新版高中數(shù)學北師大版必修2習題第一章立體幾何初步1.6.1.2

第2課時平面與平面垂直的判定1.下列命題正確的是()①過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直;②如果一條直線和兩個垂直平面中的一個垂直,那么它必和另一個平面平行;③過不在平面內的一條直線可作無數(shù)個平面與已知平面垂直;④如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過一個平面內一點與另一平面垂直的直線在該平面內.A.①③ B.②③C.②③④ D.④解析:過平面外一點可作一條直線與平面垂直,過該直線的任何一個平面都與已知平面垂直,所以①不對;若α⊥β,a⊥α,則a?β或a∥β,所以②不對;當平面外的直線是平面的垂線時,能作無數(shù)個平面與已知平面垂直,否則只能作一個,所以③不對;④正確.故選D.答案:D2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,如圖所示,圖中互相垂直的平面有()A.1對 B.4對C.5對 D.6對解析:因為DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD.答案:C3.在三棱錐PABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,則下列說法正確的是()A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB解析:如圖所示,因為∠ABC=90°,PA=PB=PC,所以點P在底面的射影落在△ABC的斜邊AC的中點O處,連接OB,OP,則PO⊥OB,又PA=PC,所以PO⊥AC,且AC∩OB=O,所以PO⊥平面ABC,又PO?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.答案:A4.如圖所示,△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形,且∠BAC=60°,則下列說法錯誤的是()A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD解析:由題意可知,AD⊥BD,AD⊥DC.∴AD⊥平面BDC.又△ABD與△ADC均是以D為直角頂點的等腰直角三角形,∴AB=AC,BD=DC=22AB∵∠BAC=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴BC=AB=2BD.∴∠BDC=90°,即BD⊥DC,∴BD⊥平面ADC.同理DC⊥平面ABD,故A,B,C均正確.答案:D5.已知兩條不同直線m,l,兩個不同平面α,β,在下列條件中,可以得出α⊥β的是()A.m⊥l,l∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=l,m?αC.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m?α解析:對于A,l∥α,l∥β,α與β可以平行或相交;對于B,α與β不一定垂直;對于C,由m∥l,m⊥α,得l⊥α,又l⊥β,則α∥β,故C不正確;對于D,由m∥l,l⊥β,得m⊥β,又m?α,則α⊥β.答案:D6.在四棱錐VABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,其他四個側面都是邊長為5的等腰三角形,則二面角VABC的平面角的大小為.

解析:取AB,CD的中點E,F,連接VE,VF,EF,因為底面ABCD是邊長為2的正方形,側面都是棱長為5的等腰三角形,所以VE⊥AB,EF⊥AB,所以∠VEF即為二面角VABC的平面角.又EF=BC=2,VE=VA2-A故△VEF為等邊三角形,所以∠VEF=60°.答案:60°7.在正方體ABCDA1B1C1D1中,二面角D1ABD的平面角的大小為.

解析:如圖所示,AD⊥AB,AD1⊥AB,所以∠D1AD即為二面角D1ABD的平面角.由正方形的對角線平分對角的性質知∠D1AD=45°.答案:45°8.如圖所示,一山坡的坡面與水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡腳的水平線成30°的角,沿這一直道行走20m后升高m.

答案:59.如圖所示,已知三棱錐PABC,∠ACB=90°,D為AB的中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.求證:(1)PA⊥平面PBC;(2)平面PAC⊥平面ABC.證明(1)因為△PDB是正三角形,所以∠BPD=60°.因為D是AB的中點,所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°,所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°,所以PA⊥PB.又PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.(2)因為PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.因為∠ACB=90°,所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因為BC?平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.★10.如圖所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是線段AB上的兩點,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點重合于點G,得到多面體CDEFG.求證:平面DEG⊥平面CFG.證明因為DE⊥EF,CF⊥EF,CD∥EF,所以四邊形CDEF為矩形.由GD=5,DE=4,得GE=GD2由GC=42,CF=4,得FG=GC2所以EF=5.在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.又因為CF⊥EF,CF⊥FG,EF∩FG=F,所以CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG.又FG∩CF=F,所以EG⊥平面CFG.因為EG?平面DEG,所以平面DEG⊥平面CFG.★11.如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且AD⊥DE,F為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱,所以有BB1⊥平面ADC,即有AD⊥BB1.又AD⊥DE,且BB1與DE必相交,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABCA1B