數(shù)學人教A版必修2學案2-3-2平面與平面垂直的判定

2.3.2平面與平面垂直的判定[目標]1.理解二面角及其平面角的定義并會求一些簡單二面角的大??；2.理解兩平面垂直的定義；3.掌握兩個平面垂直的判定定理并能應用判定定理證明面面垂直問題．[重點]兩個平面垂直的判定定理及應用．[難點]二面角、二面角平面角定義的理解；求二面角．知識點一二面角及其平面角[填一填]1．二面角2.二面角的平面角(1)滿足條件：如圖，二面角α-l-β的平面角為∠AOB，則平面角∠AOB應滿足的條件為：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：若二面角α-l-β的平面角∠AOB＝90°，則該二面角叫做直二面角．(3)表示方法：圖中二面角可記為二面角α-l-β或P-l-Q.[答一答]1．二面角是一個角嗎？其平面角是否只有一個？提示：不是，二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面構成的空間圖形．不是，其平面角有無數(shù)個．知識點二平面與平面垂直[填一填]1．定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．如果平面α與平面β垂直，記作α⊥β.2．畫法：兩個互相垂直的平面，通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．如下圖(1)(2)所示．3．判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．符號語言：l⊥α，l?β?α⊥β.圖形語言：如圖所示．[答一答]2．面面垂直的判定定理的條件有幾個，減少一個條件定理是否還成立？提示：判定定理有兩個條件，若去掉一個條件，則定理不一定成立．3．當開啟房門時，為什么房門轉到任何位置時，門所在平面都與地面垂直？提示：因為房門無論轉到什么位置，都始終經過與地面垂直的門軸，根據(jù)兩個平面垂直的判定定理知，門所在平面都與地面垂直．4．過一點有多少個平面與已知平面垂直？為什么？提示：過一點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，雖然過一點有且只有一條直線和已知平面垂直，但是經過這條垂線的所有平面都和已知平面垂直．類型一二面角的概念及求法[例1]如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-D平面角的度數(shù)；(3)求二面角B-PA-C平面角的度數(shù)．[分析](1)證明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再證明該角滿足平面角的定義，最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C平面角的度數(shù)為45°.清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點.求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關鍵是“作”.[變式訓練1]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中點，二面角C1-AB-C的平面角是∠C1BC；二面角C1-BD-C的平面角是∠C1OC，其正切值為eq\r(2).類型二平面與平面垂直的判定[例2]如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC.[證明]由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.判定兩平面垂直的常用方法：1定義法：即說明兩個平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：其關鍵是在其中一個平面內尋找一直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；3性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.[變式訓練2]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a.求證：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD.證明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，則PD⊥DC.同理可證PD⊥AD.又AD∩DC＝D，且AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，且PD?平面PBD，BD?平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.類型三線面垂直、面面垂直的綜合應用[例3]如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F-AEC[解](1)證明：因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1(2)如圖，設AB的中點為D，連接A1D，CD.因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1由題設，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3).在Rt△AA1D中，AA1＝eq\r(A1D2－AD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以FC＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(\r(2),2).故三棱錐F-AEC的體積V＝eq\f(1,3)S△AEC×FC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),12).本題是涉及線面垂直、面面垂直、二面角的求法等諸多知識點的一道綜合題，解決這類問題的關鍵是轉化：線線垂直?線面垂直?面面垂直.[變式訓練3]如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點．(1)求證：DE∥平面PAC；(2)求證：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P-AB-C的大小．解：(1)證明：因為D，E分別是AB，PB的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面PAC，DE?平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)證明：因為PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，所以PC⊥AB.又因為AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因為PB?平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即為二面角P-AB-C的平面角，因為PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P-AB-C的大小為45°.1．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(D)A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(C)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為(C)A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故選C.4．在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如圖所示，則在三棱錐P-ABC的四個面中，互相垂直的平面有3對．解析：因為PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，因為PA?平面PAB，PA?平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC.5．如圖，在四面體A-BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：如圖，取BD的中點E，連接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC為二面角A-BD-C的平面角．在△ABE中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE2＝AB2－BE2＝eq\f(1,2)a2，同理CE2＝eq\f(1,2)a2，所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°.所以平面ABD⊥平面BCD.——本課須掌握的三大問題1．證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)利用面面垂直的