排列組合分類教學(xué)

談?wù)勁帕薪M合中的分組問題的教學(xué)分組問題是排列組合教學(xué)中的一個重點和難點。某些排列組合問題看似非分組問題，實際上可運用分組問題的方法來解決。下面就排列組合中的分組問題，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的體會和做法。一、根本的分組問題例1六本不同的書，分為三組，每組兩本，有多少種分法？分析：分組與順序無關(guān)，是組合問題。分組數(shù)是=90(種)，這90種分組實際上重復(fù)了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個號碼，考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實際上參加了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)，所以分法是=15(種)。例2六本不同的書，分為三組，一組一本，一組二本，一組三本，有多少種分法？分析：先分組，方法是，那么還要不要除以？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一樣的，因此不會出現(xiàn)相同的分法，即共有=60(種)分法。例3六本不同的書，分為三組，一組四本，另外兩組各一本，有多少種分法？分析：先分組，方法是=30(種)，那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數(shù)不一樣，不可能重復(fù)。所以實際分法是=15(種)。通過以上三個例題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。原理一一般地，n個不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素數(shù)目分別為m，m，…，m，其中k組內(nèi)元素數(shù)目相等，那么分組方案是。二、分組后分配的問題例4將上面三個例題中的“分為三組”改為“分給甲、乙、丙三人”，那么各有多少種分法？分析：由于分配給三人，同一本書給不同的人是不同的分法，所以是排列問題。實際上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數(shù)再乘以，即例1是=90(種)，例2是=360(種)，例3是=90(種)。原理二一般地，如果每個“不同的元素”和每個“接受單位”都有“歸宿”，并且每個“接受單位”可接受的元素個數(shù)沒有限制，那么實際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以“接受單位”數(shù)的全排列數(shù)。例5六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？分析：六本書和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書要分完，人不能空手。因此，考慮先分組，后排列。先分組，六本書怎么分為三組呢？有三類分法(1)每組兩本(2)分別為一本、二本、三本(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)加法原理，分組法是++=90(種)。再考慮排列，即再乘以。所以一共有540種不同的分法。三、分組問題的變形問題例6四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？分析：恰有一個空盒，那么另外三個盒子中小球數(shù)分別為1，1，2。實際上可轉(zhuǎn)化為先將四個不同的小球分為三組，兩組各1個，另一組2個，分組方法有(種)，然后將這三組再加上一個空盒進行全排列，即共有=144(種)。例7有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承當(dāng)，乙、丙各需1人承當(dāng)，從10人中選派4人承當(dāng)這三項任務(wù)，不同的選法有多少種？分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有(種)分法。再考慮排列，甲任務(wù)需2人承當(dāng)，因此2人的那個組只能承當(dāng)甲任務(wù)，而一個人的兩組既可承當(dāng)乙任務(wù)又可承當(dāng)丙任務(wù)，所以共有=2520(種)不同的選法。例8設(shè)集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A為定義域，B為值域，那么從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個？分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個元素都有“歸宿”，而集合B的每個元素接受集合A中對應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問題實際上還是分組后分配的問題。先考慮分組，集合A中4個元素分為三組，各組的元素數(shù)目分別為1、1、2，那么共有(種)分組方法。再考慮分配，即