2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)二》

2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)二》真題及答案

曲線y=x\n（e+占）的斜漸近線方程為（

1.【單項選擇題】

A.y=x+e

B.y=x+l/e

C.y=x

D.y=x-l/e

正確答案：B

知識點：第1章第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)

參考解析:

，/1、

xhi(e+--)

k=lim—=liin-----------"—I=liinln(e+------)=1

x—x—x—x-1

b=lim(y-kx)=lim[.Yln(e+—x]=limx[lii(e+—)-1]

X-^X>.x-^x>X一]X->00X一]

1x1

=limxln[l+---------]=lim---------=—

x*e(x-l)e(x-1)e

所以斜漸進(jìn)方程為y=x+l/e

函數(shù)/（x）=\4+戶”°的一個原函數(shù)為（）

2.【單項選擇題】I（x+Octsz.T>0

F(,)IInx2—xjz40

I(z+1)cosa;—sinT,T>0

In(-1+——工)+i,IW0

{(x+1)cosz-sini:,x>0

(：)|In+12+①)，]WO

1(1+1)sinx+cosjr,J:>0

*)fInx/l+x2+H)+1,iW0

dI(i+1)sinz+cos]，x>0

正確答案：D

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

當(dāng)0時，定.看2gM

當(dāng)x>0時,J/(x)^=j(X4-1)COSAYIV=j(x+l)<ysinx=(x+l)sinA+cosx+C,

原函數(shù)在(-8,+OO)內(nèi)連續(xù)，則在X=0處連續(xù)

所以￡=1+G

ln(71+x-+x)+l+C,x<0

(x+l)sinx+cosx+C?x>0

結(jié)合選項，貝Uf(x)的一個原函數(shù)為尸(x)J1n(小M+x)+l，xS°

I(x-t-l)sinx+cosx,x>0

3.【單項選擇題】

已知{工n},{%}滿足:I\=y\=In+1=sini.j/i=yj(n=1.2,-??),則當(dāng)nToc時,(

innn+

A.Xn是Yn的高階無窮小

B.yn是Xn的高階無窮小

C.Xn與yn是等價無窮小

D.Xn與Yn是同階但不等價的無窮小

正確答案：B

知識點：第1章》第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)

參考解析：

22

在IO.jI中，7.<sinx,故與“=sin%

k=5=.<?）"==（分

2K4*4

二>liin&=0

if

故y”是X”的高階無窮小

4.【單項選擇題】若微分方程y''+ay'+by=O的解在（-°°,+°°）上

有界，則（）

A.a<0,b>0

B.a<0,b>0

C.a<0,b>0

D.a<0,b>0

正確答案：C

知識點：第1章》第6節(jié)》第六節(jié)常微分方程

參考解析：

要使微分方程的解在（-8,+8）有界，則a=0,再由△=a?-4b<0,

知b>0.

設(shè)函數(shù)1/=/（工）由（工二彳+胤確定，則（）

5.【單項選擇題】=小皿

A.f(x)連續(xù),f'(0)不存在

B.f'(0)連續(xù)，f'(x)在x=0處不連續(xù)

C.f'(x)連續(xù)，f-(0)不存在

D.f''(0)存在,f'(x)在x=0處不連續(xù)

正確答案：C

知識點：第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

參考解析：

3fx=3rdvsiiir+rcosf

當(dāng)t>o時，，十=------------

y=tsinrax3

3」fx=，出.

當(dāng)t>o時，,—=-smt-tcost

y=-tsintdx

當(dāng)t=o時，因為￡(0)=liin/(、)-/⑼=Ihn物U=0

X—0+xr-g3t

/(V)/(0)

Z(0)=lim--=lim^=0

X"Xr"t

所以r(o)=o

smZ+fcosZSmZrcOSf

Em/'(x)=Hm=0=/<0),如/(x)=fan--=0=/(0)

x-?04-r-><Xt-3idr-*0-3

所以，Hm/'(x)=/'(0)=0，即f(x)在x=0連續(xù)，

x->0

當(dāng)t=0時，因為

夕74rI-sinr+rcosr2

f.(0)=liiii------------=lim-----------=—

ex…3-3r9

，”仆i-/'(x)-/,(0)v-sinr-rcosr

f(0)=Imi-—―、=lun-----------="2

x->0-xt

所以f”(0)不存在

6.【單項選擇題】

,+8i

若函數(shù)〃a)=/7r在a=。。處取得最小值，則的=()

J2^\*nX)

1

In(ln2)

A.

-In(ln2)

B.

1

C,京

In2

D.

正確答案：A

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

00

當(dāng)a>o時/(a)=r--_rdx=———iI：=

八卜Xlnxr1(lnx)aa2(In2)(

1____1_Inin212_1

所以，1(a)=—a■(—+InIn2)=0

(In2/7(ln2)0a~a(ln2)

1

即％=

lnln2

7.1單項選擇題】設(shè)函數(shù)f(x)=(x?+a)ex,若f(x)沒有極值點，但曲

線y=f(x)有拐點，則a的取值范圍是()

A.[0,1)

B.[1,+8)

C.[1,2)

D.[2,+8)

正確答案：C

知識點：第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

參考解析：

f(x)=(f+a)e3/V)=(x2+2x+crX，/1(x)=(x2+4x+<7+2)eJ

由于f(x)無極值點，所以4-4aWo,即Bl;由于f(x)有拐點，所以16-4(d+2)>0,即。<2；綜

上所述a€[1,2)

8.【單項選擇題】

設(shè)AB為n階可逆矩陣，E為"階於位矩陣，M'為矩陣Af的伴隨矩陣.則(7)=()

(|A|B*-B*A*\

A.\。田陽J

/|A|B*-A*B*\

B.\。田⑷J

/\B\A*-B*A*\

C,\?？谒?

(\B\A*-A*B*\

D.\。⑷牙)

正確答案：D

知識點：第2章》第2節(jié)》第二節(jié)矩陣

參考解析：

結(jié)合伴隨矩陣的核心公式，代人計算得

'A七丫|B|N*"8*、

源。=\A\\B\E

9\A\B\

9.【單項選擇題】

2

二次型f（xl,x2,x3）=（X1+X2）+（11+工3）2-4（12-二）的規(guī)范形為（）

Ayl+yl

口

D.yl-yl

「猶+城一4成

u.

D/+詔一成

正確答案：B

知識點：第2章》第6節(jié)》第六節(jié)二次型

參考解析：

由已知/（國,》）

2,h=-3君-3宕+2再匕+2XJX3+Sx2x3

‘211、

則其對應(yīng)的矩陣.4=1,34

J4-3,

2—2—1—1

由|花一.4卜-12+3-4=9+7乂2-3）=0,得A的特征值為3,-7,°

-1-42+3

10.【單項選擇題】

/1\/2\/2\/1\

已知向量6=2,02=1A=5,優(yōu)=0，若）既可由6.。2線性表示,

I9/111

H\11

也可由仇必線性表示，則）=（）

正確答案：D

知識點：第2章》第3節(jié)》第三節(jié)向量

參考解析：

設(shè)r+x2a2=.11區(qū)+乃百，則x1al+x2a2-y1/3l-y2^2=0

’12-2一訃fl003、

又回a-=21-50^010-1

、31-9-UI。o11>

故（王,、2，九必尸=c（TL-LT）ZeR

所以r=-c&+以4=c(-L—5,-8)T=—。(1，8尸=左QtB)3■，左c&

11.【填空題】

當(dāng)zt0時，函數(shù)/（i）=or+而2+ln（l+工）與g（1）=e,-cosr是等價無窮小,則ab

我的回答:

正確答案：

知識點：第1章》第1節(jié)》第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)

參考解析：

i2i

./(x)Q+&+in(l+x)ax+bx+x--x+o(x)

lim------=lim--------------------------=--------------------------------------------=1

'f'g(x)fe'-COSTl+x*+O(X2)-[l-yX2+O(;,r*)]

可得，a+l=0,b-0.5=1.5,a=-l,b=2,ab=-2

曲線y=f，寸存di的弧長為_____

12.【填空題】）-6

我的回答：

正確答案：

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

v'=V3-x2,由弧長公式可得

1=J：.Jl+y'dx=J：\l4-x2dx—，-%皿>4cos2tdt

4

=1+cos2tdt-、月+一萬

3

13.【填空題】

必

設(shè)函數(shù)rhz確定，則

z=z(x.y)e+xz=2x-y—￡

ox（1」）

我的回答：

正確答案：

知識點：第1章》第4節(jié)》第四節(jié)微分學(xué)多元函數(shù)

參考解析:

e0+z+x經(jīng)=2

兩邊同時對x求導(dǎo)：&&

,&&-d2zdzdzd2z

€~'-----F夕---H-------1----------FX-=

兩邊再同時對X求導(dǎo)：dxdxdx^dxdxdx^

孑二__3

將x=l,y=l帶入原方程可推出交一2

14.【填空題】

曲線3/=喊+2/在工=1對應(yīng)點處的法線斜率為一

我的回答：

正確答案：

知識點：第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

參考解析：

9x2=5y4-y'+6y2-y'

兩邊對x求導(dǎo)：

當(dāng)x=l時，帶入原方程可得y=l,

將x=l,y=l帶人可得.卜”11

11

所以曲線在x=l處的法線斜率為一§

15.【填空題】

設(shè)連續(xù)函數(shù)/（工）滿足：/（1+2）—/（工）=工,，2/（工）%=0,則

我的回答:

正確答案:

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

ff(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx

=J；+二f。+2)dx

=1/(x)去+￡"(x)+幻小

二(/(x)去+//(X)去+卜去

1

2

16.【填空題】

叫+方=1

a011a1

工1+5+方=0有解,其中a,b為常數(shù).若

方程組（1a1=4,則12a

11++?3=0

12aab0

叫+姐=2

我的回答:

正確答案:

知識點：第2章》第1節(jié)）第一節(jié)行列式

參考解析:

由已知

r(J)=r(J.Z>)<3<4

14bl=0

即

00111.1h01

|A,b|==—12(7+21a1=0

12ao…._

Me、abQ12a

ab02|r

1a1

L12o=8

咒+b0

17?【解答題】

2

設(shè)曲線L:y=y(X)(x>e)經(jīng)過點(e,0),L上任一點P(x,j/)到y(tǒng)軸的距離等于

該點處的切線在y軸上的截距.

⑴求貝丁)；

(2)在L上求一點,是該點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形的面積最小,并求此最小面積.

我的回答：

知識點：第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

參考解析：

(D曲線L在點P(x,y)處的切線方程為Y-y=y(X-x),令X=0,則切線在y軸上的截距為Y=y-x『,

則x=y-xy*,解得，y(x)=x(C-lnx),其中C為任意常數(shù).

又丫皆)=0,則C=2,故y(x)=x(2-lnx).

(II)設(shè)曲線L在點(x,x(2-lnx))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，此時切線方程為

r-x(2-hi.v)=(1—111K)(X-X)

故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為

1lxf

S(x)=—AT=—?-----x=------------

221nx-l2(bx-1)

3

x(2tax-3)S(x)=Ox=>

則”2(tax-l);，令，得駐點

3

S(M)=J

將駐點帶入，最小值即為所求

x2

求函數(shù)/(X,y)=比-〃+—的極值.

18?【解答題】2

我的回答：

知識點：第1章》第4節(jié)》第四節(jié)微分學(xué)多元函數(shù)

參考解析：

/=產(chǎn)』=0，得駐點為：（一-1,而），其中k為奇數(shù)；（一巴丘），其中k為

/=xe0,(-siny)=O

偶

則

ew(-sin.v)

.60Vsin，+x/岡(-cosy)

帶入（一。:匕T）,其中k為奇數(shù)，得AC?<0,故（-€）⑺不是極值點；

帶入（一。,后T）,其中k為偶數(shù)，得AC?>。且A>0,故（一。未了）是極小值點,

/（-e,Kr）=-，為極小值

*

19?【解答題】

已知平面區(qū)域D={(x,y)|0(yW菽1薪2,121}.

（1）求D的面積;

（2）求。繞1軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

我的回答:

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

d.（；W丁=m（/+i）

（||）旋轉(zhuǎn)體體積

展『敵在"廣西皆公=］廣6一尋嚴(yán)丫="力

20?【解答題】

設(shè)平面有攀域D位于第一象隊由曲線人y2』=u+八卬=2與直線y=島,y=0用

成，計算口南二山也

我的回答：

知識點：第1章》第3節(jié)》第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

參考解析：

=陽外^4^---------J-------；—rdO=f1------------------；—hiJld6

Jo

，二一戶(3cos，。+sin'8)Jo(3cos'e+sin?

［了11^1

=—hi2P----------；---------；—d8=—In2「-------——dtan6

2J0(3+tan*&)cos"02(3+tan~8)

tan0jn

=12"anRA/1?

2百

21?【解答題】

設(shè)函數(shù)/(x)在[—a,@上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明：

(1)若/(0)=0,則存在fW(-。,。),使得/"(f)=i[/(0)+/(-?)];

(2)若/⑶在(一％。)內(nèi)取得極值.則存在"€(-a,o),使得|廣時|>-L|/(a)-/(-a)|.

我的回答：

知識點：第1章》第2節(jié)》第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

參考解析：

(l)/(i)-/(0)+/,(0)x+^2xJ=/,(0)i4.￡^i2，「介于。和X之間，

△a

則加卜了你+有乙,，0<6<a

/(a)=/(0)o+^2o:，-a<小<0

兩式相加得：

又f"(x)在［qwJ上連續(xù)，利用介值定理得：存在r風(fēng)力Ju(-aa),有

=r(n,帶入得O<1/(。)+/(-喇

1Q

(II)

證明：設(shè)f(x)在xo€(dQ)取極值，目f(x)在x=Xo可導(dǎo)，則f[Xo)=0,又

/(x)=/(r.)*r(x,Xx-x.)*4P(x-x.)；,丫介于。與X之間，

￡

則，JQ<Y1<O

￡.

，

o<y2<a

從而Ra)-/(Y)H；(aTj/U)Y(a+xJ/