《用樣本估計(jì)總體》課件（兩套）

用樣本估計(jì)總體

復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容

在上節(jié)課中，我們知道在選取樣本時(shí)應(yīng)注意的問題，其一是所選取的樣本必須具有代表性，其二是所選取的樣本的容量應(yīng)該足夠大，這樣的樣本才能反映總體的特性，所選取的樣本才比較可靠.

隨機(jī)抽樣調(diào)查是了解總體情況的一種重要的數(shù)學(xué)方法，抽樣是它的一個(gè)關(guān)鍵，上節(jié)課介紹了簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣方法，即用抽簽的方法來選取樣本，這使每個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被選入樣本．判斷下面這些抽樣調(diào)查選取樣本的方法是否合適，若不合適，請(qǐng)說明理由．(1)為調(diào)查江蘇省的環(huán)境污染情況，調(diào)查了長(zhǎng)江以南的南京市、常州市、蘇州市、鎮(zhèn)江市、無錫市的環(huán)境污染情況．(2)從100名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，測(cè)量他們的身高來估算這100名學(xué)生的平均身高．(3)從一批燈泡中隨機(jī)抽取50個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，估算這批燈泡的使用壽命．(4)為了解觀眾對(duì)中央電視臺(tái)第一套節(jié)目的收視率，對(duì)所有上英特網(wǎng)的家庭進(jìn)行在線調(diào)查．解:(1)不合適．因?yàn)檎{(diào)查對(duì)象在總體中必須有代表性，現(xiàn)在所調(diào)查的這些地方的環(huán)境污染情況僅僅代表了長(zhǎng)江以南地區(qū)，并不能代表整個(gè)江蘇省的環(huán)境污染情況．(2)不合適．因?yàn)槌闃诱{(diào)查時(shí)所抽取的樣本要足夠大，現(xiàn)在只抽取了2名學(xué)生的身高，不能用來估算100名學(xué)生的平均身高．(3)合適．(4)不合適．雖然調(diào)查的家庭很多，但僅僅增加調(diào)查的數(shù)量不一定能夠提高調(diào)查質(zhì)量，本題中所調(diào)查的僅代表上英特網(wǎng)的家庭，不能代表不上英特網(wǎng)的家庭，因此這樣的抽樣調(diào)查不具有普遍代表性．讓我們?nèi)砸陨弦还?jié)300名學(xué)生的考試成績(jī)?yōu)槔?，考察一下抽樣調(diào)查的結(jié)果是否可靠。上一節(jié)中，老師選取的一個(gè)樣本是：隨機(jī)數(shù)(學(xué)號(hào)）11125416794276成績(jī)8086669167它的頻數(shù)分布直方圖、平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差分別如下：另外，同學(xué)們也分別選取了一些樣本，它們同樣也包含五個(gè)個(gè)體，如下表：隨機(jī)數(shù)（學(xué)號(hào)績(jī)7873766975同樣，也可以作出這兩個(gè)樣本的頻數(shù)分布直方圖、計(jì)算它們的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差，如下圖所示：隨機(jī)數(shù)（學(xué)號(hào)）901678627554成績(jī)7286838282樣本平均成績(jī)?yōu)?0.8分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.5分樣本平均成績(jī)?yōu)?4.2分，標(biāo)準(zhǔn)差為3.8分從以上三張圖比較來看，它們之間存在明顯的差異，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差與總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差也相去甚遠(yuǎn)，顯然這樣選擇的樣本不能反映總體的特性，是不可靠的。2、選擇恰當(dāng)?shù)臉颖緜€(gè)體數(shù)目樣本平均成績(jī)?yōu)?5.7分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.2分樣本平均成績(jī)?yōu)?7.1分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.7分

當(dāng)樣本中個(gè)體太少時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差往往差距較大，如果選取適當(dāng)?shù)臉颖镜膫€(gè)體數(shù)，各個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與總體的標(biāo)準(zhǔn)差相當(dāng)接近。

北京在這30天的空氣污染指數(shù)及質(zhì)量級(jí)別，如下表所示：2、體會(huì)用樣本估計(jì)總體的合理性經(jīng)比較可以發(fā)現(xiàn)，雖然從樣本獲得的數(shù)據(jù)與總體的不完全一致，但這樣的誤差還是可以接受的，是一個(gè)較好的估計(jì)。

隨著樣本容量（樣本中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)）的增加，由樣本得出的平均數(shù)往往會(huì)更接近總體的平均數(shù)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明隨機(jī)抽樣方法是科學(xué)而可靠的.對(duì)于估計(jì)總體特性這類問題，數(shù)學(xué)上的一般做法是給出具有一定可靠程度的一個(gè)估計(jì)值的范圍.3、加權(quán)平均數(shù)的求法問題1：在計(jì)算20個(gè)男同學(xué)平均身高時(shí)，小華先將所有數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列，如下表所示：然后,他這樣計(jì)算這20個(gè)學(xué)生的平均身高：小華這樣計(jì)算平均數(shù)可以嗎？為什么？問題2：假設(shè)你們年級(jí)共有四個(gè)班級(jí)，各班的男同學(xué)人數(shù)和平均身高如表所示.小強(qiáng)這樣計(jì)算全年級(jí)男同學(xué)的平均身高：小強(qiáng)這樣計(jì)算平均數(shù)可以嗎？為什么？為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下：練習(xí)1：(1)在這個(gè)問題中，總體、個(gè)體、樣本和樣本容量各是什么？(2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑．解:(1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個(gè)體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20．(2)在20個(gè)數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10（米）．

20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)是最中間的兩個(gè)數(shù)，分別為9（米）和10（米），所以中位數(shù)是9.5（米）．樣本平均數(shù)9.4（米）為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：

0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、1.2、2.1、3.2、1.0(1)通過對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算）；(2)2001年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率（2001年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與1999年相同）；(3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅．計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg/m3;(4)假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來．練習(xí)2：解:(1)所以,該縣1999年消耗一次性筷子為2×600×350=420000（盒）(2)設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率為x，則2（1+X）2=2.42解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合題意，舍去）所以,平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%．(3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為（套）(4)先抽取若干個(gè)縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計(jì)一次性筷子的用量．在一個(gè)班的40學(xué)生中，14歲的有5人，15歲的有30人，16歲的有4人，17歲的有1人，求這個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡。練習(xí)3：

專家提醒，目前我國(guó)兒童青少年的健康存在著五個(gè)必須重視的問題：營(yíng)養(yǎng)不良和肥胖、近視、齲齒、貧血以及心理衛(wèi)生．你認(rèn)為這是用普查還是抽樣調(diào)查得到的結(jié)果？設(shè)計(jì)一份調(diào)查卷和一個(gè)抽樣調(diào)查方案，了解我們學(xué)校學(xué)生是否普遍存在這五個(gè)健康問題，是否嚴(yán)重？練習(xí)4：小結(jié):

一般來說，用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，樣本對(duì)總體的估計(jì)也就越精確，相應(yīng)地，搜集、整理、計(jì)算數(shù)據(jù)的工作量也就越大，因此，在實(shí)際工作中，樣本容量既要考慮問題本身的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性和所付出的代價(jià)的大小。隨機(jī)抽樣是經(jīng)過數(shù)學(xué)證明了的可靠的方法，它對(duì)于估計(jì)總體特征是很有幫助的。用樣本估計(jì)總體

思考我們?nèi)绾沃罒艄艿氖褂脡勖?？我們?nèi)绾沃牢覈?guó)初一年級(jí)全體學(xué)生的身高和體重？我們?nèi)绾喂烙?jì)湖中有多少條魚？

電燈泡廠要檢查一批燈泡的使用期限，其方法是給燈泡連續(xù)通電，直到燈泡不亮為止。顯然，工廠不能這樣一一檢查每個(gè)燈泡，而只能從中抽取一部分燈泡（比如80個(gè)）進(jìn)行檢查，然后用這部分燈泡的使用期限，去估計(jì)這批燈泡的使用期限。

我們把這批燈泡中每個(gè)燈泡的使用期限的全體看成是總體。

其中每一個(gè)燈泡的使用期限就是個(gè)體；

被抽取進(jìn)行檢查的80個(gè)燈泡的每個(gè)燈泡的使用期限的集體，就叫做總體的一個(gè)樣本。

要考察的對(duì)象的全體叫做總體；每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體；從總體中被抽取的考察對(duì)象的集體叫做總體的一個(gè)樣本；樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。課題總體和樣本

例1為了解某區(qū)初中八年級(jí)學(xué)生的身高，有關(guān)部門從初八年級(jí)中抽200名學(xué)生測(cè)量他們的身高，然后根據(jù)這一部分學(xué)生的身高去估計(jì)某區(qū)所有初八學(xué)生的平均身高。說出總體、個(gè)體、樣本和樣本容量。解：總體是

，某區(qū)初八年級(jí)學(xué)生每人身高的全體

是個(gè)體；每名學(xué)生的身高

從中抽取的

是總體的一個(gè)樣本，200名學(xué)生的每人身高的集體樣本容量是

。

200表述方法：總體：要考察的對(duì)象的全體；個(gè)體：每一個(gè)考察對(duì)象；樣本：抽取的考察對(duì)象的集體；樣本容量：沒有單位；

例1為了解某區(qū)初中八年級(jí)學(xué)生的身高，有關(guān)部門從初八年級(jí)中抽200名學(xué)生測(cè)量他們的身高，然后根據(jù)這一部分學(xué)生的身高去估計(jì)此區(qū)所有初八學(xué)生的平均身高。說出總體、個(gè)體、樣本和樣本容量。體重體重體重體重變式一：解：總體是

，

是個(gè)體；每名學(xué)生的體重

從中抽取的

是總體的一個(gè)樣本，某校200名學(xué)生的每人體重的集體樣本容量是

。

某區(qū)初八年級(jí)學(xué)生每人體重的全體200

正確分清考察的對(duì)象是解題的關(guān)鍵，在例題中考察的對(duì)象是學(xué)生的

，在變式一中考察的對(duì)象則是學(xué)生的

。身高體重

例1為了解普陀區(qū)初中八年級(jí)學(xué)生的身高，有關(guān)部門從初八年級(jí)中抽200名學(xué)生測(cè)量他們的身高，然后根據(jù)這一部分學(xué)生的身高去估計(jì)普陀區(qū)所有初八學(xué)生的平均身高。說出總體、個(gè)體、樣本和樣本容量。某校某校變式二：解：總體是

，

是個(gè)體；每名學(xué)生的身高

從中抽取的

是總體的一個(gè)樣本，某校200名學(xué)生的每人身高的集體樣本容量是

。

某校初八年級(jí)學(xué)生每人身高的全體200

總體和樣本是相對(duì)而言的。在變式一中，“某區(qū)每個(gè)初二年級(jí)學(xué)生的身高的全體是總體”，而在變式二中，“某校每個(gè)初二年級(jí)學(xué)生的身高的全體是總體”，樣本也類似。

例2要了解一片水稻田里所有單株水稻的產(chǎn)量情況，從中抽取500株水稻單株產(chǎn)量去估計(jì)這片田里所有水稻的單株產(chǎn)量。說出總體、個(gè)體、樣本和樣本容量。解：總體是

，

是個(gè)體；每株水稻的產(chǎn)量

從中抽取的

是總體的一個(gè)樣本，樣本容量是

。

這片水稻田里所有水稻的單株產(chǎn)量的全體500500株水稻的單株產(chǎn)量的集體樣本的確定原則：

總體中包含的個(gè)體數(shù)往往很多，不能一一考察，有些個(gè)體考察時(shí)還帶有破壞性（如燈泡廠檢查燈泡的例子），因此，通常是從實(shí)際出發(fā)，在總體中抽取一個(gè)樣本（樣本容量要適當(dāng)），然后根據(jù)樣本的特性去估計(jì)總體的相應(yīng)特性（如例1中若樣本統(tǒng)計(jì)的結(jié)果是體重偏重，反映在總體上，也就是某區(qū)的八年級(jí)學(xué)生體重普遍偏重。）測(cè)試練習(xí)：1、為了考察某商店一年中每天的營(yíng)業(yè)額，從中抽查了30天的營(yíng)業(yè)額。解：總體是

，

是個(gè)體，

是樣本，樣本容量是

。某商店一年中每天的營(yíng)業(yè)額的全體每天的營(yíng)業(yè)額抽查的30天中單天營(yíng)業(yè)額的集體30測(cè)試練習(xí)：2、為了估計(jì)某種產(chǎn)品的次品率，從中抽查1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量。解：總體

，

是個(gè)體，是樣本，樣本容量是

。某種產(chǎn)品單個(gè)質(zhì)量的全體每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量抽查的1000個(gè)產(chǎn)品中每個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量的集體1000測(cè)試練習(xí)：3、為了解九年級(jí)400名學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，這40名學(xué)生的身高是（）A．總體的一個(gè)樣本；B．個(gè)體；C．總體；D．樣本容量。4、為了解我省中考數(shù)學(xué)考試的情況，抽取2000名考生的數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析，2000叫做（）A．個(gè)體；B．樣本；C．樣本容量；D．總體．AC測(cè)試練習(xí)：5、為了考察某班學(xué)生的身高情況，從中抽取20名學(xué)生進(jìn)行身高測(cè)算，下列說法正確的是（