離散型隨機變量的方差 （教學(xué)設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.3.2離散型隨機變量的方差教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容離散型隨機變量的均值的概念與計算;離散型隨機變量的性質(zhì)應(yīng)用.課時教學(xué)目標1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．教學(xué)重點、難點重點：離散型隨機變量的方差、標準差的概念及其應(yīng)用.難點：利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題引導(dǎo)語：離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律.但在解決有些實際問題時,直接使用分布列并不方便.例如,要比較不同班級某次考試成績,通常會比較平均成績;要比較兩名射箭運動員的射箭水平,一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.因此,類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差,我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差,它們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征.隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”．因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大?。晕覀冞€需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征．【設(shè)計意圖】通過談話，引入課題.探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示．表7.3-6表7.3-7X678910Y678910P0.090.240.320.280.07P0.070.220.380.300.03如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？【師生活動】教師提出探究問題，引導(dǎo)學(xué)生分析.師：能不能用我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)的均值分析這一問題？同學(xué)們嘗試一下.學(xué)生運算求解，求出甲、乙兩名同學(xué)擊中目標靶的環(huán)數(shù)的均值.通過計算可得，，．因為兩個均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平．追問1：平均水平相同，是不是這兩名同學(xué)的射擊水平就沒有差距呢？我們還能不能從其他角度進一步考察這兩名同學(xué)的射擊水平呢？評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度．圖7.3-2和圖7.3-3分別是X和Y的概率分布圖，比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定．追問2：從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定.追問3：上面的結(jié)論我們是通過觀察概率分布圖直觀得到的，怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度？【設(shè)計意圖】通過具體的問題情境，讓學(xué)生積極思考、參與互動，從而引入離散型隨機變量的方差的概念，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).通過問題1、問題2,為引入離散型隨機變量的方差的概念作準備.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表7.3-8所示．表7.3-8……考慮所有可能取值與的偏差的平方，，……，．因為取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．我們稱為隨機變量的方差（variance），有時也記為，并稱為隨機變量的標準差（standarddeviation），記為．隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散．教師提問：我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的.一個自然的想法是，隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？學(xué)生討論,得出：可以用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷離散型隨機變量的方差概念的建構(gòu)過程，進一步體會從特殊到一般的思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比等合情推理的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念現(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績的方差和標準差來刻畫他們射擊成績的穩(wěn)定性．由方差和標準差的定義，兩名同學(xué)射擊成績的方差和標準差分別為，；，．因為（等價地，），所以隨機變量的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定．在方差的計算中，利用下面的結(jié)論經(jīng)?？梢允褂嬎愫喕驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生利用方差和標準差的定義求解探究1提出的問題，學(xué)以致用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識.問題3：方差的計算可以簡化嗎？教師提出問題，先讓學(xué)生思考，再出示簡化的結(jié)果.方差描述隨機變量取值的離散程度，了解方差的性質(zhì)，除了簡化計算外，還有助于更好地理解其本質(zhì)．探究：離散型隨機變量加上一個常數(shù)，方差會有怎樣的變化？離散型隨機變量乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？【設(shè)計意圖】有助于學(xué)生更好地理解方差的本質(zhì).探究2：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？【師生活動】教師提出問題，讓學(xué)生充分思考、討論、交流.在此基礎(chǔ)上，找?guī)酌麑W(xué)生代表分享討論交流的結(jié)果.學(xué)生發(fā)言后，教師進行評價指導(dǎo)，最后共同得出結(jié)論.環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念離散型隨機變量加上一個常數(shù)，僅僅使的值產(chǎn)生一個平移，不改變與其均值的離散程度，方差保持不變，即而離散型隨機變量乘以一個常數(shù)，其方差變?yōu)樵讲畹谋?，即一般地，可以證明下面的結(jié)論成立：【設(shè)計意圖】類比均值的性質(zhì)，推導(dǎo)得出方差的性質(zhì).根據(jù)學(xué)生的情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用方差的定義證明這一結(jié)論，提高學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例5拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)的方差．解：隨機變量的分布列為．因為，．所以．【設(shè)計意圖】通過例題，提升對概念精細化的理解.讓學(xué)生掌握方差的算法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).例6投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列表7.3-10股票B收益的分布列收益X/元-102收益Y/元012概率0.10.30.6概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？【師生活動】教師提問：你能用我們所學(xué)的知識分析、解決這一生活中的實際問題嗎？教師可以引導(dǎo)分析第(2)問，我們?nèi)绾魏饬客顿Y風(fēng)險的高低？分析：股票投資收益是隨機變量，期望收益就是隨機變量的均值．投資風(fēng)險是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來度量它們的投資風(fēng)險高低，方差越大風(fēng)險越高，方差越小風(fēng)險越低．解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為，．因為，所以投資股票A的期望收益較大．（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為，．因為和相差不大，且，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險高．在實際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票，使期望收益最大或風(fēng)險最?。S機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機變量取值的離散程度．在不同的實際問題背景中，方差可以有不同的解釋．例如，如果隨機變量是某項技能的測試成績，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機變量是風(fēng)險投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險的高低；等等．【設(shè)計意圖】例6是綜合利用均值和方差比較投資兩種股票收益的問題，目的是使學(xué)生了解在實際問題中均值和方差的意義.在這個問題中，均值表示平均收益，方差表示風(fēng)險(不確定性).在教學(xué)中，可以提供更多不同背景的實際問題，幫助學(xué)生了解均值、方差的意義.師生共同歸納總結(jié)利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟：

(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)下結(jié)論.依據(jù)均值和方差給出結(jié)論.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.離散型隨機變量的方差是如何定義的？我們是如何得出隨機變量方差公式的？2.在計算離散型隨機變量的方差時，我們?nèi)绾芜x擇公式簡化運算？3.如何利用方差和標準差分析、解決生活中的實際問題？【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力.環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第70頁練習(xí)第1?3題.練習(xí)（第70頁）1．已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求和．1．【解析】由題意，得，，，．2．若隨機變量滿足，其中為常數(shù)，求．2．【解析】，．3．甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度，其誤差和(單位：)的分布列如下：甲班的目測誤差分布列乙班的目測誤差分布列X-2-1012Y-2-1012P0.10.20.40.20.1P0.050.150.60.150.05先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷．3．【解析】由分布列，估計X的分布離散程度大．由題意，得，．，．且，的分布離散程度大．習(xí)題7.3（第71頁）1．某品牌手機投放市場，每部手機可能發(fā)生按定價售出、打折后售出、沒有售出而收回三種情況．按定價售出每部利潤100元，打折后售出每部利潤0元，沒有售出而收回每部利潤-300元．據(jù)市場分析，發(fā)生這三種情況的概率分別為0.6，0.3，0.1．求每部手機獲利的均值和方差．1．【解析】設(shè)每部手機獲利為X元，則X可能為100，0，-300，且，，．X的分布列為1000-3000.60.30.1，．2．現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票中獎金額的均值是多少元?2．【解析】設(shè)X表示一張彩票的中獎金額，則，，，，，所以X的分布列為：X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005其均值為．即1張彩票可能中獎金額的均值是2元．3．隨機變量X的分布列為，，，若，求a和b．3．【解析】由題意知，，解得，，即a和b分別為，．4．在單項選擇題中，每道題有四個選項，其中僅有一個選項正確．如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率為0.25．請給選對和選錯分別賦予合適的分值，使得隨機選擇時得分的均值為0．4．【解析】設(shè)選對得分為a，選錯得分為b，則得分X的分布列為XP0.250.75，，不妨設(shè)，則．選對可賦予3分，選錯可賦予分(答案不唯一，合理即可)．5．證明：．證明：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：…………設(shè)（a，b為常數(shù)），則Y也是離散型隨機變量，Y的分布列為：Y…………由均值的性質(zhì)可得，．6．有A和B兩道謎語，張某猜對A謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對B謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元．規(guī)則規(guī)定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語？6．【解析】設(shè)先猜A謎語獎金為X元，則X的分布列為X01030P0.20.40.4（元）設(shè)先猜B迷語獎金為Y，則Y的分布列為Y02030P0.50.10.4（元），∴應(yīng)選擇先猜A謎語．7．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為甲品牌的走時誤差分布列乙品牌的走時誤差分布列X01Y012P0.10.80.1P0.1