2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 課件（52張）

被譽(yù)為“世界七大奇跡”之一的古埃及的金字塔，以其宏偉的氣勢、嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)、精美絕倫的整體外觀讓世界嘆服.而數(shù)學(xué)上也有“金字塔”，這就是二項(xiàng)式(a＋b)n的展開式在n＝1,2，…時的二項(xiàng)式系數(shù)而壘成的金字塔，稱為楊輝三角，它是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝首先發(fā)現(xiàn)的，比歐洲的帕斯卡整整早發(fā)現(xiàn)了500年左右.導(dǎo)語隨堂演練課時對點(diǎn)練一、楊輝三角二、二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最值三、二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題內(nèi)容索引一、楊輝三角問題1

根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二項(xiàng)式系數(shù).可以寫成如下形式，則第7行的數(shù)字分別是多少？提示1,7,21,35,35,21,7,1知識梳理(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項(xiàng)的系數(shù)

；(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)的

，即

＝

.相等和例1

(1)在(a＋b)n的二項(xiàng)展開式中，與第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是A.第n－k項(xiàng) B.第n－k－1項(xiàng)C.第n－k＋1項(xiàng) D.第n－k＋2項(xiàng)√故第n－k＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(2)觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是A.8 B.6 C.4 D.2解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.√反思感悟解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察.(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律.(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來，使問題得解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)在(x＋y)n的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則n為A.4 B.6 C.8 D.10√解析由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等，(2)如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個數(shù)，當(dāng)a＝7時，b等于A.20 B.21 C.22 D.23解析由a＝7，可知b左肩上的數(shù)為6，右肩上的數(shù)為11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.√二、二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最值問題2

怎樣找二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值？知識梳理(1)增減性：當(dāng)k<時，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)k>時，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的.(2)最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

，

相等，且同時取得最大值.注意點(diǎn)：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，有一項(xiàng)；(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，有兩項(xiàng).例2

已知f(x)＝

展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32.求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解由題意得，2n＝32，解得n＝5.由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T3＝

＝90x6，T4＝

.反思感悟求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(1－x)2n－1展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第n－1項(xiàng)B.第n項(xiàng)C.第n－1項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)D.第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)√解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得，分別為第n，n＋1項(xiàng).(2)展開式的第6項(xiàng)系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為A.120 B.252 C.210 D.45√解析由題意，得2n＝10，易知n＝5，令30－5k＝0，得k＝6，三、二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題問題3

在二項(xiàng)展開式(a＋b)n＝

＋

中，令a＝b＝1，可得到什么結(jié)論？令a＝1，b＝－1，可得到什么結(jié)論？例3

若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；解令x＝0，則a0＝－1.令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，

①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)a1＋a3＋a5＋a7；解令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，

②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16384.反思感悟求展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法“賦值法”是求二項(xiàng)式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值.一般地，要使展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項(xiàng)，令x＝1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項(xiàng)展開式中含負(fù)值項(xiàng)時，令x＝－1則可得各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和.跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(x∈R).(1)求a0的值；解在等式(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022中，令x＝0，得1＝a0.∴a0＝1.(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2022的值；解在等式中，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2022，∴a1＋a2＋…＋a2022＝0.(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值.解分別令x＝－1，x＝1，②－①，得1－32022＝2(a1＋a3＋…＋a2021).1.知識清單：(1)楊輝三角.(2)二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最值.(3)二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題.2.方法歸納：賦值法.3.常見誤區(qū)：系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別，中間項(xiàng)的個數(shù)，含絕對值的系數(shù).課堂小結(jié)隨堂演練1.在(a－b)20的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是A.第15項(xiàng) B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng) D.第18項(xiàng)1234√12342.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第3項(xiàng) B.第6項(xiàng)C.第6,7項(xiàng) D.第5,7項(xiàng)√即第6,7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大.12343.(x－1)11的展開式中，x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和是A.2048 B.－1023C.－1024 D.1024√解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，則－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，

①令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，

②由①②，得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1024，即為所求系數(shù)之和.12344.(2x－1)6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為__，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為____.解析令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為1；各二項(xiàng)式系數(shù)之和為26＝64.164課時對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.在(1＋x)n(n∈N＋)的展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n的值為A.8 B.9 C.10 D.11√解析由題意，得展開式共有11項(xiàng)，所以n＝10.123456789101112131415162.若(x＋3y)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則n的值為A.5 B.8 C.10 D.15√解析(7a＋b)10的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210，令x＝1，y＝1，則由題意知，4n＝210，解得n＝5.123456789101112131415163.(2x－3)10的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為√123456789101112131415164.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為A.1 B.±1 C.2 D.±2√解析由條件知2n＝32，即n＝5，令15－5k＝0，得k＝3.123456789101112131415165.如果一個多位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由小到大的順序排列，則稱此數(shù)為“上升”的，那么所有“上升”的正整數(shù)的個數(shù)為A.530 B.502C.503 D.505√123456789101112131415166.(多選)設(shè)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，則下列結(jié)論正確的是A.a2＋a5＝588B.a1＋a2＋…＋a7＝1C.a1＋a3＋a5＋a7＝D.|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1√√√12345678910111213141516又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，則a2＋a5＝588，故A正確；令x＝1，則(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，令x＝0，則(0－1)7＝a0＝－1；令x＝－1，則(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，即B錯誤；12345678910111213141516a1＋a3＋a5＋a7即C正確；|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，即D正確.123456789101112131415167.若

展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____.10故n＝5.令10－5k＝0，得k＝2.123456789101112131415168.設(shè)(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則＝_____.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，123456789101112131415169.設(shè)(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；解由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.12345678910111213141516(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；解在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.12345678910111213141516(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.解由展開式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負(fù)，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.1234567891011121314151610.在(3x－2y)20的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng).12345678910111213141516(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；解設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第k＋1項(xiàng)，因?yàn)閗∈N，所以k＝8，12345678910111213141516(3)系數(shù)最大的項(xiàng).解由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，于是結(jié)合(2)可知系數(shù)最大的項(xiàng)為第9項(xiàng).12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為A.10 B.45 C.－9 D.－45√解析x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，1234567891011121314151612.在

的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則中間項(xiàng)系數(shù)是A.330 B.462 C.