第三章 誤差的合成與分配

復(fù)習(xí)總結(jié)第一章緒論誤差理論的基本概念：誤差存在的必然性和普遍性；研究誤差的意義；誤差的定義及表示法；誤差來(lái)源；誤差分類(lèi)；精度；有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算。第二章誤差的基本性質(zhì)與處理隨機(jī)誤差：處理，評(píng)定。系統(tǒng)誤差：發(fā)現(xiàn)(判斷準(zhǔn)則)、消除、減小。粗大誤差：發(fā)現(xiàn)(判斷準(zhǔn)則)、消除。

第三章誤差的合成與分配

第一節(jié)函數(shù)誤差

間接測(cè)量：是通過(guò)直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其它量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)的量。

函數(shù)誤差：間接測(cè)量的量是直接測(cè)量所得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)，而間接測(cè)量誤差則是各個(gè)直接測(cè)得值誤差的函數(shù)，故稱(chēng)這種誤差為函數(shù)誤差。

誤差合成：研究函數(shù)誤差的內(nèi)容實(shí)質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問(wèn)題，而對(duì)于這種具有確定關(guān)系的誤差計(jì)算，也稱(chēng)之為誤差合成。

函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算

在間接測(cè)量中有函數(shù)：式中為各個(gè)直接測(cè)量值；y為間接測(cè)量值。則：若已知各個(gè)直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差：由于這些誤差值皆較小，可近似得到函數(shù)的函數(shù)系統(tǒng)誤差公式：誤差傳遞系數(shù)：線性函數(shù)：函數(shù)的系統(tǒng)誤差：為誤差傳遞系數(shù)

三角函數(shù)：系統(tǒng)誤差：

同理可得：函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算

隨機(jī)誤差是用表征其分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)評(píng)定的，對(duì)于函數(shù)的隨機(jī)誤差，也是用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行評(píng)定。

函數(shù)：設(shè)對(duì)各個(gè)測(cè)量值皆進(jìn)行了N次等精度測(cè)量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：

可得函數(shù)y的隨機(jī)誤差為：每個(gè)方程取平方得：求和得:標(biāo)準(zhǔn)差：若定義：誤差相關(guān)系數(shù)：函數(shù)隨機(jī)誤差公式：誤差傳遞系數(shù)：若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時(shí)：此時(shí)：令：則：當(dāng)各個(gè)測(cè)量值隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，式中的標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替可得函數(shù)極限誤差公式：

線性函數(shù)：三角函數(shù)：

誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)函數(shù)隨機(jī)誤差不相關(guān)。函數(shù)隨機(jī)誤差則具有線性的傳遞關(guān)系。一般兩誤差的關(guān)系處于上述兩種極端情況之間既有聯(lián)系又不具有確定關(guān)系。

誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指它們具有線性依賴(lài)關(guān)系。最強(qiáng)時(shí)，在平均意義上，一個(gè)誤差的取值完全取決于另一個(gè)誤差的取值，此時(shí)兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。兩誤差線性依賴(lài)關(guān)系最弱時(shí)，一個(gè)誤差的取值與另一個(gè)誤差的取值無(wú)關(guān)。相關(guān)系數(shù)誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指它們具有線性依賴(lài)關(guān)系。最強(qiáng)時(shí)，在平均意義上，一個(gè)誤差的取值完全取決于另一個(gè)誤差的取值，此時(shí)兩誤差間具有確定的線性函數(shù)關(guān)系。兩誤差線性依賴(lài)關(guān)系最弱時(shí)，一個(gè)誤差的取值與另一個(gè)誤差的取值無(wú)關(guān)。相關(guān)系數(shù)兩誤差間有線性關(guān)系時(shí)，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來(lái)反映，在誤差合成時(shí)應(yīng)求得相關(guān)系數(shù)，并計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)大小。

若兩誤差[ksi:]與[eita]之間的相關(guān)系數(shù)為，則有：當(dāng)時(shí)：兩誤差與正相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一個(gè)誤差的取值也增大；當(dāng)時(shí)：兩誤差與負(fù)相關(guān)，即一誤差增大時(shí)，另一個(gè)誤差的取值減?。划?dāng)時(shí)，稱(chēng)為完全正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為完全負(fù)相關(guān)；此時(shí)，兩誤差與之間存在著確定的線性函數(shù)關(guān)系；當(dāng)時(shí)，兩誤差間無(wú)線性關(guān)系或稱(chēng)不相關(guān)；即一誤差增大時(shí)，另一個(gè)誤差的取值可能增大，也可能減小。相關(guān)系數(shù)的確定確定兩誤差間的相關(guān)系數(shù)是比較困難的，通常可采用以下幾種方法：直接判斷法:通過(guò)兩誤差之間關(guān)系的分析，直接確定相關(guān)系數(shù)試驗(yàn)觀察和簡(jiǎn)略計(jì)算法在某些情況下，可直接測(cè)量?jī)烧`差的多組對(duì)應(yīng)值，用觀察法或簡(jiǎn)略計(jì)算法求得相關(guān)系數(shù)。觀察法：圖3-3簡(jiǎn)單計(jì)算法：圖3－4多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值在平面坐標(biāo)上作圖：作平行于縱軸的直線A將點(diǎn)陣左右均分；再作平行于橫軸的直線B將點(diǎn)陣上下均分；并盡量使A、B線上無(wú)點(diǎn)；于是將點(diǎn)陣分為四部分，設(shè)各部分的點(diǎn)數(shù)分別為n1、n2、n3、n4，則可以證明相關(guān)系數(shù)為：n4n1n2n3AB

直接計(jì)算法：根據(jù)多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值，按相關(guān)系數(shù)的定義計(jì)算得：理論計(jì)算法

有些誤差間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求出。如果求得兩個(gè)誤差與間為線性相關(guān)，即：則相關(guān)系數(shù)為：復(fù)習(xí)總結(jié)函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算：函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算：誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)：作業(yè)：p77-3-2,3－6

第二節(jié)隨機(jī)誤差的合成標(biāo)準(zhǔn)差的合成

若有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為。各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為（方均根）： 各個(gè)誤差互不相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)，則有：極限誤差的合成

若已知各單項(xiàng)極限誤差為，且置信概率相同，則按方和根法合成的總極限誤差為：

一般情況下，已知的各單項(xiàng)極限誤差的置信概率可能不相同，不能按上式進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項(xiàng)隨機(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的分布情況，引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。

對(duì)單項(xiàng)極限誤差為：式中，為各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；為各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)。對(duì)總的極限誤差為：

式中，為合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差；為合成后總極限誤差的置信系數(shù)。則：一般的極限誤差合成公式為：

當(dāng)當(dāng)由于各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或假設(shè)近似服從正態(tài)分布，而且它們之間常是線性無(wú)關(guān)或近似線性無(wú)關(guān)，因此，上式是較為廣泛使用的極限誤差合成公式。

第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律，不論其變化規(guī)律如何，根據(jù)系統(tǒng)誤差的掌握程度，可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。由于這兩種系統(tǒng)誤差的特征不同，其合成方法也不相同。已定系統(tǒng)誤差的合成

已定系統(tǒng)誤差：是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。 在測(cè)量過(guò)程中，若有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差分別為，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為，則按代數(shù)和法進(jìn)行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為：

在實(shí)際測(cè)量中，有不少已定系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中均已消除，由于某些原因未能予消除的已定系統(tǒng)誤差也只是有限的少數(shù)幾項(xiàng)，它們按代數(shù)和法合成后，還可從測(cè)量結(jié)果中修正，故最后的測(cè)量結(jié)果中一般不再包含有已定系統(tǒng)誤差。

未定系統(tǒng)誤差合成 未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量實(shí)踐中較為常見(jiàn)，對(duì)于某些影響較小的已定系統(tǒng)誤差，為簡(jiǎn)化計(jì)算，也可不對(duì)其進(jìn)行誤差修正，而將其作為系統(tǒng)誤差處理，因此未定系統(tǒng)誤差的處理是測(cè)量結(jié)果處理的重要內(nèi)容之一。未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定

未定系統(tǒng)誤差：是指誤差大小和方向未能確切掌握，或不必花費(fèi)過(guò)多精力去掌握，而只能或只需估計(jì)出其不致超過(guò)某一極限范圍的系統(tǒng)誤差。也就是說(shuō)，在一定條件下客觀存在的某一系統(tǒng)誤差，一定是落在所估計(jì)的誤差區(qū)間內(nèi)的一個(gè)取值。

未定系統(tǒng)誤差在測(cè)量條件不變時(shí)有一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而不具有抵償性，利用多次重復(fù)測(cè)量取算術(shù)平均值的辦法不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。但是當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并服從一定的概率分布，這些特征均與隨機(jī)誤差相同，因而評(píng)定它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響也應(yīng)與隨機(jī)誤差相同，即采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來(lái)表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。

對(duì)某一個(gè)砝碼，一經(jīng)檢定完成其修正值已確定不變，由檢定方法引入的誤差也就被確定下來(lái)了，其值為檢定方法引入的極限誤差范圍內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)值。使用這個(gè)砝碼進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由檢定方法引入的誤差則為恒定值而不具有抵償性。但這一誤差的具體數(shù)值又未掌握，而只知其極限范圍，因此屬未定系統(tǒng)誤差。

對(duì)于同一質(zhì)量的多個(gè)不同砝碼，相應(yīng)的各個(gè)修正值的誤差為某一極限范圍內(nèi)的隨機(jī)取值，其分布規(guī)律直接反映了檢定方法誤差的分布?；蛘叻粗?，檢定方法誤差分布也就反映了各個(gè)砝碼修正值的誤差分布規(guī)律。若檢定方法誤差服從正態(tài)分布，則砝碼修正值的誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布，而且兩者具有同樣的標(biāo)準(zhǔn)差。極限誤差：。（采用不同符號(hào)區(qū)別于隨機(jī)誤差）。

未定系統(tǒng)誤差的合成 由于未定系統(tǒng)誤差的取值具有隨機(jī)性，并且服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，它們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來(lái)很大的方便。

標(biāo)準(zhǔn)差的合成 若測(cè)量過(guò)程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為：，則合成后未定系統(tǒng)誤差為： 當(dāng)時(shí)：極限誤差的合成 各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為： 總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為： 則：

若各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布， 且時(shí)：第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成

當(dāng)測(cè)量過(guò)程中存在各種不同性質(zhì)的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差時(shí)應(yīng)將其進(jìn)行綜合，以求得最后測(cè)量結(jié)果的總誤差，并常用極限誤差來(lái)表示，但有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。按極限誤差合成 若測(cè)量過(guò)程中有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的誤差值或極限誤差分別為：為計(jì)算方便，設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為： R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和。當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：

一般情況下，已定系統(tǒng)誤經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根，即：對(duì)于多次重復(fù)測(cè)量，由于隨機(jī)誤差具有抵償性，而系統(tǒng)誤差則固定不變，因此總誤差合成公式中的隨機(jī)項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù)n,即：

按標(biāo)準(zhǔn)差合成若用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成公式，則只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差項(xiàng)的合成問(wèn)題。若測(cè)量過(guò)程中有s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 為方便計(jì)算，設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為1，則測(cè)量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差為：

式中，R為各個(gè)誤差間協(xié)方差之和。當(dāng)各誤差間不相關(guān)時(shí)：對(duì)n次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差為：第五節(jié)誤差分配給定測(cè)量結(jié)果的總誤差的允差，要求確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。根據(jù)給定測(cè)量總誤差的允差來(lái)選擇測(cè)量方案，合理進(jìn)行誤差分配，確定各單項(xiàng)誤差，以保證測(cè)量精度，這就是誤差分配問(wèn)題。

對(duì)于函數(shù)的已定系統(tǒng)誤差，可用修正方法來(lái)消除，不必考慮各個(gè)測(cè)量值已定系統(tǒng)誤差的影響，而只需研究隨機(jī)誤差和末定系統(tǒng)誤差的分配問(wèn)題。這兩種誤差在誤差合成時(shí)可同等看待，因此在誤差分配時(shí)也可同等看待，其誤差分配方法完全相同。

設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，則：式中，為函數(shù)的部分誤差：若已給定，需確定或相應(yīng)的， 使： 顯然，式中可以是任意值，為不確定解，因此一般需按下列步驟求解。

按等作用原則分配誤差

單項(xiàng)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差： 單項(xiàng)測(cè)量極限誤差：

按可能性調(diào)整誤差 按等作用原則分配誤差可能會(huì)出現(xiàn)不合理的情況，這是因?yàn)橛?jì)算出來(lái)的各個(gè)部分誤差都相等，對(duì)于其中有的測(cè)量值，要保證它的測(cè)量誤差不超過(guò)允許范圍較為容易實(shí)現(xiàn)，而對(duì)于其中有的測(cè)量值則難以滿足要求，若要保證它的測(cè)量精度，勢(shì)必要用昂貴的高精度儀器或者要付出較大的勞動(dòng)。 另一方面，當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳遞系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，其相應(yīng)測(cè)量值的誤差不一定相等，有時(shí)可能相差較大。驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 誤差分配后，應(yīng)按誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再予縮小誤差。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以測(cè)量的誤差項(xiàng)的誤差。

第六節(jié)微小誤差取舍準(zhǔn)則測(cè)量過(guò)程包含