第六章觀測(cè)誤差理論

工程測(cè)量西北農(nóng)林科技大學(xué)第六章觀測(cè)誤差理論6.1觀測(cè)誤差6.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)6.3觀測(cè)值函數(shù)的中誤差6.4等精度觀測(cè)值的平差6.5誤差傳播定律在測(cè)量中的應(yīng)用

前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器(經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、測(cè)距儀），要由人進(jìn)行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會(huì)使采集到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，即數(shù)據(jù)中有誤差。

例如：1）、距離測(cè)量誤差

2）、角度測(cè)量誤差

3）、高差測(cè)量誤差

觀測(cè)誤差A(yù)BD往D返理論上：

D往=

D返

實(shí)測(cè)中：D往≠

D返1）距離測(cè)量誤差測(cè)量上一般要求:D往-

D返/D<=1/K(K=2000,4000,…..),測(cè)量成果才合格.ABC理論上：∠A+∠B+∠C=180

實(shí)測(cè)中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360

實(shí)測(cè)中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測(cè)量誤差理論上：hAB+hBA=0

實(shí)測(cè)中：hAB+hBA

≠0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差測(cè)量誤差Bh4理論上：h1+h2+h3+h4=0

實(shí)測(cè)中：h1+h2+h3+h4

≠01、觀測(cè)誤差：指被觀測(cè)值(或其函數(shù))與未知量的真實(shí)值(或函數(shù)的理論值)間的差值。

觀測(cè)誤差=觀測(cè)值-真值一般用符號(hào)△表示。即：△=L觀–L理

=L-X真值：代表觀測(cè)值L真正大小的數(shù)值，用X表示。真誤差:觀測(cè)值L與真值X之間的差值，用△表示。

△

=L–X一、測(cè)量誤差的來源測(cè)量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0一、測(cè)量誤差的來源（1）測(cè)量?jī)x器：儀器構(gòu)造上無法達(dá)到理論上的要求；例如水準(zhǔn)測(cè)量時(shí),水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平,會(huì)對(duì)水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果影響等.（2）觀測(cè)者：人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度；

儀器的安置\瞄準(zhǔn)\讀數(shù)（3）外界條件：觀測(cè)時(shí)所處的外界環(huán)境，如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。

2、產(chǎn)生的原因-----觀測(cè)條件一、測(cè)量誤差的來源觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。

觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；

人、儀器和外界條件，通常稱為觀測(cè)條件。在觀測(cè)結(jié)果中，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，稱之為粗差。

粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。測(cè)量誤差的來源例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差

ld計(jì)算改正鋼尺溫度誤差

lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)操作時(shí)抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)測(cè)量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差1.粗差(錯(cuò)誤)——超限的誤差測(cè)量誤差的分類3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，表面看無規(guī)律性。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差

。

●準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.幾個(gè)概念:

●精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）測(cè)量誤差的分類1．系統(tǒng)誤差

在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。

（1）進(jìn)行計(jì)算改正

（2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法(3)檢驗(yàn)校正儀器測(cè)量誤差的分類例如：1）、鋼尺量距，鋼尺的名義長度為30m，而鑒定后的實(shí)際長度為30.006m,測(cè)量時(shí),每量一個(gè)整尺,就比實(shí)際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負(fù)號(hào)始終一致.系統(tǒng)誤差測(cè)量誤差的分類例如：2）、定線誤差:

傳統(tǒng)的距離測(cè)量中,距離較長,需要進(jìn)行分段丈量.必須進(jìn)行直線定線.LAB-SAB>0

系統(tǒng)誤差即當(dāng)直線距離超過一個(gè)尺段時(shí)，需進(jìn)行直線定線.LABSABiABSASB水準(zhǔn)管軸視準(zhǔn)軸b1biSA=SB時(shí)，△hAB=0aa1

總結(jié):系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行改正或者采用一定的測(cè)量方法加以抵消或消弱.例如：3）、水準(zhǔn)儀i角對(duì)測(cè)量高差的影響測(cè)量誤差的分類如：1)、距離測(cè)量D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No測(cè)量誤差的分類2．偶然誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。1.71.61.5

1.591中絲讀數(shù)：1.5921.593例如:2）、讀數(shù)誤差(水準(zhǔn)測(cè)量)例如:3）、照準(zhǔn)誤差例如:4）、整平誤差總結(jié):

偶然誤差不可避免，通過多余觀測(cè)，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論處理，可以求得參數(shù)的最佳估值.測(cè)量誤差的分類

通常，測(cè)量中需要進(jìn)行多余觀測(cè)。應(yīng)當(dāng)剔除觀測(cè)值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計(jì)，使觀測(cè)值主要含有偶然誤差，從而利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法求得觀測(cè)值的最可靠值。

總結(jié)：在測(cè)量工作中，一般需要進(jìn)行多余觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測(cè)。測(cè)量誤差的分類偶然誤差觀測(cè)值與真值之差定義：真誤差A(yù)MPMh時(shí)m偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。觀測(cè)值真值觀測(cè)誤差【例】在相同的觀測(cè)條件下，觀測(cè)了217個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。ＡｉＢｉＣｉ三角形內(nèi)角和真誤差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

觀測(cè)誤差絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等；最大誤差不超過27″。結(jié)果分析(vi/n)/3△誤差分布曲線

-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)直方圖1、愈小，愈大。有最大值

△當(dāng)△=0時(shí)橫軸是曲線的漸近線，這就是超限數(shù)為零、小誤差大概率2、是偶函數(shù)。對(duì)稱性曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，橫坐標(biāo)為：當(dāng)愈大時(shí)，曲線愈平緩，誤差分布比較分散當(dāng)愈小時(shí)，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中觀測(cè)誤差

通過對(duì)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，特別是當(dāng)觀測(cè)次數(shù)足夠多時(shí)，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：1、在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值-----超限數(shù)為零；有限性2、絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值大的出現(xiàn)的可能性要大

-----小誤差大概率：集中性

3、絕對(duì)值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等

-----正負(fù)相等；對(duì)稱性

4、當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無窮增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值為零

----平均理論。抵償性其中觀測(cè)誤差6.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)1、中誤差:

在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，得出的每個(gè)觀測(cè)值都稱為同精度的觀測(cè)值。即每個(gè)觀測(cè)值的真差不同，但中誤差是相同的。例：2010級(jí)的某班的3個(gè)小組，在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行四等水準(zhǔn)測(cè)量。第1個(gè)小組測(cè)得閉合差為+2mm,第2個(gè)小組測(cè)得閉合差為-6mm,第三個(gè)小組測(cè)得閉合差為0。試判斷哪一組觀測(cè)精度高？精度相同精度指的是一組觀測(cè)值誤差分布的密集或分散的程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

小，精度高

大，精度低觀測(cè)條件誤差分布觀測(cè)值精度中誤差評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)2、容許誤差（限差）通常取標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍（或三倍）作為觀測(cè)值的容許誤差。實(shí)際中常用中誤差代替標(biāo)準(zhǔn)差。即即大于2倍中誤差的真誤差，出現(xiàn)的概率為5%即大于3倍中誤差的真誤差，出現(xiàn)的概率為0.3%或評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)極限作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界線

精度不相同3、相對(duì)誤差通常是用來衡量和距離有關(guān)的觀測(cè)量的精度的好壞。例:測(cè)量?jī)蓷l直線，一條100m，另一條50m，其中誤差均為±10mm試問兩條直線的觀測(cè)精度相同嗎？哪條直線的觀測(cè)精度高？100m的直線的觀測(cè)精度高相對(duì)中誤差，相對(duì)真誤差和相對(duì)極限誤差。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)6.3觀測(cè)值函數(shù)的中誤差一.一般函數(shù)的中誤差對(duì)(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：xi為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)xi

有真誤差△xi，函數(shù)Z也產(chǎn)生真誤差△Z(a)觀測(cè)值函數(shù)的中誤差令△xi的系數(shù)為，(c)式為：由于△xi和△Z是一個(gè)很小的量，可代替上式中的dxi和dxz

：(c)代入(b)得對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)觀測(cè)值函數(shù)的中誤差對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：觀測(cè)值函數(shù)的中誤差(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，<<前面各項(xiàng)即(h)觀測(cè)值函數(shù)的中誤差則：考慮，代入上式，得中誤差關(guān)系式：(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。觀測(cè)值函數(shù)的中誤差

通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；

2.對(duì)函數(shù)式求全微分；

3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。觀測(cè)值函數(shù)的中誤差二.幾種常用函數(shù)的中誤差

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差：設(shè)有函數(shù)式

全微分

得中誤差式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))觀測(cè)值函數(shù)的中誤差例：量得1:1000地形圖上兩點(diǎn)間長度

l

=168.5mm

0.2mm,

計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式觀測(cè)值函數(shù)的中誤差2.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式觀測(cè)值函數(shù)的中誤差例：設(shè)有某線性函數(shù)其中

x1、x2

、x3分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差mz。

解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：觀測(cè)值函數(shù)的中誤差函數(shù)式

全微分

中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

觀測(cè)值函數(shù)的中誤差由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。觀測(cè)值函數(shù)的中誤差4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：觀測(cè)值函數(shù)的中誤差例：測(cè)定A、B間的高差hAB

，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差m=±2mm

，求總高差hAB的中誤差mh

。

解：

觀測(cè)值函數(shù)的中誤差觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

5.4等精度直接觀測(cè)平差▓觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)▓用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的中誤差

(即:白塞爾公式)▓算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差

等精度直接觀測(cè)平差

一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值

1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：上式等號(hào)兩邊分別相加得和：等精度直接觀測(cè)平差當(dāng)觀測(cè)無限多次時(shí)：

得兩邊除以n：由

當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X[]0)(limlim=-=D￥?￥?XLnnn等精度直接觀測(cè)平差觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)二.觀測(cè)值的改正數(shù)v

：

以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)

特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以代入：

通常用于計(jì)算檢核L=

n

v=nL-

n

v

=n-

=0

v

=0

特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即

vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv

dx∵

(x-)=0nx-

=0

x=

n等精度直接觀測(cè)平差精度評(píng)定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：三.精度評(píng)定——用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：等精度直接觀測(cè)平差證明如下：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:XlXlXlnn-=D-=D-=DLL2211等精度直接觀測(cè)平差改正數(shù)真誤差證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:等精度直接觀測(cè)平差解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例1：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。次數(shù)觀測(cè)值VVV備注176°42′49″-416276°42′40″+525376°42′42″+39476°42′46″-11576°42′48″-39平均76°42′45″[V]=0[VV]=6076°42′45″

±1.74″等精度直接觀測(cè)平差

例6-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測(cè)次

觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv

計(jì)算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046距離丈量精度計(jì)算例算例3：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測(cè)值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對(duì)