高職單招數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)必考

數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)

1.三角函數(shù)應(yīng)用

1.兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA+tanBztanA-tanB

tan(A+B)=----------------tan(A-B)=----------------

1-tanAtanB1+tanAtanB

:AcotAcotB-1JAacotAcotB+l

cot(A+B)=---------------cot(A-B)=----------------

cotB+cotAcotB-cotA

2?倍角公式

tan2A=2tan?Sin2A=2SinA*CosACos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-l=l-2sin2A

l-tan2A

3.三倍角公式

sin3A=3sinA-4(sinA)3cos3A=4(cosA)3-3cosA

_,71..71.

tan3a=tana,tan(y+a)?tan(y-a)

3.半角公式

..A.ll-cosA,A、11+cosA1-cosA

tan(y)=

1+cosA

,A、1+cosA,A、1-cosAsinA

COt(—)=tan(—)=-----------=------------

1-cosA2sinA1+cosA

4.和差化積

.....a+ba-b...ca+b.a-b

sina+smb=2sm------cos-------sina-sinb=2cos------sin-------

2222

,-a+ba-b,_.a-\-b.a-b

cosa+cosb=2cos------cos-------cosa-cosb=-2sm------sin-------

2222

5.積化和差

sinasinb=[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=—[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=—[sin(a+b)-sin(a-b)]

6.誘導(dǎo)公式

sin(-a)="sinacos(-a)=cosasin(——a)=cosacos(——a)=

22

sinasin(y+a)=cosacos(y+a)=-sinasin(n-a)=sina

cos(n-a)=-cosasin(n+a)=-sinacos(n+a)=-cosa

八sina

tanA=------

cos。

7.萬能公式

ca

2tan1-(tan)~2tan

.229

sina=--------------cosa=--------------tana=--------------

l+(tan^)2l+(tan|)2l-(tan^)2

8.旋轉(zhuǎn)

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin(2kn+a)=sinacos(2kn+a)=cosa

tan(2kn+a)=tanacot(2kn+a)=cota

設(shè)a為任意角，n+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(n+a)="sinacos(n+a)=-cosa

tan(n+a)=tanacot(n+a)=cota

任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa

tan(-a)=-tanacot(-a)=-cota

利用公式二和公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(n-a)=sinacos(n-a)=-cosa

tan(n-a)="tanacot(n-a)=-cota

利用公式-和公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(2n-a)=-sinacos(2n-a)=cosa

tan(2n-a)=-tanacot(2n-a)=-cota

牙及多a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

z兀、

sin(一+a)=cosaCOS1(一+a)="sinasin(--a)=cosa

222

(冗、.3兀、(3%

cos(--a)=sinasin(—+a)=-cosacos\—+a)=sina

222

/3萬、3TC、

sin(-----a)=-cosacos(-----a)=-sina(以上k￡Z)

22

這個(gè)物理常用公式我費(fèi)了半天的勁才輸進(jìn)來，希望對(duì)大家有用

A?sin(u)t+0)+B*sin(u)t+4))=JA?++2ABeos(6.0)X

以+arcsin[(Asin6+Bsin°)

JJ2+8、+228co?0)

2.數(shù)列的應(yīng)用

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義an+l-a=d

n=q(q0o)

an

遞推公an=??-1+d；an=+md

a〃=4i夕；a=aq

式nin

通項(xiàng)公a-a+(72-1)J

n}a=aqn~K(為，qw0)

式nx

中項(xiàng)

G=+yla_a{a_a>0)

2nkn+knkn+k

(n,kwN*)(n,kwN*、n>k>0)

前〃項(xiàng)Cn,X

s〃=-(?]+t〃〃)叫(4=1)

和

S，，=心2)

n(n-V)

S"="4+2d\-q"q

重要性

質(zhì)

a,n+an=ap+aq(m,n,p,qwN",am-an=a〃p,qwN*,m+n=p+q)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義{冊(cè)}為(常數(shù))

A?P=an+l-an=d｛冊(cè)｝為6?P0以巴=式常數(shù)）

%

通項(xiàng)公

Q〃=。]+(n-l)d=〃4+(n-k)d=d〃+〃]?dci〃=%q〃7=七4〃,

式

求和公

s==na+a〃q(q=1)

式n2]12

/+⑷一凱Sn=，卬(1-/)=%-。,國中]

\-q\-q

中項(xiàng)公,a+h出+、

A-之推J,2a〃一a,ln+a〃+,nG?=M。推廣：a；=an_mxan+m

式

性1

質(zhì)若m+n=p+q則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則amaH=apaq。

2

若伙"成A.P（其中3eN）則｛4｝若伏“｝成等比數(shù)列（其中匕,eN）,

也為A.P。

貝U｛4“｝成等比數(shù)列。

3

?成等差數(shù)列。SQ2n一％,$3"-$2”成等比數(shù)列。

4

a—a,a—aq"T=",=&

d=----L=-----(mwn)

n-1m-n?!a,"

(mwn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以卜三種方法:

①an-an_｛=d（n>2,d為常數(shù)）

②2為=冊(cè)+|+a?_t（n>2）

③a”=kn+b（〃,人為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以卜四種方法：

①an=a,1q（"22,4為常數(shù)，且工0）

②端=%+1S-i（“22，”,口“+]%_]

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即匕=>a、b、c等比數(shù)歹!J.

ii.b=Jac（ac>0）一為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.b=且ac”0—為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③冊(cè)=cq"（c,夕為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛a,J成等比的充要條件是數(shù)列｛log、.〃“｝（x”l）成等比數(shù)列.

="I（"=D

⑷數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和5“與通項(xiàng)冊(cè)的關(guān)系：an=\<

"""[sn-sn_｝（n>2）

［注］:?a,=a,+(n-\)d=nd+(a,-d)(d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)

列也是等差數(shù)列)一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).

②等差｛為｝前n項(xiàng)和=一?可以為零也可不為零一為等差的

充要條件一若”為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍

Sk>S2k-Sk，S3k-S2k…；

/、CC1S奇一an

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2""WN+,則3偶-3奇="4丁"一二一；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃-l(〃￡N+),則S2,I=(2〃-1)?.，且S奇-S偶=a“，a=」_

S偶

二代入〃到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+竺

2

②12+22+32+…“2="(〃+吸2"+1)

6

③尸+23+33…

_2_

［注］:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,...=>a?=10"-1；5,55,555,...=>a?=-(10"-1).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a,年增長率為r,則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+，.其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)"T,且過〃年后總產(chǎn)量為:

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+a(\+r)/,~|=―"+，)L

l-(l+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存。元，利息為r,每月利息按

復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過"個(gè)月后便成為a(l+r)"元.因此，第二年年初可存款：

6z(l+r)[l-(l+r)12]

a(l+r)12+o(l+r)"+a(l+r)10+...+a(l+r)=

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；r為年利率.

a(l+r)"'=x(l+r)“i+x(l+/"),n-2+…坤+r)+x=a(l+r)"'=十二)----=x="而里)—

r(l+r)m-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴。"+2=。。"+1+州”(P、q為二階常數(shù))f用特證根方法求解?

具體步驟：①寫出特征方程(/對(duì)應(yīng)a,.,x對(duì)應(yīng)并設(shè)二根4向②若

，

修工工2可設(shè)。兒=C]X；+C2K，若X]=12可設(shè)?！?（Ci+C2n）x[;③由初始值,々2確定。]，。2?

⑵許尸&〃_產(chǎn)〃（P、「為常數(shù)）一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n

轉(zhuǎn)化為。〃+2=尸4〃+1+夕”〃的形式，再用特征根方法求。〃；④冊(cè)=。1+。2。"“（公式法），C1,Q

由。[,。2確定.

r

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a〃+]+x=P（an+x）=>an+]=Pan+Px-x=>x=.

P—1

②選代法：a=Pa_+r=P（Pa_+r）+r=??-?=（?）+-r--?+x）Pn~｝-x

nnxn2i—1P—\

n2

=P"~'ax+P~T+--+Pr+r.

a+>

③用特征方程求解："'0""+'!相減，=>4“+|-?！?尸“”-7〃"_]=〃“+]=（尸+1）a,,-Pan_\.

an=Pan_[+r]

n

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：,==-，，2=。|+'一，a?=c2P-'+cl=（al+-!—）pi+J—.

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前”項(xiàng)和為S“，在4Y0時(shí)，有最大值.如何確定使S”取最大值時(shí)的“值，有

兩種方法：

一是求使±0,冊(cè)+1Y0,成立的"值：二是由5“=3/+（。1-3）〃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求”

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前〃項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,4的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：⑴定義法:對(duì)于n22的任意自然數(shù),

驗(yàn)證an-a?S-）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。⑶中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

%

26川=+??-2（?,ti=a“a“+2）n@N都成立。

a>0

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)Sn的最值問題：⑴當(dāng)%>0,d<0時(shí)，滿足<m的項(xiàng)數(shù)m

、明用W0

a<0

使得與取最大值.（2）當(dāng)/<0,d>0時(shí)，滿足t'〃n八的項(xiàng)數(shù)m使得外取最小值。在解含絕

口用N。

對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于，一^^其中｛明｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)

列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛4也,｝其中｛%｝是等差數(shù)列，也“｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

、〃(〃+1)、，、2

1):l+2+3+...+n=—-----2)l+3+5+...+(2n-l)=?-

「］~|2.

3)I3+234----+H3=—n(n+l)4)I2+22+32+---+n2=—n(n+l)(2rt+l)

n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+2

6)—=---(-----)(p<q)

pqq-ppq

3.集合的應(yīng)用

一、集合的有關(guān)概念

1.定.義：一般地，我們把研究對(duì)遂統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總便叫集合，也簡稱

集。

2.表示方宏：集合通常用大括號(hào)｛｝或大寫的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小寫的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相笠二構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。

4.元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于e”及“不屬于史兩種)

⑴若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A,記作@￡_白；

⑵若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A,記作2定A。

5.常用的數(shù)集及記法:

非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N；

正整數(shù)集，記作N*或N+；N內(nèi)排除0的集.

整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R；

6.關(guān)于集合的元素的特征

⑴確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了。

如：“地球上的四大洋”(太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋)?！爸袊糯拇?/p>

發(fā)明”

(造紙，印刷，火藥，指南針)可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較

大

的數(shù)”，“平面點(diǎn)P周圍的點(diǎn)”一般不構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定

的.

⑵互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。.

如:方程僅-2心-1產(chǎn)=0的解集表示為{1,-2}，而不是{1,1,-2}

⑶無序性：即集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換。

7.元素與集合的關(guān)系：（元素與集合的關(guān)系有“屬于w”及“不屬于生”兩種）

⑴若a是集合A中的元素，則稱。屬于集合A,記作?！阓A；

（2）若a不是集合A的元素，則稱。不屬于集合A,記作

二、集合的表示方法

1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法

叫列舉法。如：{1,2,3,4,5},{x2,3x+2>5y3-x,x2+y2）,,??；

說明：⑴書寫時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開；

⑵一般不必考慮元素之間的順序；

⑶在表示數(shù)列之類的特殊集合時(shí)，通常仍按慣用的次序；

（4）集合中的元素可以為數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式等；

⑸列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法比較簡

單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，

也可以用列舉法表示。

⑹對(duì)于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方

能用省略號(hào)，象自然數(shù)集N用列舉法表示為{1,2,3,4,5,……}

2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,稱為描述法。。

方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{xw4|p（x）}

如:{x|x-3>2},{（x,y）|y=x2+l},{x|直角三角形}，…；

用符號(hào)描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：

1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形

式？

2、元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽

存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

三、集合的分類

［有限集:含有有限個(gè)元素的集合

集合的分類，無限集:含有無限個(gè)元素的集合

空集：不含有任何元素的集合0（々秋）-5々）

四、集合的基本關(guān)系

1?子集7對(duì)于兩個(gè)箕合A,B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩

個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）。

記作：A=8（或82A）讀作：A包含于B,或B包含A

當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作A《B（或B愛A）

用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系：表示:

2.集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B

中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若4aB且BaA,則A=

如:A={x|x=2m+1>meZ},B={x|x=2n-1,neZ},此時(shí)有A=R.

3.真子集定義：若集合Ac8,但存在元素xeB,且reA,"zf支”、真子集。

記作：A錄B（或總A）讀作：A真包含于B（或（，

4.空集定義：不含有任何元素的集合稱為空集。記作：。'、、一

5.幾個(gè)重要的結(jié)論：

⑴空集是任何集合的子集；對(duì)于任意一個(gè)集合A都有。GA,

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一個(gè)集合是它本身的子集；

⑷對(duì)于集合A,B,C,如果且5=那么AqC。

五、集合間的基本運(yùn)算；

1.并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與集合B

的并集，即A與B的所有部分，

記作AUB,讀作：A并B即AUB={x|xGA或xCB}。

Venn圖表示:

2.

3.交集定義：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B

的交集（intersectionset）,

記作：AAB讀作：A交B即：ACB={x|xdA,且xdB}

Venn圖表示：（陰影部分即為A與B的交集）

常見的五種交集的情況:

4.全集的定義：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么

就稱這個(gè)集合為全集，記作U,是相對(duì)于所研究問題而言的一個(gè)相對(duì)概念。

5.補(bǔ)集的定義：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集

合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，

記作：CfjA,讀作：A在U中的補(bǔ)集，即=且％任4}

Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補(bǔ)集）

J

補(bǔ)充：集合中元素的個(gè)數(shù)

在研究集合時(shí)，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題。我們把含有有限個(gè)元素的集合A

叫做有限集，用card（A）表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。例如：集合A={a,b,c}中有三個(gè)元素，我

們記作card（A）=3.

結(jié)論:已知兩個(gè)有限集合A,B,有：card（AUB）=card（A）+card（B）-card（AnB）.

一個(gè)集合當(dāng)中有N個(gè)元素，那么該集合的子集有2N個(gè)真子集有2*1個(gè)非空真子集有2叫2

個(gè)

4.平面向量的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)歸納：

一.向量的基本概念與基本運(yùn)算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.

②零向量：長度為。的向量，記為。，其方向是任意的，0與任意向量平行

③單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量.

④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.

⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量，

2、向量加法：設(shè)A8=a,8C=b,則刁+A=A8+8C=AC

（1）6+a=?+6=a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時(shí)必須“首尾相連”.

3、向量的減法：①相反向量：與之長度相等、方向相反的向量，叫做）的相反向量

②向量減法：向量M加上B的相反向量叫做彳與B的差，③作圖法：可以表示為從B

的終點(diǎn)指向5的終點(diǎn)的向量（1、B有共同起點(diǎn)）

4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量）的積是一個(gè)向量，記作入5,它的長度與方向規(guī)定如

下：

（1）|羽=風(fēng)?同；（II）當(dāng)2>0時(shí)，入行的方向與5的方向相同；當(dāng)/1<0時(shí)，X

口的方向與萬的方向相反；當(dāng)；1=0時(shí)，布=0,方向是任意的

5、兩個(gè)向量共線定理：向量B與非零向量五共線。有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)4,使得行=花

6、平面向量的基本定理：如果R,a是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的

任一向量限有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,使：a=A,e,+A2e2,其中不共線的向量不，&叫做

表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

二.平面向量的坐標(biāo)表示

1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量?？杀硎境?=xi+切，記作a=(x,y)。

2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)若則a±b=(X1±X2，y士％)

(2)若4(*,/),8(々，%)，則48=(工2-X，%-y)

(3)若a=(x,y),則2a=(2x,2y)

(4)若。=(5,%),人=(工2，%)，則4〃〃0玉%_%2>1=0

(5)若。=(玉，乂)/=(尤2，%)，貝"a為=%?工2+%%

若aJ_/?,則X]?々+y?%=0

三.平面向量的數(shù)量積

1兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量a與方,它們的夾角為。，則Ia\-\bIcos。

叫做。與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定0?。=0

2向量的投影：18|cos0=—eR,稱為向量b在a方向上的投影，投影的絕對(duì)值稱為射

\a\

影.

3數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長度與。在a方向上的投影的乘積

4向量的模與平方的關(guān)系：。七=/=修『

5乘法公式成立：

[a+b^-[a-b^=a~-b~-\l^；

(a±Z?)=a2+2a-b+b~-p|'±2a-/?+|/?|

6、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①交換律成立：ab=ba

②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：(2。)為=為)=a?(勸)(/1eR)

③分配律成立：｛a±b^-c=a-c±b-c=c-[a±b^

特別注意：(1)結(jié)合律不成立：a-(b-c)^(a-b)-c；

(2)消去律不成立a/=a-c不能得到b=c-

(3)a-b=O不能得至Ua=O或b=0

7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：

J

已知兩個(gè)向量a=(X],y),〃=(9,必)，則。,匕=^x2ryyy2.

8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量。與8,作。4=a,。8=/?,則/AOB=6

(0°<^<180°)叫做向量a與。的夾角

cos^cos<辦>=斗=)+,

MI-H五E7?五二

當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量。與b同方向時(shí)，6=0°,當(dāng)且僅當(dāng)。與b反方向時(shí)9=180。，同時(shí)0

與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題

9垂直：如果。與b的夾角為90°則稱@與b垂直，記作

10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：

a.Lb<=>a,b—0<^>xtx2+yxy2=0.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

5.圓錐曲線的應(yīng)用

圓錐曲線的方程與性質(zhì)

1.橢圓

(1)橢圓概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡、%的距離的和等于常數(shù)2a(大于WKI)的點(diǎn)的軌跡叫

做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。

若M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|吟|+1M用|=2ao

2222

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=+[=1(a>">0)(焦點(diǎn)在x軸上)或'+「=1

a~b~ab

Ca>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)。

注:①以上方程中的大小a>/?>0,其中〃=/一/；

2222

②在5+右=1和「+?=1兩個(gè)方程中都有a>b>0的條件，要分清焦點(diǎn)

a'b~a'b~

22

的位置，只要看d和V的分母的大小。例如橢圓工+工=1（加>0,〃>o,加彳〃）

mn

當(dāng)機(jī)>〃時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)機(jī)<〃時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。

（2）橢圓的性質(zhì)

X2J/

①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程/十記=1知|x|?a，及區(qū)8,說明橢圓位于直線x=±a,

y=±。所圍成的矩形里；

②對(duì)稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x,y）在曲線

上時(shí)，點(diǎn)（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以r代替x方程不

變，則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。若同時(shí)以r代替x,-y代替y方程也不變，則曲線

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原

點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；

③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0,得丁=±。，則鳥（0,-與，6（。，份是橢圓

與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y=0得x=±a,即4（-。，。），43。）是橢圓與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)。

所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。

同時(shí)，線段入港2、B田?分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和

2b,a和〃分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為。；在心AO與B中,

2222

\OB2\=b,\OF2\=C,\B2F2\=a,R\OF2^B2F2|-|OB2|,BPc=cr-b；

④離心率：橢圓的焦距與長軸的比e=￡叫橢圓的離心率。???a>c>0,，

a

0<e<\,且e越接近1,c就越接近a,從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之,

e越接近于0,c就越接近于0,從而b越接近于“，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且

僅當(dāng)a=。時(shí)，c=0,兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為/+>2=/。

2.雙曲線

(1)雙曲線的概念

平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線

(||尸用一|尸鳥||=2a)。

注意：①式中是差的絕對(duì)值，在0<2。<|耳工|條件下；|尸6I—|尸工|=2。時(shí)為雙曲

線的一支；|尸居|一|尸耳|=24時(shí)為雙曲線的另一支(含耳的一支)；②當(dāng)2。=|片鳥|時(shí)，

||以"-|尸"||=2。表示兩條射線；③當(dāng)2a>|耳工|時(shí)，||「用-|「鳥||=2。不表示任何

圖形；④兩定點(diǎn)看，K叫做雙曲線的焦點(diǎn)，16Kl叫做焦距。

(2)雙曲線的性質(zhì)

①范圍:從標(biāo)準(zhǔn)方程j看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線

a

x=±a的外側(cè)。即Fw?。即雙曲線在兩條直線％=±。的外側(cè)。

22

②對(duì)稱性：雙曲線三-==1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙

ab

曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線「-二=1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中

ah

心。

22

③頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線鼻-2=1的方程里，

ab~

對(duì)稱軸是x,y軸，所以令y=0得x=±a,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

A（-?,O）A2（r/,O）,他們是雙曲線0-2r=1的頂點(diǎn).

ab

令x=0,沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。

1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂

點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。

2）實(shí)軸：線段AA2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛

軸：線段8當(dāng)叫做雙曲線的虛軸，它的長等于24b叫做雙曲線的虛半軸長。

④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為

*2V2

雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線與-二=1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接

ab~

近。

⑤等軸雙曲線：

1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線°定義式：a=b；

2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y=±x；（2）漸近線互相垂直。

注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為

等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。

3）注意到等軸雙曲線的特征a=b,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=2（2^0）,

當(dāng)之>0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)/1<0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。

2222

⑥注意工一匯=1與二—二=1的區(qū)別：三個(gè)量中a力不同（互換）c相同，

169916

還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。

3.拋物線

（1）拋物線的概念

平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線

/上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線。

方程V=2px（p>0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（K,0）,它的準(zhǔn)線方

2

程是x=—K；

2

（2）拋物線的性質(zhì)

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物

線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：產(chǎn)=一2px,》2=2py,/=一2〃），.這四種拋物線的

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:

丁=2pxy2=-2pxX2-2pyx2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

(〃>0)(P>0)%0)(p>0)

1-

4

J

JI'L

擊

圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)（與。）（/,。）（。苧o-9

--P

準(zhǔn)線方程Xx-2y=T

22-2

范圍x>0%<0y>0y<0

對(duì)稱性無軸x軸y軸y軸

頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

離心率e=le=le=le=l

說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物

線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱

中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)〃的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理

一、方程的曲線:

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)

二元方程f(x,y)=O的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線

叫做方程的曲線。

點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=O,則點(diǎn)Po(xo,yo)在曲線C上O「(xo,yo)=O；

點(diǎn)Po(xo,yo)不在曲線C上Of(xo,yo)WO。

兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線Ci,C2的方程分別為fi(x,y)=0,fz(x,y)=0,則點(diǎn)Po(xo,y(>)是。,Cz

的交點(diǎn)°方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方

力(％%)=。

程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn)。

橢圓雙曲線拋物線

1.到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離之

1.到兩定點(diǎn)R,Fz的距離之差的

和為定值2a（2a>|FFz|）的

絕對(duì)值為定值2a（0<2a〈|FE|）

點(diǎn)的軌跡與定點(diǎn)和直線的距離相等的

定義的點(diǎn)的軌跡

2.與定點(diǎn)和直線的距離之點(diǎn)的軌跡.

2.與定點(diǎn)和直線的距離之比為

比為定值e的點(diǎn)的軌跡.

定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>l）

（0<e<l）

點(diǎn)集：（｛MIIMF,+|MF1點(diǎn)集：｛M1MF,|-|MFI.點(diǎn)集｛M11MF1=點(diǎn)、M到直

軌跡條件22

=2a,IFE1<2a}.=±2a,1F2F21>2a}.線1的距離｝.

J

'1-

B,V

JZ7M

圖形L

一二