vs，并設(shè)Vb和Vs是[0,1]上的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)分布，且這一點(diǎn)是相互都知道的。3/12/202426經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣設(shè)和分別為買方和買方的策略。如果是貝葉斯納什均衡，則對任意的必須滿足，其中，是在符合買方的出價(jià)大于賣方的要價(jià)的前提下，買方期望賣方的要價(jià)。3/12/202427經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣同樣的，對于任意的必須滿足：其中則是在買方出價(jià)高于賣方要價(jià)的前提下，賣方期望買方的出價(jià)。3/12/202428經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣（一價(jià)均衡）在給定[0,1]中的任意一個(gè)數(shù)值x，令買方的策略為當(dāng)時(shí)，，否則；同時(shí)令賣方的策略為當(dāng)時(shí)，，否則。給定買方的策略，在有可能成交的情況下，即時(shí)，是賣方能實(shí)現(xiàn)的最高要價(jià)，任何都不能成交，因此要價(jià)以求成交是最佳反應(yīng)。而在的情況下，要價(jià)成交的得益小于0，干脆要價(jià)。因此，賣方的策略確實(shí)是對買方策略的最佳反應(yīng)。同樣，買方的上述策略也是最佳反應(yīng)3/12/202429經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣（一價(jià)均衡）Vb1Vb＝VsVs0x1雙方報(bào)價(jià)拍賣的一價(jià)均衡交易3/12/202430經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.4雙方報(bào)價(jià)拍賣（線性策略）在限定雙方策略都是線性函數(shù)時(shí)，均衡情況如何？Vb1Vb＝VsVs1交易Vb＝Vs＋1/43/12/202431經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.5揭示原理拍賣規(guī)則的設(shè)計(jì)問題“鼓勵(lì)-響應(yīng)”的“直接機(jī)制”揭示原理3/12/202432經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.5.1拍賣規(guī)則的設(shè)計(jì)問題前面討論的拍賣問題實(shí)際上拍賣活動中最最基礎(chǔ)的模式，在這種最簡單的拍賣規(guī)則下，標(biāo)價(jià)最高者中標(biāo)，而不中標(biāo)者沒有任何損失。這種方式雖能保證成交，卻隱含著許多對賣方不利的危險(xiǎn)因素。為了避免這些問題，賣主可以對拍賣的規(guī)則進(jìn)一步改進(jìn)，例如預(yù)先設(shè)置一個(gè)底價(jià)，還可以要求投標(biāo)人交付一定的投標(biāo)費(fèi)等，使拍賣更有效率。3/12/202433經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.5.2“鼓勵(lì)-響應(yīng)”的“直接機(jī)制”投標(biāo)人同時(shí)聲明（可能并不誠實(shí)）自己對貨物的估價(jià)（即他們的類型）。投標(biāo)人i可以選擇其類型空間Ti中的任一ti’來聲明，不管他的真實(shí)類型ti是什么。假如各投標(biāo)人的聲明是，則投標(biāo)方i拍得貨物的概率為，即要隨機(jī)選擇哪個(gè)投標(biāo)方中標(biāo)，堆積選擇的概率為qi。如果投標(biāo)方i中標(biāo)，則價(jià)格為。對各種可能的聲明情況，其概率之和必須小于等于1。3/12/202434經(jīng)濟(jì)博弈論張衛(wèi)國教授7.5.2“鼓勵(lì)-響應(yīng)”的“直接機(jī)制”上述規(guī)則即為“直接機(jī)制”。所謂直接機(jī)制實(shí)際上是說投標(biāo)人只要說出（同時(shí)）對貨物的估價(jià)即可，賣方會根據(jù)預(yù)先確定的運(yùn)作機(jī)制（包括一個(gè)隨機(jī)選擇過程）來確定中標(biāo)者和中標(biāo)價(jià)格。與一般拍賣規(guī)則的區(qū)別：形式上各投標(biāo)人要決定的不是標(biāo)價(jià)，而是關(guān)于自己類型的聲明；并不一定是聲明的估價(jià)最高者中標(biāo)，而只