江西省宜春巿高安中學2024年高考數(shù)學四模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江西省宜春巿高安中學2024年高考數(shù)學四模試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,則()A. B. C. D.2.我國南北朝時的數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤3.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.4.已知函數(shù)在上可導且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、5.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)6.已知復數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.若時,,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.總體由編號01,,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08 B.07 C.02 D.019.復數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.10.已知,是兩條不重合的直線,是一個平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則11.一場考試需要2小時,在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.12.若的展開式中含有常數(shù)項,且的最小值為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.14.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點,,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.15.根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是_________.16.(5分)在平面直角坐標系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在銳角中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當,且時,求的面積.18.(12分)如圖,三棱錐中,點,分別為,的中點,且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.21.(12分)設直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設直線(為坐標原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標;(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于基礎題.2、C【解析】設這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C3、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.4、A【解析】

設,利用導數(shù)和題設條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進而變形即可求解.【詳解】由題意,設,則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.5、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?!驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應用,有一定綜合性,屬于中檔題。6、C【解析】

將復數(shù)化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的基本定義,屬基礎題.7、D【解析】

由題得對恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導數(shù)的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.8、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.考點:此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法,考查學習能力和運用能力.9、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解:,復數(shù)的模為.故選:D.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法,屬于基礎題.10、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】解:選項A中直線,還可能相交或異面,選項B中,還可能異面,選項C,由條件可得或.故選:D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎知識;考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎題.11、B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時,轉(zhuǎn)過的角度為,按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,所以經(jīng)過2小時,時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制,屬于基礎題.12、C【解析】展開式的通項為,因為展開式中含有常數(shù)項,所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設直線.由題設得,故,由題設可得.

由可得,

則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.14、【解析】

分別取,的中點,,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點,,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查多面體的外接球的計算,屬于中檔題.15、55【解析】

根據(jù)該For語句的功能,可得,可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能,可得則故答案為:55【點睛】本題考查For語句的功能,屬基礎題.16、【解析】

方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設,則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)利用二倍角公式求解即可,注意隱含條件.(2)利用(1)中的結(jié)論,結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值,又由求出的值,最后由正弦定理求出的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】(1)由已知可得,所以,因為在銳角中,,所以(2)因為,所以,因為是銳角三角形,所以,所以.由正弦定理可得:,所以,所以【點睛】此類問題是高考的??碱}型,主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識,同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能,屬于中檔題.18、證明見解析;證明見解析.【解析】

利用線面平行的判定定理求證即可;為中點,為中點,可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點,為中點,,又平面,平面,平面;證明:為中點,為中點,,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用,屬于基礎題.19、(1)見證明;(2)【解析】

(1)設是的中點,連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標原點,的方向為軸的正方向,建空間直角坐標系,分別計算各個點坐標,計算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:設是的中點,連接、,是的中點,,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過點作,垂足為,平面,以為坐標原點,的方向為軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標系,則,,,,設是平面的一個法向量,則,,令,則,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直,線線垂直,利用空間直角坐標系解決線面夾角問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】

(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5個月份任意選取3個月份的基本事件有,,,,,,,,,,共計10個,故恰好有兩個月考核合格的概率為;(2),,,,故;(3)當千只,(十萬元)(萬元),故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型,線性回歸方程的求解和使用,屬于基礎題.21、(1)證明見解析(0,2);(2)存在,理由見解析【解析】

(1)設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過定點(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過原點,故設由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.(2)由(1)知設由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物

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