安徽省淮南市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

淮南市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷(選擇題)和第∏卷(非選擇題)兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

第I卷(選擇題共60分)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的

2

玨人A=(x∣log,x<l1B=(X∣X≥xlΛD-、

1.已知集合1IB2J,IlJ,rιι則A()

A.(0,2)B.(1,2)C.[1,2)D.[l,-κz))

R答案XC

K解析D

K樣解》解出集合A、B,利用交集的定義可求得集合AcB.

K詳析D因?yàn)锳={x∣log2X<l}=(θ,2),B=∣X∣X2>Λ∣=(-∞,0]O[1,+∞),

因此，4B=[l,2).

故選：C.

Zl

2.在復(fù)平面內(nèi)，Z],Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為(-1,2),(2,2),則」對應(yīng)的點(diǎn)為()

Z2

_1_3"

A.B.

4,4,

K答案，B

K解析』

R祥解Il根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，先得到z∣,Z2,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到一個結(jié)果后，再根據(jù)復(fù)數(shù)的

幾何意義確定所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

Z-l+2i(-l+2i)(l-i)l+3i

1L

R詳析》根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，于是一=W一?=,“.、八.、=^^，對

zl=-l+2ι,Z,=2+21,

z22(1+1)2(1+1)(1-1)4

?』、

應(yīng)的點(diǎn)為:

,

44y

故選：B

3.為迎接北京2022年冬奧會，小王選擇以跑步的方式響應(yīng)社區(qū)開展的“喜迎冬奧愛上運(yùn)動”(如圖)健身

活動.依據(jù)小王2021年1月至2021年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線

圖（如圖），根據(jù)該折線圖,

喜迎冬奧愛上運(yùn)動

0喻，

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程的極差小于15

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程的方差相對于6月至11月的月跑步里程的方差更大

K答案》c

K解析H

K祥解》根據(jù)折線分布圖中數(shù)據(jù)的變化趨勢可判斷A選項；利用極差的定義可判斷B選項：利用中位數(shù)的

定義可判斷C選項；利用數(shù)據(jù)的波動幅度可判斷D選項.

K詳析D對于A選項，1月至2月、6月至8月、10月至11月月跑步里程逐月減少，A錯；

對于B選項，月跑步里程的極差約為25-5=2（）>15,B錯；

對于C選項，月跑步里程由小到大對應(yīng)的月份分別為：2月、8月、3月、4月、

1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，

所以，月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)，C對；

對于D選項，1月至5月的月跑步里程的波動幅度比6月至11月的月跑步里程的波動幅度小,

故1月至5月的月跑步里程的方差相對于6月至11月的月跑步里程的方差更小，D錯.

故選：C.

4.斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化

學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列｛q｝可以用如下方法定義：an+2=an+i+all,且q=%=1，

若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列｛包｝,則數(shù)列｛2｝的前2023項的和為（）

A.2023B.2024C.2696D.2697

K答案》D

R解析』

K祥解力根據(jù)數(shù)列各項的規(guī)律可知｛d｝是以6為周期的周期數(shù)列，利用周期性求解即可，

K詳析H因?yàn)?+2=??+1+6,,且4=%=1，

所以數(shù)列｛4｝為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,,

此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列也｝為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,...,是以6為周期的周期數(shù)歹U,

2f)22

所以數(shù)列｛2｝的前2023項的和S2023=——(1+1+2+3+1+0)+/337*6=2697,

6

故選：D

5.在-ABC中，A3=4,AC=6,點(diǎn)O,E分別在線段AB，AC上，且。為AB中點(diǎn)，AE=-EC,若

2

AP=AD+AE＞則直線AP經(jīng)過一ABC的()?

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

K答案HA

K解析H

K樣解》根據(jù)題意，可得四邊形AQPE為菱形，即可得到AP平分/84C,從而得到結(jié)果.

因?yàn)棣獴=4,AC=6,且。為AB中點(diǎn)，AE=-EC,

2

則,q=k4=2,

又因?yàn)锳P=Ao+AE，則可得四邊形AQpE為菱形，

即AP為菱形ADPE的對角線，

所以ΛP平分/B4C,即直線”經(jīng)過.ABC的內(nèi)心

故選:A

6.近年來，準(zhǔn)南市全力推進(jìn)全國文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好宜居環(huán)境，城市公園越來越多，某周末，

甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇共

中一個景點(diǎn)游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則

P(NIM)=()

736

B.-C.一D.

877

R答案』D

K解析D

73

K祥解Il根據(jù)對立事件可求出P(M)=彳，然后求得P(MN)=根據(jù)條件概率公式，即可求出E答案兒

168

K詳析H由已知可得，甲乙兩人隨機(jī)選擇景點(diǎn)，所有的情況為4x4=16種，甲乙兩人都不選擇八公山森

9

林公園的情況為3x3=9種，所有甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的概率為p∣=〈，所以

16

o7

P(M)=I--=-.

v,1616

事件MN：甲選擇八公山森林公園，乙選擇其他，有3種可能；或乙選擇八公山森林公園，甲選擇其他，

有3種可能.甲乙兩人隨機(jī)選擇有所以事件MN發(fā)生的概率為P(MN)=?=I

3

/.、P(MN)o6

根據(jù)條件概率公式可得，P(NlM)=)(”/=伴=亍.

16

故選：D.

7.已知拋物線0:/=4》的焦點(diǎn)為尸，過產(chǎn)的直線交。于點(diǎn)A,8,點(diǎn)M在。的準(zhǔn)線上，若ZXAfM為等

邊三角形，貝IJlABl=()

1616∕3

A.—B.6C.以λ上D.16

33

K答案DA

K解析D

R祥解U利用拋物線的定義結(jié)合AAfM為等邊三角形可知AM垂直于準(zhǔn)線，利用拋物線方程可解出A點(diǎn)

坐標(biāo)進(jìn)而得到直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.

K詳析H因?yàn)闉榈冗吶切?，所以IAFl=IAMI,

又因?yàn)辄c(diǎn)”在C的準(zhǔn)線上，由拋物線的定義可知AM垂直于準(zhǔn)線,

由V=4x可知F(1,O),D(-l,0),設(shè)A(XA,%),WXB,%),

因?yàn)镹FMD=￥，|。盟=2,所以Fl=IAMl=4,

6

所以XA=4-彳=3,代入拋物線方程得A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2百)，

所以直線AB方程為丁二2省=g,整理得y=瓜—百,

0-2√31-3

y=也X-?/?

由V一得3f—iθχ+3=O,

y=4X

?6

所以∣A3∣=XA+XB+P=W'

故選：A

8.若7"=5，8"=6，/=2+e2，則實(shí)數(shù)小h'C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>oaD.b>a>c

K答案XB

K解析X

2

祥解根據(jù)指數(shù)與對數(shù)式的互化以及換底公式，可得=曳，Ine

KDαZ?=—”而可.作出函數(shù)

In7In8

InX

/(x)=lnx,g(x)=ln(x+2)的圖象，觀察可得當(dāng)%>1時，所以隨著X的增大，比值In(K+2)越來越

大.令E(X)=I可得尸(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)自變量的大小關(guān)系，即可得出K答案必

K詳析U由已知可得，a-Iog5=，b-Iog6=，

7In78In8

22/?\2Ine2

lne+2

由胸=2+e2可得，7=()'所以'=lψ包=麗

設(shè)〃上產(chǎn)*,m,則小)=”坐苧三”,m,

In(X+2)'7X(X+2)In-(X+2)

因?yàn)閤>l,故x+2>x>l,ln(x+2)>lnx>0,

所以(X+2)In(X+2)—xlnx>()即/,χ)>0,

所以/(x)在(l,+∞)上為增函數(shù)，

又α=∕(5),b=f(6),c=∕(e2),又e2>6>5,所以c>6>α.

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

4

9.已知函數(shù)/(x)=x+-+2,則()

X

A./(χ)的值域?yàn)椋?,+8)

B.直線3x+y+6=0是曲線y=∕(x)的一條切線

C./(x-I)圖象的對稱中心為(一1,2)

D.方程尸(為_5/1)-14=0有三個實(shí)數(shù)根

K答案HBD

K解析』

R祥解HA.分x>O,x<O兩種情況求函數(shù)的值域；B.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，判斷選項；C.利用平移判斷

函數(shù)的對稱中心；D.首先求/(x)的值，再求解方程的實(shí)數(shù)根.

4

K詳析UA.x>O時，/(x)=X-i----1-2>4+2=6,當(dāng)X=2時等號成立，

%

4

當(dāng)x<0時，/(X)=尤+—+2≤-4+2=—2,當(dāng)％=—2時等號成立，故A錯誤；

X

B.令/'(x)=l3,得x=±l,/(1)=7,所以圖象在點(diǎn)(1,7)處的切線方程是>-7=-3(%一1),

得3x+y-10=0,/(-1)=-3,所以圖象在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程是y+3=-3(x+l),得

3x+y+6=0,故B正確；

C.y=Λ+∣的對稱中心是(0,0),所以/(Λ)=x+g+2的對稱中心是(0,2),向右平移1個單位得了(*—1),

對稱中心是(1,2),故C錯誤；

D.∕2(x)-5∕(x)-14=0,解得：〃x)=—2或/(x)=7,

4,4

當(dāng)X+—+2=—2,得(x+2)-=0,x=—2,1個實(shí)根，當(dāng)x+-+2=7時，得X=I或x=4,2個實(shí)根，

XX

所以共3個實(shí)根，故D正確.

故選：BD

10.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面P48為等邊三角形，AB^3,AD=4,PC=5,則

()

A.平面RW，平面ABCD

3

B.直線AB與PC所成的角的余弦值為二

10

C.直線PC與平面ABCf)所成的角的正弦值為立

5

D.該四棱錐外接球的表面積為28兀

R答案UABD

K解析D

K樣解》根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、線面角定義、異面直

線所成角的定義、球的幾何性質(zhì)逐一判斷即可.

K詳析U因?yàn)锳BCO為矩形，所以BC=AD=4,

因?yàn)閭?cè)面∕?3為等邊三角形，

所以PB=AB=3,因?yàn)镻B?+BC?=PC?，

所以由ABCr)矩形可得ABlBC,

因?yàn)锳B8P=B,43,BPu平面E45，

所以平面∕?B,而BCu平面ABC。，

所以平面∕?6J_平面ABer>,因此選項A正確；

由ABC。為矩形可得AB//CO，所以NPCz)是直線AB與PC所成的角(或其補(bǔ)角)，

設(shè)AB的中點(diǎn)為。，連接OP,OROC,

因?yàn)閭?cè)面∕?β為等邊三角形，

所以ABLOP,而平面B48，平面ABC。，平面∕?BC平面ABCAAB,

所以O(shè)PL平面ABCr),因?yàn)镺oU平面ABCD,

所以O(shè)PLQD,

25+9-253

在.PCD中，由余弦定理可得cos/PCD=------------=一，所以選項B正確;

2×5×310

因?yàn)镺PJ?平面ABCD,

所以NPCO是直線PC與平面ABCr)所成的角，

3√3

因此./“八PO23百，所以選項C不正確；

s?nNPCO=——=-A-=-----

PC510

設(shè)該四棱錐外接球的球心為G,矩形ABC。的中心為，，顯然GH_L平面A88,

即G"∕∕QP,過G作GRLQP,連接。",GD,設(shè)該四棱錐外接球的半徑為，，

、2

所以在直角三角形EWG中，Wr2=GD2=GH2+-×y∣32+42

（27

在直角梯形PO"G中，有。H=RG=LX4=2,OH=GR=J產(chǎn)-絲

2V4

在直角三角形PRG中，有PG?=PR?+RG?，

即r=（op—0R）2+4n/=予_36/一,+戶——+4,

ΠQ

解得戶F，

28

所以該四棱錐外接球的表面積為4πr2=4兀?一=28兀，因此選項D正確,

4

故選：ABD

B

Kr點(diǎn)石成金』》關(guān)鍵「點(diǎn)石成金」：利用線面垂直的判定定理和球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

II.已知函數(shù)/(x)=Sin(Ox+°),[l＜＜υ＜2,∣同＜∣j圖像過點(diǎn)(0,一；)，且存在占,馬，當(dāng)IXl-即=2兀

時,/(王)=/(工2)=0,貝IJ()

4π

A./U)的周期為——

3

5兀

B./W圖像的一條對稱軸方程為X=——

9

4π10π

C./(χ)在區(qū)間上單調(diào)遞減

99

D./(χ)在區(qū)間(0,5兀)上有且僅有4個極大值點(diǎn)

K答案，ACD

K解析H

R祥解D利用圖像上一點(diǎn)和周期性求出/(χ),再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷各選項即可.

In羊析力因?yàn)?(x)圖像過點(diǎn)(0,一；[且冏＜],所以sin。=—解得9=一2，

T∣ζπk

因?yàn)榇嬖趦?nèi),當(dāng)，當(dāng)IXl-A2∣=2兀時，/(xl)=∕(x2)=0,所以％?一=—=2π,即0=-,ZeN*,又

2G)2

3

因?yàn)?＜勿＜2,所以口二一，

2

所以/(x)=Sinlm*一宗)，

2π_4π

選項A：/O)的周期丁=丁，正確；

2

選項B：/(χ)圖像的對稱軸為二?X—=—I-kιτ,解得X=---1---it,keLr,令----=----1---兀，k無

26293993

整數(shù)解，B錯誤;

4Tt10兀3TCjI3兀

選項C：當(dāng)X∈—時，-X--∈,所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得/(X)在區(qū)間

774U乙乙

4π10π

^9^,^9^上單調(diào)遞減,C正確;

3Tt(Tt22兀1

選項D：當(dāng)X∈(θ,57i)時，(∈∣-］亍，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得/(X)在區(qū)間(0,5兀)有

4個極大值點(diǎn)，3個極小值點(diǎn)，D正確;

故選：ACD

22

12.已知雙曲線C:=-A=l(a>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，過居的直線交C的右支于點(diǎn)A,B,

ab~

若6A型=病=|胸,陽則()

15.(7的漸近線方程為^=±乎犬

A.ABLBFi

C.?AF2?=?BF↑D.A4Eg與aBK鳥面積之比為2：1

K答案，ABC

K解析H

K樣解2根據(jù)片=M則可得CoSNA月8=：,忻WA卜利用余弦定理求出

?AB?,即可判斷A,根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合IABl的值可求出IA制忸制,忸用,可確定C,從而在直

角三角形66居中可得。，c的齊次式，可求漸近線方程確定B,根據(jù)直角三角形的面積公式可確定D.

R詳析』由不.質(zhì)=串I邱［OSNA耳5=義稠I曬,得CoSNAK5=|,

又由FyB=M1=|忻小叫，得同@=||刊，

不妨設(shè)|耳q=3mWd=5加,在ASKB中,

由余弦定理得IAM2=|"3『+歸4『—2∣桐,小OSNAKB=I6病，

所以IAM=4加，所以,@+〔48「=忻小所以ABL他，A正確;

在直角三角形6耳層中，根據(jù)雙曲線定義可得忸4一|的I=2a,

所以忸周=3m-24,

在三角形AKK中，根據(jù)雙曲線定義可得|4周一|4閭=2α,

所以IA閭=5m-2α,

因?yàn)镮ABl=IAE|+忸用=8m-44=4/〃,所以m=a>

所以忸制=3”,忸周=3a-2a=a,

在直角三角形mK中，忸用2+忸/?=忻用2,即9∕+Α2=4C2,

所以104=4(/+〃)，所以4=3,所以。=逅，

所以漸近線方程為y=±乎x，B正確；

IAZ^=IABI-忸閶=4a-α=3α,忸制=3α,所以IA閭=忸國，C正確;

131

S△何乃=］忸用.忸用=5或5防.=54印忸用=6心

__92

^?AFlF2=^ΔFlΛδ_SABFFz=/"，

所以△?!耳耳與456心面積之比為3：1,D錯誤，

故選:ABC.

第∏卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將K答案D填寫在題中的橫線上.)

13.若角α的始邊是X軸非負(fù)半軸，終邊落在直線x+2)，=0上，則Sin(T-2αJ=.

3

K答案1I##0.6

K解析H

K祥解X利用三角函數(shù)的定義求出tan。的值，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式以及弦化切化簡可得所

求代數(shù)式的值.

K詳析X由已知可得COSa+2Sina=(),所以，tan。=-！，

2

222

.(兀CCos?-sinal-tana3

所以，sin——2a=cos2α=——-------------=-----------=-.

(2)cos-α+sin-a1+tana5

3

故K答案H為：-

14.已知圓O:f+y2=9與圓C：/+y2-4χ-6y+9=0交于A,B兩點(diǎn),則直線AB的方程為;

,ABC的面積為.

24

K答案HΦ.2x+3y-9=0②.—

K解析』

K祥解』兩圓相減得到相交弦方程，即直線AB的方程，求出圓心C(2,3),得到C(2,3)到直線AB的距

離，利用垂徑定理得到MM=今?，得到三角形面積.

R詳析D兩圓相減得：4x+6y=18,化簡得：2x+3y—9=0,故直線AB的方程為2x+3y-9=0,

0變形得到(x—2)2+(y—3)2=4,圓心C(2,3),半徑為2

取回心LINQJ刊旦線A已州正日尚乃Ja==^=------，

√4+913

由垂徑定理得：∣AB∣=2x/二=噌3，

故一ABC的面積為3AB∣/=LX2叵*±姮=*.

2l12131313

24

故K答案』為：2x+3y-9=0,—.

13

15.設(shè)直線x=∕(f>O)與曲線y=x(xe*—1)+2,y=2hu-1分別交于4,B兩點(diǎn)，則IABl的最小值一

K答案U4

K解析H

K祥解》由題意，設(shè)/(r)=/e'-2hvτ+3,求得/'(r)=r(r+2)1eJ令g(f)=e'_'，可知

3r∈[∣,1L使得g(%)=0,即可得出的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)e'°=/

0曖得到％=-21n%,代入/&)

得出最小值.

K詳析H設(shè)/（7）=（心—1）+2—2始/+1=/"—21nfT+3,定義域?yàn)椋?,+“）,

則/'（。）=（r+2。1_2_1=，，+2）（1_!],

]2

令g(∕)=e'-產(chǎn)’則g'(∕)=e'+產(chǎn)>。在(。,+8)上恒成立,

所以g(f)在(0,+e)上單調(diào)遞增.

又g⑴=e-l>O,8|￡|=/一4<0,所以力0€(；，1]，使得8%)=0，即6'°=".且當(dāng)O<f<f0時，

有g(shù)(r)<O,則/'0)<0,所以/?)在(OJo)上單調(diào)遞減；當(dāng)，>九時，有g(shù)(r)>O,則/(。>0,所

以/9)在(%，+8)上單調(diào)遞增.

所以，/")在f=f0處有唯一極小值，也是最小值/(ro)=*e'"-2h∏o-to+3,

因?yàn)閑">=J,所以to=ln3=-21nto,所以/(M)=［乂3一2InrO+2h∏o+3=4.

‘0’0?0

所以，IA例的最小值為4.

故K答案2為：4.

16.在棱長為2的正方體43CD-A片GA中，點(diǎn)E,F,G分別是線段AA,CC∣,A。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正

方形A4GA內(nèi)(含邊界)，記過E,F,G的平面為α,若BM∕∕a,則的取值范圍是.

K答案D[√6,2λ^l

K解析D

K祥解H取BC中點(diǎn)為H,由已知可證明平面￡7〃七即為平面α,平面ABc//ɑ.可知MGAG?進(jìn)而

根據(jù)等腰三角形即可求出BM的取值范圍.

如圖，取BC中點(diǎn)為“，連結(jié)EH,FH,GH,EF,AD∣,AtB,BQ,AiG?

由已知AB//GO,且45=G',所以四邊形ABG2是平行四邊形，所以BG//AA,且BG=AR.

又E,F,G,H分別是線段A4t,CG,AQ,8C的中點(diǎn)，所以HF∕∕BC∣,EGIIAD、,所以HF//EG,所

以平面E”PG即為平面ɑ.

易知===又BCHAB,所以四邊形BHGA是平行四邊形，所以4B∕∕"G,

又HGUa,AsBcta,所以Λ16∕∕1,

同理由8C∣∕∕AD∣,可得BC∣∕∕α.

因?yàn)锳∣8U平面ABC1,8C∣u平面A∣8CBCl=B,所以平面/∕ɑ.

則由3Λ∕∕∕α,Be平面A∣8C∣,可知，BWu平面A^G，MW平面A^G.

又點(diǎn)M在正方形44GA內(nèi)，平面AgGDJ、平面A6G=AG,所以M∈Λ,G?

所以的長即為點(diǎn)8到線段4G上點(diǎn)的距離，因?yàn)?G=%=2后，所以當(dāng)點(diǎn)M為線段4G的中點(diǎn)

2

時，BM最小，此時BM=JBA1-^^^=√6；當(dāng)點(diǎn)M與線段4G端點(diǎn)重合時，BM最大,此時

3/=2√Σ?所以8W的取值范圍是[C,2√Σ]?

故K答案》為：[、后,2a].

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.已知，45C內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為α,Ac,面積為2百，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇

一個作為已知條件(若兩個都選，以第一個評分)，求：

(1)求角A的大??；

(2)求BC邊中線AD長的最小值.

條件①：(Q-匕)(SinA+sin3)=(c—。)sin(A+B)；

條件②：?∣3(b2+c2-tz2)=2"csinB.

K答案』⑴A=I

(2)√6

K解析D

R祥解Il(I)利用正弦定理和余弦定理邊角互化即可求解；

.21/\2

(2)由面積公式可得力c、=8,利用向量可得A。=-(Aβ+ΛC),結(jié)合均值不等式即可求解.

K小問1詳析》

選條件①：(。-匕)(SinA+sinB)=(c—份sin(A+B),

因?yàn)槎嗀BC中A+B=π-C,所以(α-h)(sinA+sinB)=(c-h)sinC,

由正弦定理可得(a—力(。+加=(C—力c,

22

Hn,,22IΛb^+c—a1

KP?^+c-a^=bc'CoSA=———------=—,

2bc2

又A∈(0,兀),所以A=1.

選條件②：√3(?2+c2-a2)≈2acsinB

由余弦定理可得2√3ftccosA=2acsinB即屈COSA=asin3，

由正弦定理可得V5sinBcosΛ=sinASinB，

因?yàn)锽∈(0,π),所以sin8w(),所以GCOSA=SinA，即tanA=百,

又4∈(0,π),所以A=1.

R小問2詳析D

由（1）知，A=y,ABC的面積為26，所以g^sing=26，解得。c=8,

所以A=；(A8+AC『=；(A62+AC?+2ΛB?Ac)

+c2+20CCOSm)=；僅2+c2+bc)N；(2bc+bc)=q0c=6,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2√2時取等號，

故BC邊中線AO的最小值為√6.

18.2022年10月31日15時37分，搭載空間站夢天實(shí)驗(yàn)艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)

件導(dǎo)軌支架采用了3D打印的薄壁蒙皮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).3D打印(3DP)是快速成型技術(shù)的一種,它是一種以數(shù)字模

型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不

斷成熟，3D打印在精密儀器制作應(yīng)用越來越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺3D打印設(shè)備，用于打印一

批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺3D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑(單位：μm)X服從正態(tài)分

布N(K)5,36).

(1)若該臺3D打印了IOO件這種零件，記X表示這Ioo件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間(11U17)的產(chǎn)品

件數(shù)，求E(X);

(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺3D打印設(shè)備后，試打了5個零件.度量其內(nèi)徑分別為(單位：Mm)：

86、95、103、109、118,試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ<X<∕2+σ)=0.6826,P{μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,

P(M—3b<X<4+3b)=0.9974,

R答案，(1)13.59

(2)需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見K解析D

K解析D

K祥解』⑴計算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(111,117)的概率，分析可知X~3(100,0.1359),

利用二項分布的期望公式可求得E(X)的值；

⑵計算得出〃-3b=105-18=87,χ∕+3σ=105+18=123,且86史(87,123),根據(jù)3cr原則可得出

結(jié)論.

K小問1詳析』

解：由題意知，4=105,Cr=6,則Ill=〃+cr,117=4+b

一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(U1,117)的概率即為P(M+σ?<X<M+2CΓ)

因?yàn)镻(∕∕-<τ<X<//+cτ)=0.6826,P(μ-2σ<X<χ∕+2σ)=0.9544,

所以P(∕∕+<τ<X<〃+2Cr)=g[P(〃一2<τ<X<∕z+2σ)-P(∕∕-σ<X<χ∕+σ)J

=∣(0.9544-0.6826)=0.1359,

所以X~B(100,0?1359),所以E(X)=IOoXo.1359=13.59.

K小問2詳析R

解：X服從正態(tài)分布N(Io5,36),由于尸(〃—3b<X<"+3b)=0.9974,

則〃-3cr=105—18=87,〃+3Cr=IO5+18=123,

所以內(nèi)徑在(87,123)之外的概率為().(乂)26,為小概率事件而86任(87,123),且;>0.0026,

根據(jù)3b原則，機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.

19.已知數(shù)列｛0,,｝滿足α∣=l,anι+n=am+an[m,neN").

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)記勿=(T)”?表1,數(shù)列也,｝的前2〃項和為Q,證明：-l<("≤-g.

K答案D(1)an=〃；

(2)證明見K解析》.

K解析H

R祥解11⑴令僧=1,可得α,,+∣=4+l,可知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，即可得出；

(2)裂項可得勿=(—1)”?(,+一]],相加可得(“=—1+」一.根據(jù)J=-1+—!—的單調(diào)性即可證

n+?)2π+l2〃+1

明.

R小問1詳析】

解：令機(jī)=1,則由已知可得”,,+∣=%+?！??！?1,

所以數(shù)列｛4｝是以4=1為首項，d=l為公差的等差數(shù)列，

所以a,,=01+("-l)d=l+"-l=".

R小問2詳析H

.,…2n+lzI、”(II、

證明：由(I)可得，?=(-i)?-7~~^=(-D--+—;,

n?n+?)?n∏Λ-?)

則Ty=&+仇++Zλ,.÷?τ,,=~f?^—]+f—?—]+■?^^f------1-]+[—?--------]=-IH--—,

2

2"I2"T2"I2J(23J(2“-12?J(2〃2n+l)2n+1

II21

因?yàn)?“=-1+------單調(diào)遞減，7；=-1+---------=一一，顯然7；“=-1+丁二>一1,

2π2〃+122x1+132/7+1

2

所以有一1<(“W-一.

3

20.在三棱錐S—ABC中，底面JLBC為等腰直角三角形，ZSAB=ZSCB=ZABC=90°.

S

(2)若A8=2,SC=2√Σ,求平面SAC與平面S3C夾角的余弦值.

K答案》(1)證明見K解析』

⑵旦

3

K解析，

K祥解F(1)根據(jù)題意，可證qSCδM一S4B,即S4=SC,從而證得AC_L面S8E,即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，過S作Sr)_L面49C，垂足為。，連接A。,CD,以力為原點(diǎn)，ZM,OC,OS分別為χ,

y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的計算公式，即可得到結(jié)果.

K小問1詳析］

證明：取AC的中點(diǎn)為E,連結(jié)SE,BE,

'：AB=BC,：.BErAC,

在二SCB和ASAB中，ZSAB=NSCB=90o,AB=BC,SB=SB

：..SCB=SAB,：.SA=SC,

?.?4。的中點(diǎn)為￡,，5￡_1_4。，

,/SECBE=E,：.AC_L面SBE,

?.?S8?^S8E,.?.ACLS3

R小問2詳析》

z，

過S作SO,面ABC,垂足為。，連接4。,。，.?.5。，45

,?,AB±SA,ABA.SD,SAAD=A,ABj_平面SAD

ABYAD,同理，BCLCD

：底面一ABC為等腰直角三角形，AB=2,SC=2y∕2,

：.四邊形ABCD為正方形且邊長為2.

以。為原點(diǎn)，D4,DC,。S分別為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z,則

A(2,0,0),5(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0)

.?.SC=(0,2,-2),AC=(-2,2,0),βc=(-2,0,0),

n-SC=2yl-2zi=0

設(shè)平面SAC的法向量〃(χ,y,zj,則<解得x=y=z,

n-AC=-2xi+2yl=0

取尤1=1,則y=1,z∣=1,二”=(1,1,1),

m-SC-Iy2-2Z2=0

設(shè)平面SBC的法向量加=(x,y,z),則■,解得

222y=z

m-BC=-2X2=0

取％=1,則再=0,z∣=1,.?.m=(0,1,1),

設(shè)平面SAC與平面SBC夾角為e

mn

aII2√6

.?.cosθ=cos<m,n>?--∏—=-=——尸=——

11〃m√3i×√23

故平面SAC與平面SBC夾角的余弦值為—.

3

21.已知橢圓C：二+[=1（。＞匕〉0）的左焦點(diǎn)為F,C上任意一點(diǎn)M到F的距離最大值和最小值之積為

Crb~

3,離心率為T.

(1)求C的方程；

(2)若過點(diǎn)P(〃,0)(“<-2)的直線/交C于4,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)落在直線B/7上，求〃

的值及CB鉆面積的最大值.

22

K答案，(1)—+?-?l；

43

(2)〃=T,..E4B面積的最大值為迪.

4

K解析D

K祥解》⑴由己知IWI=//+a,根據(jù)一α<x°≤α,可得IMFlmaX=。+。，IMblmin=。一5根據(jù)

己知得到4=3，a2-c2=3,根據(jù)離心率值即可求出4,c的值；

(2)設(shè)A(Λ1,y),B(x2,γ2),由已知可得MIF+%"=0，即不%%+々X+X=°?聯(lián)立直線與橢圓

方程，根據(jù)Δ>0,得到“2<3M+4?根據(jù)韋達(dá)定理求出”=-4,/>4根據(jù)坐標(biāo)表示出弦長IABl以及點(diǎn)

入-1,0)到直線/距離d,即可得出

Sγλr=應(yīng)4三.進(jìn)而根據(jù)基本不等式，結(jié)合〃？的范圍換元即可求出面積的最小值.

FAB3m2+4

R小問1詳析】

解：由題意可得，

M2+c2

(4，兒)，尸(一。,0)，∣MF∣=λ∕(?+c)+^o=J(?)+1-今投=J[%o+α)='+。?

又因?yàn)?α≤j?≤α,∣MF∣πm=α+c,\MF\m[n^a-c,

由已知可得〃一=3,即6=3,

又橢圓C的離心率e=-=—,所以a=2c,則a?—c?=4c'2—C?=3c?=3，

a2

解得c=l,所以α=2,

22

所以橢圓C的方程為三+匯=1.

43

K小問2詳析》

解：設(shè)A(Xl,χ),B(X2,%)，又尸(TO),

因?yàn)镹PFA+NPFB=Ti,所以2.+ZBF=。，所以“γ+~?=°,

X[+1+?

化簡整理得χlj2+y2+々X+y=O①.

X=my+n

設(shè)直線/：x=my+〃（加≠0）,聯(lián)立直線與橢圓方程<22

-X-----1-J-----=11

143

化簡整理可得(3m2+4)j2+6mny+3∕ι2—12=0,

Δ=(67∏77)2—4(3〃+4)(3〃2—12)=48(3m2+4)>0,可得/<3裙+4②,

Ginn

由韋達(dá)定理，可得y+%-Ei?苧

將xt=myl+n,x2=my2+n代入①，

可得2沖∣%+(〃+l)(χ+%)=0④，

再將③代入④，可得6加(“-4)=6〃?〃(〃+1),解得〃=一4,

3∕n2+43m2+4

所以直線/的方程為X=Wy-4,

且由②可得，3m2+4>16?即勿∕>4,

八一」∣-l×l-0+4∣3

由點(diǎn)F(-l,0)到直線/的距離〃='~~/,=-?=^

√1÷/n√1+Hr

IAM=y∣l+m2-{(弘+%)2-4%%=?2√1+m2--:>

5m+4

18?-4

3∕√+4

______18/_18<18_3√3

2fab2

^yJm-4=t,t>0<則~3Z+16^3r+le^^2√3×