四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三上學(xué)期階段檢測（三）理科數(shù)學(xué)試卷

成都市郫都區(qū)高2021級階段性檢測（三）數(shù)學(xué)（理科）說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，那么（

）A．B．C．D． 2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．0 D．13．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，4．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A．12 B．24 C．48D．965．如圖，將程序框圖輸出的y看成輸入的x的函數(shù)，得到函數(shù)y＝f(x)，則y＝f(x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于直線x＝－1對稱C．關(guān)于y軸對稱D．關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱6．若是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，于，若，則的周長為（

）A． B． C．10 D．127．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē，nào）．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某鱉臑的三視圖，則該鱉臑的最長棱長為（）A．B．C．D．8．已知，則的值為（

）A．1 B． C．D．將函數(shù)個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則的最大值是（）A．B．C．D．11．若函數(shù)對任意的都有成立，則與的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．無法比較大12．已知，若存在實(shí)數(shù)（），當(dāng)（）時(shí)，滿足，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．第II卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：必須使用0．5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答,作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．13．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為________．14．的展開式的常數(shù)項(xiàng)為________．15．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則的概率是．16．將四個(gè)半徑為的小球放入一個(gè)大球中，則這個(gè)大球表面積的最小值為________．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟．17．（本小題滿分12分）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)；為進(jìn)一步提升該商場的人氣，提高營業(yè)額，該商場進(jìn)行了摸球中獎回饋客戶活動，商場在出口處準(zhǔn)備了三個(gè)編號分別為1,2,3的不透明箱子，每個(gè)箱子中裝有除顏色外大小和形狀均相同的24個(gè)小球（其中1號箱子中有18個(gè)紅球，6個(gè)白球；2號箱子中有16個(gè)紅球，8個(gè)黃球；3號箱子中有12個(gè)紅球，12個(gè)藍(lán)球）且含有自動攪拌均勻裝置．規(guī)則如下：在該商場購物的顧客憑購物小票均有一次參加此活動的機(jī)會，從三個(gè)箱子里各摸出一個(gè)小球（摸完后再依次放回），若摸出的3個(gè)小球顏色相同便中獎．若小明和他的3個(gè)朋友購物后均參加了該活動，且每人是否中獎相互獨(dú)立，記這4人中中獎的人數(shù)為X，求X的分布列與期望．（參考公式：回歸方程，其中，）18．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．（1）求；（2）若，，求．19．（本小題滿分12分）在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖（2）所示．（1）求證：；（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．20．（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，且焦距為8，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）已知是直線上一點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，其中在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：．請考生在22、23題中任選一題作答，共10分，如果多作，則按所作的第一題計(jì)分．作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號的方框涂黑．22．（本小題滿分10分）瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利在1694年類比橢圓的定義，發(fā)現(xiàn)了雙紐線．雙紐線的圖形如圖所示，它的形狀像個(gè)橫著的“8”，也像是無窮符號“∞”．定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求雙紐線的極坐標(biāo)方程；（2）雙紐線與極軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為C上一點(diǎn)，求面積的最大值（用表示）．23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．郫都區(qū)高2021級第三次階段性考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案選擇題CDBCDDCAADAD填空題414.15.16.解答題17.解：（1），，…………4分故預(yù)估該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)為33.2百人?！?分（2），………………6分………………7分………………8分………………9分………………10分∴X的分布列為X01234P∴E(X)=1…………12分18.（1）由題意可知，,由，得，………………3分由正弦定理可知，，……………………4分由，得，即…………6分（或………………2分由正弦定理可知：，……………………4分因?yàn)椋?)………………6分（2）由，可知角為銳角，所以，得，，………8分所以，………………9分由，又，得,…………………10分由正弦定理得，所以，……………11分由余弦定理，得……………………12分19.（1）證明：因?yàn)?，且，可得，，又因?yàn)?，可得，所以，則，…………………………2分因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，………?分所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?………………5分（2）解：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，過點(diǎn)作垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，…………7分所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以．…………9分假設(shè)存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，設(shè)，（其中），則，，所以，整理得，解得或（舍去），……………………11分綜上所述，在線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，此時(shí)．……………12分（1）因?yàn)榻咕酁?，所以.……………1分因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以.…………2分因?yàn)椋?，………?分所以雙曲線的方程為.…………4分（2）由（1）知，的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則.聯(lián)立方程組，得.…………5分設(shè)，則.……………6分因?yàn)?，所以直線的方程為.直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，…………………8分由兩式相除，得，則，所以.…………10分因?yàn)?，所以，故為線段的中點(diǎn).………12分21.（1）因?yàn)?，所以………?分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，且，所以恒大于等于零不成立；……………………2分當(dāng)時(shí)，由得，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，若恒成立，則……………………3分令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，.…………………………4分綜上，若恒成立，則.……………………5分（2）由（1）得,當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，…………6分令，則，，，所以，，，…………8分令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即．所以，，，…………10分所以.……………………12分22.解：（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖，在雙紐線C上任取一點(diǎn)，在中，，………………2分在中，，……………………3分依題意，，則，……………4分即，整理得：，所以雙紐線的極坐標(biāo)方程為．………………5分（2）令，得，則點(diǎn)到極軸所在直線的距離為，………7分則……………8分，………………9分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，…………………10分所以面積的最大值為．（1）當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，；………………………1分當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，；…………………2分當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)