第七章 萬有引力

第七章萬有引力§1萬有引力定律

地球表面附近的自由落體和繞地球運動的月亮，它們運動的原因是同一個：萬有引力m1m2F12r12如果物體不能視為質(zhì)點，則1.萬有引力常數(shù)G的測定

G=6.673×10-11m3/kg2·s2

卡文迪許扭秤實驗2、重力加速度g卡文迪許是第一個“稱地球重量”的人。3、萬有引力定律的普適性§2有心力

如果運動質(zhì)點所受的力的作用線始終通過一個定點，則質(zhì)點所受力稱有心力，此定點稱力心。如萬有引力，庫侖力等。將原點取在力心，對原點的力矩對原點的角動量守恒，J=常矢量位矢r將始終在同一個垂直于J的平面內(nèi)，所以有心力作用下的質(zhì)點運動可視為二維運動。

一、極坐標中的運動方程極點極軸徑向橫向rθ極坐標在極坐標中，隨著質(zhì)點位置的不同，該點所在處的徑向和橫向是不同的。

1、極坐標中的位矢

2、極坐標中的速度和速率

3、極坐標中的加速度徑向加速度包括徑向速度隨時間的變化和“向心加速度”。橫向加速度包括r與角加速度的乘積和科里奧力加速度。

4、運動方程取極坐標系，原點在力心，按徑向和橫向列出運動方程：

5、有心力作用下的基本方程把橫向方程寫成兩邊同乘dr并積分第一項是平動動能，第二項是轉(zhuǎn)動動能，第三項是勢能，合起來為質(zhì)點的機械能，此式表明機械能守恒。

于是得到兩個基本方程：

二、行星運動規(guī)律設(shè)太陽質(zhì)量M，行星質(zhì)量m，極坐標系中的橢圓方程正是有心力作用下的質(zhì)點運動軌跡是橢圓。p

1、開普勒運動中的隆格–楞次矢量BrθvB指向橢圓長軸方向。2、運動軌跡BrθrθabF′FMm質(zhì)點運動軌道是圓錐曲線，0<ε<1，為橢圓軌道，ε=1，為拋物線軌道，ε>1，為雙曲線軌道，ε=0，為圓軌道。3、有效勢能和軌道特征用能量曲線直觀表示軌道特征。第一項是動能，將第二、三項視為勢能：有效勢能中第一項大于零，為離心勢能，對應(yīng)一斥力作用。由圖可見，r很小時，第一項為主，r很大時，第二項為主?！?開普勒定律

一、第一定律行星沿橢圓軌道繞太陽運動，太陽位于橢圓的一個焦點上。

二、第二定律（面積定律）對任一個行星，它的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

三、第三定律（周期定律）行星繞太陽運動軌道半長軸a的立方與周期T的平方成正比，例：估算太陽的質(zhì)量。如果中心物體不視為固定或伴星與主星相比質(zhì)量不能忽略，

四、行星運動的能量

考慮圓軌道，總能量為常數(shù)?？偰芰繛樨摂?shù)。此結(jié)果也適用橢圓軌道，只要用a代替r，橢圓軌道時的總能量只與半長軸有關(guān)。例：從第一宇宙速度求第二宇宙速度?，F(xiàn)向系統(tǒng)提供能量，使其速度增加到v2，動能為原來兩倍。總能量為零時方可逃逸?！?引力場一、球殼的引力場

這是所選的圓環(huán)dM對位于P點的質(zhì)點m的作用力。二、球體的引力場