2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第二冊試題4-1數(shù)列（第2課時(shí)）

4.1數(shù)列(第2課時(shí))(分層作業(yè))(夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=八:二:3,"≤7,若｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列,

a,n>∕

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是(????).

A.(3,6)B.(1,2)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】D

【分析】結(jié)合數(shù)列單調(diào)性列式求解.

'3-a>0

【詳解】由題意可得,解得2<“<3

7(3-α)-3</

故選：D.

2.(2022?黑龍江?哈師大附中高二期中)已知數(shù)列｛《,｝滿足q=2,4,M=詈L，其前“項(xiàng)和為則

TJ5=(????)

131

A.-----B.-5C.3D.一

33

【答案】B

【分析】根據(jù)首項(xiàng)和遞推公式求出數(shù)列前五項(xiàng)，判斷出數(shù)列為周期數(shù)列，根據(jù)周期性即可求幾.

【詳解】數(shù)列｛叫滿足囚=2,%M=警，

1一?！?/p>

??.數(shù)列｛%｝是周期為4的周期數(shù)列,

15=4x3+3,

(5=3×(2-3——H—)÷2-3——=—5.

故選：B.

3.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))若數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S.=/-9"S∈N*),則陶尸(????)

A.20B.30C.40D.50

【答案】B

【分析】由前〃項(xiàng)和公式直接作差可得.

【詳解】數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和SI,=∕-9"("∈N*),所以

22

?0=S20-Sl9=20-9X20-19+9×19=39-9=30.

故選：B.

4.(2022.全國?高二課時(shí)練習(xí))若數(shù)列｛4｝滿足不?%…%="2("≥2),則％=(????)

94

A.9B.3C.-D.-

49

【答案】C

【分析】利用前.〃項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得名=絲q=等=g.

aλa22“4

故選：C.

5.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))如果數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和Szl滿足：S“=/+2”，那么心的值為(？??？)

A.18B.19C.20D.21

【答案】D

[S,?=1

【分析】由％=?1C、。即可求得

【詳解】由題意4。=SIo-S9=(10?+2X10)-(9?+2X9)=21

故選：D

6.(2022?北京?北師大二附中高二期中)設(shè)數(shù)列｛a,J的前”項(xiàng)和5,,=/+1,則%的值為(？??？)

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

[分析】利用an=Sn-SM“≥2)得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)，然后求解%.

2

【詳解】由S)I=/+1得，q=2,5Π,1=(∕7-1)+1,

所以α,,=S,,-S〃T=2〃-1,

[2,n=1

所以4=C.故6=2x8-1=15.

[2n-l,n≥2

02/24

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，較簡單，利用S,-e≥2)求解即可.

7.(2022?全國?高二)已知數(shù)列｛〃"｝滿足q=2,α,,=〃(％”-%)(〃eN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=

(99999)

A.2〃？？？？？？？B.(―)"C.H2+!D./7+1

n

【答案】A

【分析】由題得%k=",再利用累乘法求解.

a”n

【詳解】解：由α,,="(%+∣-%),得("+1)%=%出，

〃+1a,nn-?an-2_?-2

即馱=一,則《l二4“^-=-,n≥2,

aa1

,,nn-1〃〃-2n-2*"3'?

由累乘法可得%=〃，所以",,=2"(“≥2),

a?

乂q=2,符合上式，所以〃〃=2〃.

故選：A.

⑵22.全國?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)4=++2+++??

8.-(neN?),那么43-4,等于(????)

2n',

A.B.--------

2n+l2/?+2

11

C.--------F--------D.------------------

In+12〃+22n+l2〃+2

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，令〃=〃+1代入原式，化簡整理，即可得答案.

【詳解】q,=-L+-L+-L+-?(neN*),

/7+1/7+2n+3

11111

a,l+x+-_-_--_-_--_1L_____H---------

~~n+2〃+32n2〃+12〃+2

2-÷-L...111.)TJ-+-L+-L+?J)

…=(〃+2?3++一÷-H---------

2n2〃+12π+2∏+1〃+2n+32n

11

2H+12n+2/7+12n+l2〃+2

故選：D

9.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/（》）=，2x-l,g<x<l,若數(shù)列｛%｝滿足ɑ=：,

x-l,x≥1

α向=∕（%）（weN'）,則/磔=（????）

7c4一5-1

A.—B.—C.-D.—

3363

【答案】D

【分析】先由函數(shù)關(guān)系式及已知求得數(shù)列｛q｝從第三項(xiàng)起構(gòu)成周期為3的數(shù)列，再由周期性求解即可.

【詳解】由題意知，al=1,出=嗎卜”加=同$&=小磊%=《（）*，

所以數(shù)列｛%｝從第三項(xiàng)起構(gòu)成周期為3的數(shù)列，故%。22=%=；?

故選：D.

10.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知斐波那契數(shù)列｛a,J滿足：4=1,a2=?,all+2=an+l+all,若

aa

/+/+%+%+々9+÷51+β59=k?則仁（？？？？？）

A.2020B.2021C.59D.60

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式4+2=。向+為，將。2+%+%+%+%++%+%9依次往后遞推，即可得其結(jié)果

為?58+?59=?60,即可求得答案.

【詳解】由4+2=4,+∣+4,，+α+?

^a2+a3+a5+a1+av++a57+a59=a4+a5+a1+av+579

=aβ+a1+a9++a57+a59==α58+α59=a60,因此?=60,

故選：D

二、填空題

2an,0≤an≤^

3

11.（2022?湖北?高二階段練習(xí)）數(shù)列｛q｝滿足八q=g,則數(shù)列｛q｝的第2020項(xiàng)

2q-1，5<。“<1

為.

4

【答案】1##0.8

04/24

【分析】判斷數(shù)列｛”“｝的周期，從而求得?≡?

rs612483

αΛ

【詳解】a2=--1=-,?=-,?=->5=--1=-=∣

.、4

所以｛4｝是周期為4的周期數(shù)列，所以?=?=?=∣

4

故答案為：—

12.(2022?廣東?佛山一中高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛0"是不單調(diào)的非常數(shù)數(shù)列，且對任意〃ee(0,1),

則滿足條件的數(shù)列｛4｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為

-?,?(eos^+

【答案】4

n2+94'

【分析】根據(jù)要求直接寫出即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛0“｝是不單調(diào)的非常數(shù)數(shù)列，且對任意“eN”,”,,e((),l),則可以是:

""=7?'4=!(CoS""+2)或4=|+(-￡|.

故答案為：%=<3，；(￡：。$〃乃+2)或|+(_；).

13.(2022.全國.高二單元測試)將正奇數(shù)排列如下表，其中第，行第，個(gè)數(shù)表示為?(i,∕eN*),例如&=9,

若為=2023,則i+/=

1

35

79H

13151719

【答案】67

【分析】找到每行最后一個(gè)數(shù)的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式，確定2023位于第45行，再確定其所在的列數(shù)，從

而求出答案.

【詳解】每行最后一個(gè)數(shù)的排列為1,5,11,19,29,

第〃行最后一個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為q=〃(〃+1)-1，

其中α44=44x45-1=1979<2023,a45=45×46-l=2069>2023,

所以2023位于第45行，且(2023—1979)+2=22,

所以2023位于第45行,第22列,所以i=45,∕=22,i+∕=45+22=67.

故答案為：67

14.(2022?北京?牛欄山一中高二期中)數(shù)列｛鳳｝的前"項(xiàng)和S'=2"-1,則%=.

【答案】4

【分析】根據(jù)5“與4的關(guān)系求解即可.

32

【詳解】a3=S3-S2=(2-l)-(2-l)=4.

故答案為：4

15.(2022?浙江?高二期末)已知數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和S"=∕-2”+l,則.

【答案】7

【分析】將〃=1代入根據(jù)4=H可得出答案；當(dāng)“≥2時(shí)由4=S“-S“T，求出％,從而可得出答案.

2

［詳解］當(dāng)"=［時(shí)，?i=S1=I-2×1+1=0；

22

當(dāng)“≥2時(shí)，all=S11-5,,-l=H-2n+l-∣^(n-l)-2(n-l)+lJ=2n-3.

所以為=2x5-3=7,所以％-q=7-0=7.

故答案為：7

16.(2022?北京豐臺?高二期末)數(shù)列血｝的通項(xiàng)公式為％=p∕+”(peR),若..，則P的一個(gè)取

值為.

【答案】T(答案不唯只要滿足“P<-g''即可)

【分析】依題意可得α,,M-4<0,即可得到從而求出P的取值范圍，本題屬于開放性問題,

只需填寫合適的值即可；

【詳解】解：因?yàn)?τ=p∕+"(p∈R),旦〃向<凡，

即atl+l-an=Pe+1『+(〃+l)-(p"2+〃)=(2〃+l)p+l<0,

所以0<一J二，因?yàn)?GN*,所以當(dāng)“=1時(shí)'丁二］=-1,所以p<-!；

2〃+1I2n+Ijmin33

故答案為：T(答案不唯一，只要滿足“p<-；”即可)

06/24

17.(2022?全國?高二單元測試)數(shù)列2,0,2,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為

■A…-CΛ+l

【答案】?=2cos-y-π

【分析】先寫出-L0,1,0,T0,1,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為"=cosglπ,從而可求2,0,2,0,…的一個(gè)通

項(xiàng)公式.

H4-I

【詳解】解：-LO,1,0,-1,0,1,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=CoS羅兀,

〃+1

故2,0,2,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為4,=2CoS”-兀.

故答案為:勺=2cos等π.

三、解答題

18.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù).

⑴|,4?16

5'7'^9'

⑵-g,2_24

3,一“5

(3)3,4,3,4；

(4)6,66,666,6666.

n

【答案】⑴/=/2一

"2n+l

QM=(T)",;

3,〃=2左一1*

(3)?=(?∈N*)；

4,n=2?

2

(4)α,,=-(IO',-l).

【分析】(1)(2)(3)(4)觀察給定的4項(xiàng)，結(jié)合數(shù)據(jù)特征寫出一個(gè)通項(xiàng)作答.

(1)

4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為2,22,2',2",分母是正奇數(shù)，依次為2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,

所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=二一

2^+1

(2)

4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對值的分子依次為1,2,3,4,分母比對應(yīng)分子多1,

,,

所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為為=(-1)-L.

71+1Γ

(3)

4個(gè)項(xiàng)是第1,3項(xiàng)均為3,第2,4項(xiàng)均為4,所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為例=；(ZeN*).

[4,n=2κ

(4)

4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對應(yīng)項(xiàng)數(shù)?致，

2229

依次可寫為6寸。7),66寸。27),666=產(chǎn)-1),6666=洌川

2

所以給定4項(xiàng)都滿足的?個(gè)通項(xiàng)公式為%=?(1(Γ-1).

19.(2022.全國.高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛qj的前"項(xiàng)和S“，滿足關(guān)系Ig(S“-1)=〃(〃eN,n≥l),

求｛/｝的通項(xiàng)公式.

【答案】"19?O1≥2?

【分析】由Ig(SI〃求出S”，根據(jù)?！芭c5”的關(guān)系即可求出q.

【詳解】由Ig(S〃得∕=10"+l,

則”=1時(shí)，4=6=11；

“≥2時(shí),?=s,,-5π.l=9?κr',

當(dāng)”=1時(shí)，9?10"T=9≠q,

.JIl,"=l,

^,a"-[9?10,,'l,n≥2.

20.(2022.全國.高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛4｝是嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)〃，都有%=1+∕l",求

實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】Λ>-3

【分析】由已知可得出/+∣-α,,>0,結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)義的取值范圍.

【詳解】解：因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，所以恒成立，

2

因?yàn)椤啊?n+λn,所以(“+iy+;l("+l)>"2+zl〃恒成立，

所以∕l>-2"-l對于任意正整數(shù)〃恒成立.

而-2"-l在"=1時(shí)取得最大值-3,

所以/l>—3.

08/24

21.（2022.云南.巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)S,,為數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和，且SK=TI2?

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列4—?—的前∏項(xiàng)和T11.

【答案]⑴4,="（"wN*）

⑵北=，〃。*）

/2+1x/

[SlH=I

【分析】（I）由公式%=CL可得答案；

[5,,-?,1n≥2

（2）利用裂項(xiàng)相消求和，可得答案.

（1）

當(dāng)〃=1時(shí)，α∣=S,=1,

n(n-↑)

當(dāng)〃時(shí)，

≥2SS,-=-2-'

兩式相減可得：",,=S,-S,ι=8n+1)

--------------------=n,

22

檢驗(yàn)：當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,成立，可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：〃〃=〃.

（2）

111_?__1

由（）可知：；

167="=n(n+l)nn+?,

1n

M^,=I-→H÷L4-?=1--------=------.

〃+1n+?

Mt=an——-(π≥1),

22.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）(1)已知數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系為?(?+1)',求應(yīng)｝的

4=T

通項(xiàng)公式；

ci=\\—]〃≥2),f、

（2）已知數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系為?nln)n-'y,,求｛《,｝的通項(xiàng)公式.

.4=1

1

【答案】（1）a=--（2）a,---

nnin

【分析】（1）利用累加法即可求出通項(xiàng)公式;

（2）利用累乘法即可求出通項(xiàng)公式；

【詳解】(1)因?yàn)?用=可+不占(〃21),q=T,所以'-4」--二，

〃(〃+n/1+1

所以當(dāng)〃≥2時(shí),cιn=4+(%-O1)+÷(?-1-atl_2)+(?-an_x)

1?1111

=-11+1-----1---------1-H------------=—,

223H-Inn

當(dāng)〃=1時(shí)，也適合

所以｛α,,｝的通項(xiàng)公式為q=-L

n

(2)因?yàn)?,=(1-L]4flτ=U%τ("≥2),q=l,所以子=一,

an

Vn)nn-?

a

S、…d_〃2/n123H-I1

所以當(dāng)“≥2∏寸，a=a?--------------------=11×-×-×-××------=—.

nq%%234nn

當(dāng)72=1時(shí)，也適合，

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為

【能力提升】

一、單選題

1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列向｝為1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,

首先給出4=1,接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加該項(xiàng)的后繼數(shù)2,于是的=1,%=2,然后再復(fù)制前面所有的項(xiàng)

1,1,2,再添加2的后繼數(shù)3,于是4=1,?5=1,%=2,%=3,接下來再復(fù)制前面所有的項(xiàng)1,1,2,

1,1,2,3,再添加3的后繼數(shù)4,…，如此繼續(xù)，則?m=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題中規(guī)律得到ar_M=?(1≤?<2--1),將所求的々op逐步轉(zhuǎn)化得到?9=?即可得到答案.

【詳解】由〃I=1,。3=2,%=3,g∣5=4,

可得與」=",所以4-=?(1≤?<2--1),

a

故?I9=W6=β485="230=βl<)3=?0=?=6,2=?.

故選：A

2.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛q｝是一個(gè)遞增數(shù)列，滿足qeN*,aa=2n+l,?eN-,則α4=

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】通過已知條件，得出4=3,再由數(shù)列｛4｝是一個(gè)遞增數(shù)列，滿足qeN?,得q≤α,,=3,然后

1U/N4

分4=1、q=2、4=3三種情況討論，結(jié)合數(shù)列｛4｝的單調(diào)性，逐項(xiàng)計(jì)算出處的值.

【詳解】當(dāng)"=1時(shí)，則4=2χl+l=3,由于數(shù)列｛4｝是一個(gè)遞增數(shù)列，???4≤'=3,

QaaeN”,α∣=1或q=2或α∣=3.

①當(dāng)4=1時(shí)，則<=4=3,不合乎題意，舍去；

②當(dāng)q=2時(shí)，則%=%=3,?,=a3=5,%=%=7,

由于數(shù)列｛%｝是一個(gè)遞增數(shù)列，所以，％<%<%，由于α,,eN*,因此，4=6；

③當(dāng)卬=3時(shí)，aaι=a3=3,貝IJal=4=3,不合乎題意.

綜上所述：％=6,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵根據(jù)遞推關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，考查了分類

討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.

3.（2022.廣東.高二階段練習(xí)）如圖，第1個(gè)圖案的總點(diǎn)數(shù)記為％,第2個(gè)圖案的總點(diǎn)數(shù)記為火，第3個(gè)

圖案的總點(diǎn)數(shù)記為。3,……，依此類推，第〃個(gè)圖案的總點(diǎn)數(shù)記為4,則言+焉+言+…+7之一=

u2a3a3a4c*4a5a2021u2022

(????)

n=1n=2n=3n=4n=5

2018201920202021

A.------B.C.D.

2019202020212022

【答案】C

99111

【分析】由題意可得4=3〃-3,從而可得二丁再利用裂項(xiàng)相消求和

anan+i(3n-3)×3n(n-l)nn-1n

法可求得答案

【詳解】由題意，4=1,?rt>l,"wΛf時(shí),an=3n-3,

99111

又當(dāng)〃>1,"e”時(shí)，NΓ=(3,L3)X3"=ErHrU

…+=(1)+2)+(U)+…+μ___L_)

a2a3a3a4a4a5‰∣?022U2/\23/\34/?20202021/

T__12020

一^2021^2021'

故選：C.

4.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列｛α,J滿足α,,=√^z二T（〃eN*）,將數(shù)列｛q｝中的整數(shù)項(xiàng)按原來的

順序組成新數(shù)列也｝,則%s的末位數(shù)字為（？??？）.

A.8B.2C.3D.7

【答案】C

【分析】分別計(jì)算出｛4｝的前八個(gè)整數(shù)項(xiàng)得其末位數(shù)字成周期數(shù)列，再根據(jù)周期性求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閝=歷了（凡€N*）,

所以數(shù)列也｝為"，√9,√14,√19,√^,√29,√34,√^,√^,√^,√^,√^,√64,

整數(shù)項(xiàng)為4,囪,如,南,71萬,71而，...，

所以數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)依次為:2,3,7,8,12,13,17,18,,

末位數(shù)字分別是2,3,7,8,2,3,7,8,

即末位數(shù)字周期為4,

又因?yàn)?022=4x505+2,

故的末位數(shù)字為3.

故選：C.

5.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中，q=l,%=3,%=5,??+3=1,貝IJ

Iog5?,+Iog5α2++Iog5%）22=（????）

A.0B.1C.log,3D.Iog515

【答案】A

【分析】根據(jù)4q+3=1，可得4=4+6,則數(shù)列｛4｝是以6為周期的周期數(shù)列，再求出《出生，%%，即可

得解.

aa

（詳解］解：由nn+3=1，得4+34+6=I，

兩式相除可得%=氏+6，

所以數(shù)列｛4,J是以6為周期的周期數(shù)列，

=

乂'。2。5=?，

w

所以Iog5q+log5%++Iog5?2=Iog5（al??22）=∣og5（al??）=Iog5I=O.

12/24

故選：A.

6.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為4,=∣"-c∣,則“c<2”是“｛叫為遞增數(shù)列”的

(????)

A.必要不充分條件B.充要條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】若｛《,｝為遞增數(shù)列，則α,,M-%=K+l-dT"-d>(),可求得c<“+],即可求出c<],再由充

分條件、必要條件的定義即可求出答案.

【詳解】若｛《,｝為遞增數(shù)列，則“-α,,=∣"+l-dT”-d>O,

?)1

即(〃+l-c)>(〃")-,得c<嗚，XneN,.

133

所以"+L≥3,所以c<1,

222

所以“c<2”是“｛??｝為遞增數(shù)列''的必要不充分條件.

故選：A.

n2

7.(2022?遼寧?沈陽市第一二。中學(xué)高二期中)已知數(shù)列｛%｝滿足：?+,-?=(-l)?n(∏∈^V+).6=2,

若存在weN,使得不等式小2"≥%,成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是(????)

1343

A.λ≥-----B.Λ≥—1C.λ≥------D.Λ≥0

832

【答案】A

【分析】先根據(jù)遞推公式求得々=1，再累加求得見,,=-2川+〃+2,代入可得今≥-2**"+2后分析表達(dá)

2"

式/⑺=H]”+2的單調(diào)性與最小值即可

12aar22

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，a2-a｝=(-1)I=-L故W=L當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，∏+?~,,=??+2~?÷ι=-(^÷l),

2

兩式相加有q+2—+1)+n=-2n—1,故4=l,a4-a2=-5,a6-a4=-9,as-a6=-13,

?-?2?,2=T"+3，累力口可得出“=1一5-9-13…一4〃+3=1+(-5-4*)(〃T=_^2+〃+？，貝IJ存在

〃eN.使得不等式4.2"≥%,成立，即∕l≥-2"?j+2有解,故只需求小)=-2獷；〃+2的最小值即可

又

f(e)-小)=一2(e)；乎+1)+2_*9

=:2啜但_弋±=2]m二”“第3),故當(dāng)"=ι,2時(shí)/(“+I)一小)<o,即

/(?+1)</(?),當(dāng)〃=4,5,6,7...時(shí)/(〃+1)>/(〃)，故當(dāng)〃=3時(shí)/(〃)取得最小值

23+2

/(4)=∕(3)=-×ζ÷=-^,故〃")=-2〃；〃+2的最小值為一,,故ZlN

故選：A

二、多選題

8.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知?dú)W拉函數(shù)e(M("eN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃，且與”互

素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：S(I)=1,e(4)=2,設(shè)數(shù)列血｝中：an=φ(n)(n≡N'),貝IJ(???????)

A.數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.｛%｝的前8項(xiàng)中最大項(xiàng)為仰

C.當(dāng)〃為素?cái)?shù)時(shí)，??=?-1

t

D.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，an=^

【答案】BC

【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的概念可寫出數(shù)列｛4｝的前8項(xiàng)，根據(jù)前8項(xiàng)，可判斷選項(xiàng)A,B,D；根據(jù)H為素?cái)?shù)

時(shí)，〃與前“T個(gè)數(shù)都互素，從而可判斷選項(xiàng)C.

【詳解】由題知數(shù)列｛《J前8項(xiàng)為：1,1,2,2,4,2,6,4,不是單調(diào)遞增數(shù)列，故選項(xiàng)A錯誤；

由選項(xiàng)A可知，｛%｝的前8項(xiàng)中最大項(xiàng)為%=6,故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)”為素?cái)?shù)時(shí)，"與前"-1個(gè)數(shù)互素，故氏=〃-1,所以C對正確；

因?yàn)椋?2,故選項(xiàng)D錯誤.

故選：BC.

9.(2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試)設(shè)數(shù)列｛%｝，｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T?,5,=1,

sn+l=9S“，且bn=,則下列結(jié)論正確的是(????)

?a,,an+2

A.?l=2021B.s∕±MC.?,=1-z??D.?≤Tn-n<^-

n2n[n+2)34

【答案】ABD

【分析】對于AB,通過累乘法求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出｛〃“｝的通項(xiàng)公式，即可求解；

14/24

對于CD,通過｛α,J的通項(xiàng)公式求出｛"｝的通項(xiàng)公式，再通過裂項(xiàng)相消求，，進(jìn)而求解.

【詳解】由題意，得墨=一,

.X^×5,=j—x…31="("+1),

???當(dāng)〃≥2時(shí)，?,=-^×-^×?

SnTS“_2

S1n-?n-212

又當(dāng)“=1時(shí)S=I也符合上式,

.?.S,,=“"+?,易得見=〃，,“2021=2021,

2

故A,B正確；

2=-J2±lt=]+_1_=1+1

“44+2〃(〃+2)〃(〃+2)2(〃n+2J

T1Λ1111111111Λ111A

.?.T=〃4---1-------1------1---------1-----1-----------1--------=Hd-----1H-----------------------

〃2132435H-Iz?+lnn+2)2(2n+1n+2j

3If1IA3

=n+--------+----<〃+—,

421〃+1n+2)4

易知Z-〃｝單調(diào)遞增,

113

.?Tll-n≥Tl-l=-f.?-≤Tfl-n<-9故C錯誤，D正確.

故選:ABD.

10.(2022.江蘇南通.高二期末)已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=。[(￥)"_(粵)”],記數(shù)列｛/｝的前〃

項(xiàng)和為S,,,則下列說法正確的是(????)

A.。3=1

B.“2022是偶數(shù)

C.?S2020=。，則。2()22=。+1

D.若＜=c%+ca++G%,則存在〃使得7；能被8整除

【答案】BCD

【分析】計(jì)算出判斷A；探求數(shù)列｛4｝的性質(zhì)，尋找規(guī)律判斷B；利用數(shù)列｛4｝的性質(zhì)，結(jié)合累加法判斷

Ci取特值計(jì)算判斷D作答.

【詳解】4=1,生=4[(1)2TW)0=1，%+?=

］［（￥）"_（,），，+（I嚴(yán)TW嚴(yán)］=乎［（,），，.檸叵T萼）”.智5］

a3=al+a2=2,A不正確;

%="2+《=3,%=%+%=5,4=4+%=8，因數(shù)列｛4｝從第3項(xiàng)起的每一項(xiàng)都等于其相鄰前2項(xiàng)的和，

又勾，生都是奇數(shù)，則如必為偶數(shù)，4,%又都是奇數(shù)，4又為偶數(shù)，由此，為，6是奇數(shù)，的是偶數(shù)，照此

規(guī)律依次進(jìn)行，

i

因此，數(shù)列｛q｝中，%t.2,?τ（AeN*）是奇數(shù)，4?是偶數(shù)，而“282="674x3，。2022是偶數(shù)，B正確：

Sn∈N*,aπ+an+t=aπ+2，即aπ+2-aπ+l=a,l,

則“2022=(°2022—°2021)+(“2021^^“2020)+,+(%?42)+的=°2020+“2019++<Z∣+為=$2020+“2="+1，C正確；

CU+C?=3,7；=C?++e?ɑ?=8,顯然豈能被8整除，因此，存在〃使得，能被8

Tl=al=?,T2=12Cja2

整除，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個(gè)取值對應(yīng)數(shù)列，認(rèn)

真分析每個(gè)變量對應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

三、填空題

11.（2022.江蘇.高二期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列：1,

1,2,3,5,8,13,21,其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一

列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為｛E,｝?利用下圖所揭示的｛居｝的性質(zhì)，則在等式

m=

&22-（斤+&+…+&21）=/22書"中，-------

第1個(gè)月O

第2個(gè)月

第3個(gè)月

第4個(gè)月KXD??

第5個(gè)月???t?

第6個(gè)月?O??O?O?

【答案】2020

【分析】由題意可得工+2=工M+工，再結(jié)合累加法即可求解

16/24

【詳解】由題意,Fn+2=Fn+l+Fn,

所以^2022,EO21=(EO21+EO20)-?2O21=6θ21+^202l,^2020，

6020,^2019=^2019+^2019,6018°

居鳴=呼+用韋=^+居2,

=+

所以F2a22-^2021^2021+^2O2O∕∣9+,+B+尸I,

所以/22—(耳+6^ll^?2O2I)=?2022-^2O22,^2021=^2O22(^2O22~^2O21)=?2022'>

所以^2022-^202l=Fm,

+

所以6022=?2O21Fin,

由^2022=?2021+%20，

所以工,=8020>

所以〃?=2020,

故答案為：2020

12.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知）∈N*（i=l,2,...9）,且對任意，eN*（2≤左≤8）都有4=%+1或

4=a*+ι7中有且僅有一個(gè)成立，4=6,a9=9,則q++為的最小值為.

【答案】31

【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論求出4++%的值，即可求得4+?+%的最小值.

【詳解】解：由題設(shè)，知：ai≥l.

出=4+1或%=4一1中恰有一個(gè)成立；

4=2+1或%=4-1中恰有一個(gè)成立：

%=%+1或="9-1中恰有一個(gè)成立;

則①(?=α∣+1=7,α3=?4-1,a5=ab-l,a1=as-l,

則4+02+.+α9=25+2(<?+%+%),當(dāng)/=%=%=1時(shí)，at+a2+-+%的和為最小值為：31；

②。2=%-1，4=%-1，6=%一1，/=%-1，

則4+%+-+佝=26+2(4+4+%)，當(dāng)4=4=4=1時(shí)，al+a2++%的和為最小值為：32；

因此，al+a2+-+〃9的最小值為：31.

故答案為：31.

13.（2022?遼寧?沈陽市外國語學(xué)校高二期中）已知數(shù)列｛《｝,也｝滿足q=：,?+1=?（?+∣）,"，二七,

2.Un'1

也｝的前"項(xiàng)和為s“，前〃項(xiàng)積為7“.則S“+27；=.

【答案】2

【分析】利用累加和累乘可求,，雹,從而可求S,+2看的值.

【詳解】因?yàn)?；?/p>

4=?+la,?+1),故%>0，依次有??>。

/、,111

根據(jù)4+1=%(4+1)可得丁一尸二

uuu

nn+ltιT1

C,,,Illl11

l?S,,=bl+b2++b,,=------+------++-----

aaaaa

λ223n?+1

11C

-----------=2-----

ax4+1%ln+l

由%+1=4,(%+1)可得a=

a1

,,+??+1

從而—χ%卷χ"?χ*/

故B,+2看=2---+2×=2,

?,,+1

故答案為：2.

14.（2022?黑龍江.哈師大附中高二期中）已知數(shù)列｛α,J滿足4=1,a2n+l-a2n