畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影

畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影2024/3/11畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影平面直線點(diǎn)點(diǎn)、直線和平面稱為構(gòu)成立體的幾何元素§2-1點(diǎn)的投影一、點(diǎn)在三投影面體系中的投影二、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)三、兩點(diǎn)間的相對位置、重影點(diǎn)下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影VHWOXZYHYWVHWOXYZ§2－1點(diǎn)的投影一、點(diǎn)在三投影面體系中的投影Aayaxazaa

a

a

正面投影a

側(cè)面投影a水平投影1.點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸（aa

OX）；2.點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（a

a

OZ）；3.點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離（aax=aaz）。axaz下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影例：已知點(diǎn)的正面投影a

和水平投影a，求其側(cè)面投影a

a

aa

XZOYWYHaxa

a

OX;a

a

OZ;aax=a

az下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影二、點(diǎn)的投影和坐標(biāo)VHWOXZYHYWa

aa

axaz1.點(diǎn)的坐標(biāo)XAyAyAVHWOXYZAaa

a

axayazxAyAzAZAXA(Oax)＝Aa

——點(diǎn)到W投影面的距離；YA(Oay)＝Aa——點(diǎn)到V投影面的距離；ZA(Oaz)＝Aa——點(diǎn)到H投影面的距離；點(diǎn)到投影面的距離2.點(diǎn)的投影XA，ZA()XA，yA()yA，ZA()每個投影反映點(diǎn)的兩個坐標(biāo)；每個坐標(biāo)在兩個投影中得到反映。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影cc

VHWOXYZabax§2－1點(diǎn)的投影例：已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求投影。A(15,8,10),B(15,8,0),C(15,0,0)aXZOYWYHa

A15810158a

10a

a

Bb

b

bb

axb

Ccc

c

c

投影面上點(diǎn)，其該面投影與點(diǎn)本身重合，另兩投影在相應(yīng)的投影軸上；投影軸上點(diǎn)，有兩個投影與點(diǎn)本身重合，另一投影與原點(diǎn)重合。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影三、兩點(diǎn)間的相對位置VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右兩點(diǎn)間的相對位置可用它們同方向的坐標(biāo)差來判斷兩點(diǎn)中X坐標(biāo)大的點(diǎn)——在左方兩點(diǎn)中Y坐標(biāo)大的點(diǎn)——在前方兩點(diǎn)中Z坐標(biāo)大的點(diǎn)——在上方下頁章目錄上頁結(jié)束VHWXZYHYWaa

a

畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影XA>XBYA>YBZA>ZB

A在B的左方XA-XB處

A在B的前方Y(jié)A-YB處

A在B的上方ZA-ZB處

點(diǎn)A在點(diǎn)B的左、前、上方下頁章目錄上頁結(jié)束VHWOXYZAaa

a

axayazVHWXZYHYWaa

a

Bb

bb

Ob

bb

上下后前后前后前左右畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影VHWOXYZAaa

a

Bbb

b

§2－1點(diǎn)的投影（

）VHWOXYZAaa

a

C（c

）cc

重影點(diǎn)及可見性當(dāng)空間兩點(diǎn)位在某一投影面的同一條投射線上時，它們的該面投影重合,這時，空間兩點(diǎn)稱為對該投影面的重影點(diǎn)。對H面的重影點(diǎn)對V面的重影點(diǎn)下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－1點(diǎn)的投影例：已知B點(diǎn)的三投影，A點(diǎn)在B點(diǎn)之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A點(diǎn)的投影。bb

XZOYWYHb

aa

5a

89下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影§2-2直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性三、一般位置直線的實(shí)長及其對投影面的傾角四、直線上的點(diǎn)的投影五、兩直線的相對位置六、直角投影定理下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影

§2－2直線的投影一、直線的投影

ABaa

a

bb

b

XZOYWYHbb

b

aa

a

直線上兩點(diǎn)同面投影的連線可確定直線的投影直線對投影面的傾角下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影二、各種位置直線的投影特性VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ投影面平行線：平行于一個、傾斜于另兩個投影面的直線

V面—正平線

H面—水平線

W面—側(cè)平線投影面垂直線：垂直于一個、同時平行于另兩個投影面的直線

V面—正垂線

H面—鉛垂線

W面—側(cè)垂線投影面傾斜線：對三個投影面都傾斜的直線特殊位置直線一般位置直線下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影1.投影面平行線（1）正平線XZOYWYHaba

b

a

b

投影特性：a

b=AB;ab

OX、a

b

OZ;反映、角的真實(shí)角度。VHWOXYZABaa

a

bb

b

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影（2）水平線（3）側(cè)平線cd=CD;c

d

OX、c

d

OYW;反映、角的真實(shí)角度e

f

=EF;e

fOZ、efOYH;反映、角的真實(shí)角度XZOYWYHVHWOXYZEFff

f

ee

e

ef

f

fe

e

VHWOXYZCDcc

c

dd

d

XZOYWYH

cc

c

dd

d

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影1)在與其平行的投影面上的投影顯實(shí)長，且與兩投影軸的夾角反映直線對另兩投影面的真實(shí)傾角；2)另兩個投影長度縮短，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。例：過點(diǎn)A作正平線AB，長為20mm,α＝30°。aa

XO30°20mmbb

投影面平行線的投影特性VHWOXYZABaa

a

bb

b

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影2.投影面垂直線（1）正垂線ZXOYWYHbaa

(b)b

a

投影特性：a(b)積聚為一點(diǎn);ab

OX、a

b

OZ。ab＝a

b＝AB;VHWOXYZABba

b

a(b)a

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影（2）鉛垂線（3）側(cè)垂線c(d)積聚為一點(diǎn);c

d

OX、c

d

OYW;e(f)積聚為一點(diǎn);e

f

OZ、ef

OYH;VHWOXYZCDcc

c

（d）d

d

XZOYWYHcc

c

(d)d

d

c

d＝c

d＝CD;VHWOXYZXZOYWYHEFff

(f)ee

e

ef

(f)fe

e

e

f＝ef＝EF;下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影VHWOXYZABba

b

a(b

)a

投影面垂直線的投影特性1)在與其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；2)另兩個投影顯實(shí)長，且分別垂直于相應(yīng)的投影軸。VHWOXYZXZOYWYHVHWOXYZXZOYWYH投影面上的直線的投影下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影3.投影面傾斜線ABaa

a

bb

b

b

bXZOYWYHb

aa

a

投影特性：1)直線的三個投影均為傾斜于投影軸的直線;2)投影中不能反映直線段的實(shí)長和傾角。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影例：判斷各直線對投影面的相對位置（b）bb

XZOYWYHc

aa

a

cdc

d

d

AB為____線BC為____線CD為____線§2－2直線的投影側(cè)垂線傾斜線水平線下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影VHOXABaa

bb

§2－2直線的投影三、一般位置直線段的實(shí)長及其對投影面的傾角1.求線段的實(shí)長及對水平面的傾角

ZAB

B0

ZAB

AB

abAB

bb

XOaa

ZAB

直角三角形法下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影2.求線段的實(shí)長及對正平面的傾角

VHOXABab

a

b

yAB

yAB

AB

AB

bb

XOaa

yAB

A0a

b

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影3.求線段的實(shí)長及對側(cè)平面的傾角

bb

XZOYWYHb

aa

a

XAB

XAB

AB

ABaa

a

bb

b

XAB

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影直角三角形法小結(jié)ABaa

a

bb

b

記憶立體圖實(shí)長傾角投影長坐標(biāo)差實(shí)長投影長坐標(biāo)差傾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB四個量中，已知兩個量可求出另外兩個量下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影例：已知直線AB的正面投影a

b

及點(diǎn)B的水平投影b,

=30°,求ab。實(shí)長投影長坐標(biāo)差傾角ab

ZAB

ABa'b'

YAB

ABa"b"

XAB

AB§2－2直線的投影Xa'b'b30°ababaa

ZAB下頁章目錄上頁結(jié)束O畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影ABaa

a

bb

b

§2－2直線的投影四、直線上點(diǎn)的投影Za

bb

XOYWYHb

a

ac

c

cC1、點(diǎn)在線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上；2、點(diǎn)分線段成定比，其空間比等于投影比。

AC：CB=ac：cb=a

c

：c

b

=a

c

：c

b

c

c

c下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影c

AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=2:1

§2－2直線的投影例1已知線段AB的投影圖，試將AB分成AC:CB=2:1兩段，求分點(diǎn)C的投影。OXbb

aa

c0b0c

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影下頁章目錄上頁結(jié)束例2已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。bcc

ca定比作圖方法b

a

abcXOb

c

bcaa

VHXBACO畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影下頁章目錄上頁結(jié)束a

b

例2已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。OZYHYWc

a

b

c

bcaa

VHXBACOb

a

abcXO畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影c0c

§2－2直線的投影例3.在直線AB上取一點(diǎn)C,使AC=L，求點(diǎn)C的兩投影。a

b

abL

ZAB

ZABcb0ABVHOXABaa

bb

CLc

cLXO下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影VHOXAaa

CcLc

§2－2直線的投影例3.在過點(diǎn)A且已知方向的直線上取一點(diǎn)C,使AC=L，求點(diǎn)C的兩投影。c'a'adL

ZAD

ZADcd0c0ADLDdd

d'XO下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影五、兩直線的相對位置1.平行兩直線aa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

（1）若空間兩直線平行，則他們各同面投影仍然平行。（2）兩直線段空間長度比等于他們各同面投影的長度比。下頁章目錄上頁結(jié)束VHOXADaa

CBb

c

d

bcd畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影aa

XZOYWYHb

c

d

bcd§2－2直線的投影a

b

c

d

若兩直線的各同面投影互相平行，則兩直線空間平行；當(dāng)為一般位置直線時，若有兩個同面投影互相平行，則兩直線空間平行。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影2.相交兩直線VHXADaa

CBb

c

d

bcdOKk

kaa

XZOYWYHb

c

d

bcda

b

c

d

k

kk

若空間兩直線相交，則他們各同面投影也相交，且三個交點(diǎn)符合一點(diǎn)的投影規(guī)律。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影若兩直線的各同面投影都相交，且交點(diǎn)符合一點(diǎn)的投影規(guī)律，則空間兩直線相交；當(dāng)兩直線均為一般位置直線時，若有兩個同面投影滿足上述條件，則空間兩直線相交。aa

XZOYWYHb

c

d

bcdc

d

a

b

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影3.交叉兩直線bb

XOaa

c

d

cd121

(2)既不平行又不相交的兩直線VHXADaa

CBb

c

d

bcdO121

(2)ⅠⅡ下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影3412（）bb

XOaa

c

d

cd（）§2－2直線的投影21判斷兩直線上重影點(diǎn)投影的可見性Ⅰ∈ABⅡ∈CDⅢ∈ABⅣ∈CD判斷重影點(diǎn)重合投影的可見性時，要在其他投影中比較它們坐標(biāo)的大小。4

3

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影六、直角投影定理空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。若兩直線的某面投影互相垂直，且其中一條平行于該投影面，則兩直線空間互相垂直。AaCBbcHbb

XOaa

c

c下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－2直線的投影d

例1已知長方形ABCD中邊BC的兩投影和邊AB的正面投影（a'b'//OX)，求作長方形的兩投影。bb

XOa

c

cadABCD有ab

bc分析：

空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。因?yàn)锳B

BC,且AB

H根據(jù)直角投影定理下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影（e）§2－2直線的投影空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。fe

f

分析：ABCDEFabecdfH因?yàn)锳B

H,EF

AB,所以EF//H；又因?yàn)镋F

CD,EF//H所以ef

cd。例2求直線AB和CD間的最短距離。Xcd（b）b

aa

c

d

o因?yàn)镋F//H,所以e'f'//OX；EF

AB,EF

CD下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影f0§2－2直線的投影e

ef

f

ZFE

ZFELc0cc

dd

ABCDEL

L

例3已知菱形ABCD的對角線AB的兩投影，另一對角線CD長為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。Xa

ab

bLo分析：因?yàn)锳B

CD,且AB//H所以ab

cd；于是CD成為過E點(diǎn)且已知方向的直線；在CD線上取點(diǎn)C和D,使EC=ED=L,求投影c、d下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影§2-3平面的投影一、平面的投影二、各種位置平面的投影特性三、平面上的點(diǎn)和直線下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影一、平面的投影1.用幾何元素表示平面各種形式可以互相轉(zhuǎn)換bb

aa

c

cXObb

aa

c

cXOa

bb

ac

cXObb

aa

c

cXOd

dbb

aa

c

cXO不共線三點(diǎn)直線和線外一點(diǎn)兩相交直線平面圖形兩平行直線下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影2.用跡線表示平面VHWOXYZPPVPHPW

XZOYWYHPVPHPW跡線——平面與投影面的交線正面跡線水平跡線側(cè)面跡線平面對投影面的傾角、、下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影二、各種位置平面的投影特性投影面垂直面：垂直于一個、傾斜于另兩個投影面的平面

V面—正平面

H面—水平面

W面—側(cè)平面投影面平行面：平行于一個、同時垂直于另兩個投影面的平面

V面—正垂面

H面—鉛垂面

W面—側(cè)垂面投影面傾斜面：對三個投影面都傾斜的平面特殊位置平面一般位置平面VHWOXYZVHWOXYZVHWOXYZ下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影VHWOXYZaa

(b)bcda

b

c

d

ADCBd

(c)P§2－3平面的投影1.投影面垂直面（1）正垂面PVXZOYWYHa

b

c

d

a

(b)d

(c)abdc

投影特性：abcd積聚為直線;abcd和abcd為面積縮小的類似形。反映

、

角的真實(shí)角度；

PV下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影VHWOXYZGHhh

g

e(g)EFh

f

(f)f

e

e

Q(g)f

(f)f

e

e

heh

g

h

g

XZOYWYH（2）鉛垂面（3）側(cè)垂面反映、角的真實(shí)角度;VHWOXYZi

i

l

j

i

XZOYWYHLKIJj

jk(l)(k)R

RW

(l)i

(k)j

i

l

j

K

ijklRWefgh--直線;efgh和efgh--類似形。反映、角的真實(shí)角度;ijkl--直線;ijkl和ijkl--類似形。QHQH下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影投影面垂直面的投影特性1)在與其垂直的投影面上的投影積聚為直線，其與相鄰?fù)队拜S的夾角反映平面對另兩投影面的真實(shí)傾角；2)另兩投影為面積縮小的類似形。下頁章目錄上頁結(jié)束VHWOXYZaa

(b)bcdb

c

d

ADCBd

(c)

Pa

畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影a(d)(c)b

a(b)d(c)PWPH§2－3平面的投影2.投影面平行面（1）正平面XZOYWYHVHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

PHPWa

b

d

c

投影特性：abcd顯示平面的實(shí)形;abcd和abcd積聚為直線；abcd∥OX軸、abcd∥OZ軸。下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影（2）水平面（3）側(cè)平面efgh--實(shí)形;efgh和efgh--直線，分別平行于OX、OYW軸ijkl--實(shí)形;ijkl和ijkl--直線，分別平行于OZ、OYH軸VHWOXYZXZOYWYHGHEFff

f

(e)QV(g)g

(h)egh(h)e

Qefghf

(e)g

(h)e

(h)f

(g)QVVHWOXYZi

(i)l

j

XZOYWYHLKIJi(j)l

k

RHR(j)k

(k)li

j

k

l

(i)l

(j)k

i(j)(k)lRH下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影VHWOXYZa

b

a(b)a(d)ADCBd

Pd(c)(c)b

投影面平行面的投影特性1)在與其平行的投影面上的投影反映平面的實(shí)形；2)另兩個投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。3.投影面傾斜面1)三個投影均為面積縮小的類似形；2)投影不反映平面的真實(shí)形狀和傾角。VHWOXYZa

b

aACBc

bca

c

b

下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影ABC為_______面SAC為_______面SAB為_______面SBC為_______面§2－3平面的投影例1判斷三棱錐各表面的位置水平面?zhèn)却姑鎯A斜面傾斜面下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影§2－3平面的投影例2過點(diǎn)A作鉛垂面，使

＝30°例3過直線AB作正垂面b

c

aa

XObc30°XOa

b

abc

c還能作哪些位置的平面？下頁章目錄上頁結(jié)束畫法幾何及機(jī)械制圖點(diǎn)直線和平面的投影f

fee

XOa

b

abc

cP1.直線通過平面上兩個點(diǎn)；§2－3平面的投影三