高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2測(cè)評(píng)第四章3定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

第四章DISIZHANG定積分§3定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用課后篇鞏固提升A組1.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則曲線f(x)與直線x=a,x=b,y=0圍成的圖形的面積為()A.abf(x)dx B.C.ab|f(x)|dx D.解析當(dāng)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(x)<0時(shí),abf(x)dx<0,排除A;當(dāng)圍成的圖形同時(shí)存在于x軸上方與下方時(shí),abf(x)dx是兩圖形面積之差,排除B;無(wú)論什么情況C答案C2.下列各陰影部分的面積S不可以用S=ab[f(x)g(x)]dx求出的是(解析定積分S=ab[f(x)g(x)]dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影部分的面積,必須注意f(x)的圖像要在g(x)的圖像上方,對(duì)照各選項(xiàng)可知,D項(xiàng)中的f(x)的圖像不全在g(x)的圖像上方.故選D答案D3.如圖,由函數(shù)f(x)=exe的圖像,直線x=2及x軸圍成的陰影部分的面積等于()A.e22e1B.e22eC.eD.e22e+1解析由已知得S=12f(x)dx=12(ex=(exe·x)|12=e2答案B4.直線y=2x,x=1,x=2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓臺(tái),則該圓臺(tái)的體積為()A.28π3 B.32π C.4π3解析所求圓臺(tái)的體積V=12π·(2x)2dx=π124x2dx=4π·13x3|12答案A5.如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中,任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為()A.14 B.15 C.16解析由y=x,y=x則S陰影=01(x=23故所求概率為S陰影答案C6.曲線y=cosxπ2≤x≤3π解析由圖可知,曲線y=cosxπ2≤x≤3π2與x軸圍成的平面圖形的面積S=π23π2答案27.在同一坐標(biāo)系中,作出曲線xy=1和直線y=x以及直線y=3的圖像如圖所示,則陰影部分的面積為.

解析S=1313-1xd=(3xlnx)|=31=4ln3.答案4ln38.計(jì)算由y2=x,y=x2所圍成圖形的面積.解如圖,為了確定圖形的范圍,先求出這兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解方程組y2=x,y=x2,得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0或x=1.因此,所求圖形的面積S=01(xx2)dx9.求由曲線y=x2+4與直線y=5x,x=0,x=4所圍成的平面圖形的面積.解畫(huà)出草圖,如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組y=x2+4,y故所求平面圖形的面積S=01(x2+45x)dx+14(5xx2=1=13+452+52×4213×43=19310.求拋物線y2=2x與直線y=4x圍成的平面圖形的面積.解由方程組y2=2x,y=4方法一:選x作為積分變量,由圖可得S=SA1+SA2.在A1部分:由于拋物線的上部分方程為y=所以SA1=0=2202x12SA2=28[4=4x所以S=163+38方法二:∵y2=2x,∴x=12y2由y=4x.得x=4y,∴S=-42=4y-1B組1.如圖,已知曲線y=f(x)與直線y=0,x=32,x=2圍成的圖形面積為S1=1,S2=3,S3=32,則-322f(x)dA.112 B.1C.12 D.解析-322f(x)dx=-32-1f(x)dx+-11f(x)dx+12f(x)dx=S1S2答案C2.設(shè)直線y=1與y軸交于點(diǎn)A,與曲線y=x3交于點(diǎn)B,O為原點(diǎn),記線段OA,AB及曲線y=x3圍成的區(qū)域?yàn)棣?在Ω內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,已知點(diǎn)P取在△OAB內(nèi)的概率等于23,則圖中陰影部分的面積為(A.13 B.14 C.15解析聯(lián)立y=1,則曲邊梯形OAB的面積為01(1x3)dx=x-14∵在Ω內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P,點(diǎn)P取在△OAB內(nèi)的概率等于23∴點(diǎn)P取在陰影部分的概率等于123∴圖中陰影部分的面積為34故選B.答案B3.如圖所示,直線y=kx分拋物線y=xx2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩部分,則k的值為.

解析∵拋物線y=xx2與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,1,∴拋物線與x軸所圍成圖形的面積為S=01(xx2)dx=x22-x33|01=∴S2=01-k(=1-k2x2又∵S=16∴(1k)3=12∴k=1312=1答案134.由直線y=x和曲線y=x3(x≥0)所圍成的平面圖形,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

解析由y=x故所求體積V=01πx2dx01πx6dx=π01x2dxπ01x6=π13答案45.已知函數(shù)f(x)=x3x2+x+1,求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)=x2圍成的圖形的面積.解∵(1,2)為曲線f(x)=x3x2+x+1上的點(diǎn),設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k,則k=f'(1)=3×122×1+1=2,∴過(guò)點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y2=2(x1),即y=2x.∴y=2x與函數(shù)g(x)=