6.4.3.2正弦定理（原題版）

正弦定理1.借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系；2.掌握正弦定理及其推導(dǎo)；3.利用正弦定理求解三角形的邊、角等問題．重點：利用正弦定理求解三角形的邊、角等問題；難點：正弦定理的推導(dǎo)閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。探究1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為用a，b，c表示，怎樣用a，b，c表示角A，B，C的正弦？追問1：對于銳角三角形和鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？我們希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對角A，B，C的正弦之間關(guān)系式．在向量運算中，兩個向量的數(shù)量積與長度、角度有關(guān)，這就啟示我們可以用向量的數(shù)量積來探究：知識點一正弦定理正弦定理（lawofsines）在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即正弦定理的特點(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．1.在△ABC中，，則的值是（

）A．B．C．D．探究2在正弦定理中，三角形的各邊與其所對角的正弦的比都相等，那么這個比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系？．知識點二正弦定理的變形若R為△ABC外接圓的半徑，則(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R.(1)正弦定理中的比值是一個定值，它的幾何意義為三角形外接圓的直徑．(2)正弦定理是直角三角形邊角關(guān)系的一個推廣，它的主要功能是實現(xiàn)三角形中的邊角互化．(3)通過正弦定理可“知三求一”2.已知△ABC外接圓的半徑為1，則a∶sinA=（

）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．無法確定3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則sinB＝()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)探究3已知在△ABC中已知邊a,b和角C，能否用a,b，C表示三角形的面積？【答案】分△ABC為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形三種情況討論，可求得邊b上的高，進(jìn)而可求得知識點三三角形的面積公式在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則考點1已知兩角及一邊解三角形例1在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．【對點演練1】（2023上·寧夏石嘴山三中期中）在△ABC中，若，，，則（

）A． B． C． D．【對點演練2】（2023上·內(nèi)蒙古通遼?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．8 B．5 C．4 D．3【對點演練3】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝2，sin(A＋B)＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(1,4)，則c＝()A．4 B．3C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)考點2已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例2．（2023上·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，則（

）A． B．或 C． D．或【對點演練1】（2022下·山東煙臺·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則角等于A．或 B． C． D．【對點演練2】在中，已知，，，則角的值為（）A．或 B． C． D．或考點3三角形解的個數(shù)問題例3（1）（2024·全國高一專題練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定（2）（2023上·北京大興·高三統(tǒng)考期中）在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點演練1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰谥?，，，，滿足條件的（

）A．有無數(shù)多個 B．有兩個 C．有一個 D．不存在【對點演練2】（2023上·上海嘉定·高三?？计谥校┰谥?，已知，，若有唯一值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點4判斷三角形的形狀例4．（2023上·北京·高三北京二十中校考階段練習(xí)）在中，若，則該三角形的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【對點演練1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【對點演練2】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形考點5邊角轉(zhuǎn)換例5（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則（

）A．6 B．5C．4 D．3【對點演練】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．考點6三角形的面積問題例6（1）2023上·江蘇鎮(zhèn)江期中）在中，若，則的面積為（

）A． B． C．或 D．（2）（2023上·內(nèi)蒙古包頭校考）在中，角所對的邊分別是且，面積為，則邊的長為(

)A． B． C．或 D．【對點演練1】（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【對點演練2】（2021上·甘肅臨夏·高二臨夏中學(xué)?？计谥校┰谥?，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知，，，則的面積（

）A． B．7 C． D．一、單選題1．（2024·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A． B．1 C． D．4．（2022上·陜西渭南·高二?？计谥校┑娜齻€內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形5．在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．6．（2022·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，則角為（

）A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023上·河南焦作·高二石家莊市第九中學(xué)?？计谀┰谥?，的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．10．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．11．（2023上·廣東廣州華南師大附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．中的面積為12．（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中，正確的有（

）A．當(dāng)時，滿足條件的三角形共有1個B．若是鈍角三角形，則C．若，則D．當(dāng)時，的周長為三、填空題13.在中，，那么的值為．14．（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期中）在中，角的對邊分別為，，，．則．15．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則.16．（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）在中，設(shè)角及所對邊的邊長分別為及，若，，，則邊長