2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

一.選擇題（共8小題）

γ=9?∕^cosθ

1.（2021春?南崗區(qū)校級期末）曲線I堂（。為參數(shù)）中兩焦點間的距離是（）

yzz3V2≡inθ

A.√6B.√3C,2√6D.2√3

2.（2021春?河南期中）已知圓的極坐標(biāo)方程為p=4cos（θf＞則其圓心的極坐標(biāo)為

（）

JTJr

A?(2,?)B?(2,?)C.(2,)D.(2,0)

4

3.（2021春?武侯區(qū)校級期末）極坐標(biāo)系中，直線/的方程為psin（。+工）=2與曲線C：P

3

=2的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定，與θ有關(guān)

4.（2021春?閔行區(qū)校級期中）參數(shù)方程Ix^^e~eG為參數(shù)）表示的曲線是（）

t

y=e+e^^

A.雙曲線B.雙曲線的下支

C.雙曲線的上支D.圓

5.（2021春?天山區(qū)校級期末）若將曲線x2+***6y2=l上的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼墓?，得到曲線C,則曲線C的方程為（）

2

22

AX,2?D.2y

?--τ^+4y=1B.4x+-?-=1

44

22

C?2X2+?^-=1D.-^-+2y2=l

6.（2021春?甘州區(qū)校級期中）在極坐標(biāo)系中，方程p=2表達(dá)的曲線是（）

A.線段的長度B.與極軸的夾角

C.橢圓D.圓

7.（2020秋?南昌縣期末）點尸（-√41）在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（）

A.（2,與）B,（2,9）C,（4,平）D,（4,筌）

6666

第1頁（共14頁）

8.（2021秋?東湖區(qū)校級期中）方程IX=Sinθ,表示的曲線上的一個點的坐標(biāo)是（）

ly=cos2θ

A.（2,-7）B.（1,0）C.（?,?）D.（?,2）

2233

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?東湖區(qū)校級期中）在極坐標(biāo)系中，曲線Θ=2L（peR）和曲線p=4cos0+2sinθ

4

交于1,B兩點,則M8∣=.

10.（2021秋?太原期中）曲線C：x+4y=4經(jīng)過變換（X：吻得到曲線c',則曲線C，的

lyy=3y

方程為.

22『4^x

11.（2021春?昌吉州期中）求曲線方程三__2_=1經(jīng)過伸縮變換J?后的曲線方

94K2y

程.

12.（2021春?嘉峪關(guān)校級期中）已知點Z的極坐標(biāo)為（?,2:），則它的直角坐標(biāo)

為.

三.解答題（共4小題）

13.（2021秋?平羅縣校級期中）已知直角坐標(biāo)系XQy中，已知直線/的參數(shù)方程為

（1

x=l1+^2^t

r（/為參數(shù)），以原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的

y=√3÷y-t

極坐標(biāo)方程為P=2√^sin8.

（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點/坐標(biāo)為（1,√3）.直線/與圓C交于點〃，N,求j?s?丁的值.

IAMIIANI

14.（2021秋?大通縣期中）在直角坐標(biāo)系xθ5y中，曲線C的參數(shù)方程為［、=亞。Sa（0為

Iy=4sinα

參數(shù)），以。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為P（2cosθ

-sinθ）=1,曲線E與X,y軸交點分別為4B.

（1）求曲線C的普通方程和曲線E的直角坐標(biāo)方程；

（2）點M為曲線C上一點，求aM48的面積的最大值.

15.（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期中）以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

線C的極坐標(biāo)方程為（3+sin2。）p2=12,直線/的極坐標(biāo)方程為PCOSe+2PSine+14=0.

第2頁（共14頁）

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點到/距離的最小值.

16.(2021春?運城期中)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程是,'',S0(。為

[y^√3≡i∏θ

參數(shù))，以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為PeOSe

-√3PSine=L

(1)曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點Z(1,0),若/和C的交點為。,N,求MM?⑷V∣?

第3頁(共14頁)

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?南崗區(qū)校級期末）曲線（。為參數(shù)）中兩焦點間的距離是（）

y=3√2≡inθ

A.√βB.√3C.2√βD.2√3

【考點】參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用橢圓的性質(zhì)求出結(jié)果.

【解答】解:

Y=P/Qcosθ22

曲線1…ΛS'（θ為參數(shù)）化為普通方程為：工二=1，

y=W^sin81218

則曲線表示焦點在J，軸的橢圓，W=OI-R=6,

所以2c=2√^,即兩焦點間的距離是2企.

故選：C.

【點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，主

要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?河南期中）已知圓的極坐標(biāo)方程為p=4cos（θ―）,則其圓心的極坐標(biāo)為

3）

()

兀K

?-（2,?）B-（2,?）c?(2,T)D.(2,0)

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專題】整體思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先轉(zhuǎn)化成普通方程，再求出圓心.

【解答】解：由題意知：P=4cos（θ-）,即χ2+y2=2χ+2百y，

所以圓心坐標(biāo)為（1，√5）,可得圓心的極坐標(biāo)為（2,2L）,

3

故選：B.

【點評】本題考查極坐標(biāo)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于難題.

第4頁（共14頁）

3.（2021春?武侯區(qū)校級期末）極坐標(biāo)系中，直線/的方程為psin（O+?L）=2與曲線C：P

3

=2的位置關(guān)系為（）

A.相交B,相切

C.相離D.不確定，與。有關(guān)

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】首先把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點到直線的距離公式的應(yīng)

用判斷直線與圓的位置關(guān)系.

'x=Pcosθ

【解答】解：直線/的方程為PSin=2,根據(jù)，y=Psinθ轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方

3［χ2÷y2=P2

程《y^?χ=2,

整理得FX3-4=0；

曲線C：p=2,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為χ2+y2=4,

利用圓心（0,0）到直線yx÷y-4=0的距離d=∣0+,-4∣=2=r,

故直線與圓相切：

故選：B.

【點評】本題考查的知識要點：極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位

置關(guān)系系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

_t-t

4.（2021春?閔行區(qū)校級期中）參數(shù)方程］x~θ"e（/為參數(shù)）表示的曲線是（）

y=et+e^t

A.雙曲線B.雙曲線的下支

C.雙曲線的上支D.圓

【考點】參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接把兩式平方作差消去參數(shù)/,注意y的范圍，即可得到曲線的形狀.

f_t-t

【解答】解：由［x-e*c為參數(shù)），

tt

ly=e+e^

第5頁（共14頁）

兩式平方作差可得，V-/=%

又??？=￡+.，＞(),

,tT

X-e-e

???參數(shù)方程4（/為參數(shù)）表示的曲線是雙曲線f=4的上支.

y-e÷e

故選：C.

【點評】本題考查參數(shù)方程化普通方程，注意y的范圍是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

5.（2021春?天山區(qū)校級期末）若將曲線/+y2=l上的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼墓?，得到曲線C,則曲線C的方程為（）

2

22

A?-^τ-+4y2=lB.4X2+^-=1

44

22

C?2X2-?-=1D?-^-+2y2=l

乙乙

【考點】平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：4設(shè)曲線x2+y2=1上的點為（x,y）,曲線C上的點為（Ky）,

x'=2xX=?χ'

則《/1，得＜

y

Wyy=2y'

代入曲線F+/=I,

/2

得氣一+4yyI],

2C

即曲線C的方程是γ+4y2=ι.

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021春?甘州區(qū)校級期中）在極坐標(biāo)系中，方程p=2表達(dá)的曲線是（）

A.線段的長度B.與極軸的夾角

C.橢圓D.圓

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

第6頁（共14頁）

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】把方程p=2兩邊平方，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角

坐標(biāo)方程，則答案可求.

【解答】解：由p=2,得p2=4,

又p2=x2+y2,.'.χ2+y2-4,

則方程p=2表達(dá)的曲線是圓.

故選：D.

【點評】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.

7.（2020秋?南昌縣期末）點尸（-√W1）在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（）

A.（2,與）B.（2）?）C.（4,胃）D.（4,?）

【考點】點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求出極徑與極角，即可得到結(jié)果.

【解答】解：點P（-√5,1）在極坐標(biāo)系中，極經(jīng)為：J（7ξ）2+]2=2,點在第二象

限，

NPOX=52L,

6

所以點P（-√5,1）在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（2,I2L）.

6

故選：A.

【點評】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，是基本知識的考查.

8.（2021秋?東湖區(qū)校級期中）方程（x=sinθ,表示的曲線上的一個點的坐標(biāo)是（）

ly=cos2θ

A.（2,-7）B.（1,0）C.（?,?）D.（?,2）

2233

【考點】參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先利用二倍角公式將參數(shù)方程化成普通方程，再將選項中點逐一代入驗證即可.

2z

【解答】解：cos2θ=l-2sinθ=l-2x=yf

方程[x=sinS,（0為參數(shù)且OeR）表示/=JL（I-/，

[y=cos2θ2

將點代入驗證得C適合方程，

第7頁（共14頁）

故選：C.

【點評】本題主要考查了拋物線的參數(shù)方程化成普通方程，解題的關(guān)鍵是消參，屬于基

礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021秋?東湖區(qū)校級期中）在極坐標(biāo)系中，曲線O=N（peR）和曲線p=4cos0+2sine

4

交于4,8兩點，則MBl=_3&_.

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】首先把方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用點到直線的距離公式的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)

用求出結(jié)果.

'x=Pcosθ

【解答】解：曲線θ??,根據(jù)，y=Psinθ轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為X=y:

4lχ2÷y2=P2

'x=Pcosθ

曲線p=4cosθ+2sinθ根據(jù)＜V=PSinθ轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x+2y,整理得（X

,χ2+y2=P2

-2）2+（?-1）2=5,

圓心（2,I）到直線X-y=0的距離

√22

所以IABl=2?5^I=3√2

故答案為：3

【點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，點到

直線的距離公式的應(yīng)用，勾股定理，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中

檔題.

10.（2021秋?太原期中）曲線C：x+4y=4經(jīng)過變換E.得到曲線c',則曲線C'的

ly'=3y

方程為3x+8y-24=0.

【考點】平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

第8頁（共14頁）

x，

【解答】解：曲線C：x+4y-4=0,根據(jù)《,得至U+4?2_4=0,整理得

23

3x+8y—24=0；

故答案為：3x+8y-24=0.

【點評】本題考查的知識要點：曲線的伸縮變換，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬于基礎(chǔ)題.

_1

XX

223

11.（2021春?昌吉州期中）求曲線方程A--M=I經(jīng)過伸縮變換?后的曲線方程

1

yy

2

X2y2=]

【考點】平面直角坐標(biāo)釉中的伸縮變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用伸縮變換的應(yīng)用求出曲線的方程.

xy

x'=?fx=3χ22

【解答】解：把《轉(zhuǎn)換為I代入整理得：x2-√=l.

/卷y?2/94

故答案為：F-/=1.

【點評】本題考查的知識要點：伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2021春?嘉峪關(guān)校級期中）已知點力的極坐標(biāo)為（相，"），則它的直角坐標(biāo)為

3

r√33、

（丁，萬）一

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

【解答】解：4的極坐標(biāo)為（?&，空?）,

3

'x=Pcosθ

根據(jù)，y=Psinθ,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為（型，3）.

22222

ιx÷y=P

第9頁（共14頁）

故答案為：（巫，3）.

【點評】本題考查的知識要點：極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的運算能

力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

Ξ.解答題（共4小題）

13.（2021秋?平羅縣校級期中）已知直角坐標(biāo)系XQy中，已知直線/的參數(shù)方程為

（1

x=l1+^2^t

r（f為參數(shù)），以原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的

y=√3÷y-t

極坐標(biāo)方程為P=2√ξsin8.

（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）設(shè)點/坐標(biāo)為（1,√3）;直線/與圓C交于點M，M求以一rgJLτ的值.

IAMIIANI

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【分析】（1）把R=2√Esin8兩邊同時乘以p,然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式

可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用配方法可得圓C的直角坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）把直線/的參數(shù)方程代入圓C的方程，可得關(guān)于f的一元二次方程，求解f值，即

可得到11的值.

TAMT4TANJ

【解答】解：(1)由P=2V3≡in8,得p2=2?>∕3Psinθ，

又P?=/+/,y=psinθ，.?.χ2+y2-2^ξy=o,

則圓C的直角坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程為χ2+（丫_孤）2=3；

（1

χ=λl+yt

（2）把直線/的參數(shù)方程［r（，為參數(shù)）代入圓C的方程，

y=√3÷V-t

可得Z?-2=0.

設(shè)/〃、/N對應(yīng)的參數(shù)分別為八，⑵

解得力=1,/2=-2（或Zl=-2,￡2=1），

則Ld3

IAMIIANII22

【點評】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查運算求解能

第10頁（共14頁）

力，是基礎(chǔ)題.

14.(2021秋?大通縣期中)在直角坐標(biāo)系xθ5y中，曲線C的參數(shù)方程為［、=亞。Sa(0為

Iy=4sinα

參數(shù))，以。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為P(2cosθ

-sinθ)=1,曲線E與X,y軸交點分別為4B.

(1)求曲線C的普通方程和曲線E的直角坐標(biāo)方程；

(2)點"為曲線C上一點，求aK48的面積的最大值.

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

(2)利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和點到直線的距離公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及

三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：(I)曲線C的參數(shù)方程為［x=4c。SaQ為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為普通方程為f+f

(y=4si∏Q?

=16；

'x=Pcosθ

曲線E的極坐標(biāo)方程為p(2cos。-Sine)=1,根據(jù),y=Psinθ,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方

,χ2+y2=P2

程為2χ-y-1=0.

(2)由(1)知曲線E的直角坐標(biāo)方程為2「卜-1=0；

令X=O得Uy=-1,令y=0,得X=-L,

2

所以/(?,0),B(0,-1),

所以MBl=返；

2

設(shè)Λ∕(4cosθ,4sinθ),

則點M到直線AB的距離d='cos8-滋in8ZLL=J4√ξsin(8-α)|,

√5√5

+

當(dāng)sin(θ-α)=-I時，d=Wl1,

m2κ√5_

所以1的最大值為工?∣abI?d=IX近■義嶂+ι=√^J?

【點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，點到

直線的距離公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角形

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的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

15.(2021秋?靖遠(yuǎn)縣期中)以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

線C的極坐標(biāo)方程為(3+sin2θ)P2=12,直線/的極坐標(biāo)方程為PCOSe+2PSine+14=0.

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點到/距離的最小值.

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

(2)利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

'x=Pcosθ

【解答】解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為(3+sin2θ)p2=12,根據(jù)，y=P≡i∏θ,轉(zhuǎn)

,χ2+y2=P2

22

換為直角坐標(biāo)方程為江4=1；

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x=Pcosθ

直線/的極坐標(biāo)方程為PCoSe+2PSine+14=0,根據(jù)，y=Psinθ,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程

,χ2÷y2=P2

為x+2y+14=0.

(