七年級數(shù)學蘇科版下冊第7章《平面圖形的認識（二）》培優(yōu)提升訓練（一）【含答案】

蘇科版七年級數(shù)學下冊第7章《平面圖形的認識（二）》培優(yōu)提升訓練（一）1．如圖，線段AB∥CD，點P沿射線AC運動（不與A、C兩點重合），連接PB、PC，作PF平分∠BPD，作PE∥AB，設∠ABP＝α，∠PDC＝β．（1）如圖1，當α＜β，探究∠EPF與α、β的數(shù)量關系；（2）當點P位置發(fā)生變化時，請你利用提供的圖2、3、4繼續(xù)操作，探究（1）中的問題．2．完成下面推理過程．在括號內的橫線上填空或填上推理依據(jù)．如圖，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求證：AB∥CD證明：∵AB∥EF∴∠APE＝（）∵EP⊥EQ∴∠PEQ＝（）即∠QEF+∠PEF＝90°∴∠APE+∠QEF＝90°∵∠EQC+∠APE＝90°∴∠EQC＝∴EF∥（）∴AB∥CD（）3．已知AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．4．如圖，BD平分∠ABC，F(xiàn)在AB上，G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點H，∠3+∠4＝180°，試說明∠1＝∠2．（請通過填空完善下列推理過程）解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（）．∴∠3+＝180°（等量代換）．∴FG∥BD（）．∴∠1＝（）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝（）．∴∠1＝∠2（）．5．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．6．如圖，在△ABC中，∠B＝31°，∠C＝55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度數(shù)．7．在一個三角形中，如果一個內角是另一個內角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”．例如，三個內角分別為120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”嗎？為什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小內角的度數(shù)．8．如圖，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線．（1）求證：∠A＝2∠E；（2）若∠A＝∠ABC，求證：AB∥CE．9．已知，如圖1，射線PE分別與直線AB、CD相交于E、F兩點，∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，射線PM交CD于點N，設∠PFM＝α，∠EMF＝β，且+|β﹣30|＝0．（1）α＝°，β＝°；直線AB與CD的位置關系是；（2）如圖2，若點G是射線MA上任意一點，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖3），分別與AB、CD相交于點M1和點N1時，作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q，問在旋轉的過程中的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．10．如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）試判斷DE與BC的位置關系，并說明理由．（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度數(shù)．11．如圖，已知點E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D、F，點M、G在AB上，GF交BD于點H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，則有MD∥GF．下面是小穎同學的思考過程，請你在括號內填上依據(jù)．思考過程：因為BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D、F（已知），所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（）所以∠BDC＝∠EFC（等量代換）．所以（同位角相等，兩直線平行）．所以∠2＝∠CBD（）因為∠1＝∠2（已知），所以∠1＝∠CBD（）．所以（內錯角相等，兩直線平行），因為∠BMD+∠ABC＝180°（），所以MD∥BC（）所以MD∥GF（）12．如圖，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于點D，EF⊥CD于點F．（1）請說明AD∥BC的理由；（2）若∠ADB＝45°，求∠FEC的度數(shù)．13．如圖，已知兩條射線BP∥CQ，動線段AD的兩個端點A、D分別在射線BP、CQ上，且∠B＝∠ADC＝110°，F(xiàn)在線段AB上，AC平分∠DCF，CE平分∠BCF．（1）請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由；（2）求∠ACE的度數(shù)；（3）若平行移動AD，使∠BEC＝∠CAD，求∠CAD的度數(shù)．14．小明同學在完成七年級下冊數(shù)學第1章的線上學習后，遇到了一些問題，請你幫他解決一下．（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請說明理由．（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直線交于點E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．（3）將圖2中的線段BC沿DC所在的直線平移，使得點B在點A的右側，若∠FAD＝m°，∠ABC＝n°，其他條件不變，得到圖3，請你求出∠BED的度數(shù)（用含m，n的式子表示）．15．如圖，直線MN∥GH，直線l1分別交直線MN、GH于A、B兩點，直線l2分別交直線MN、GH于C、D兩點，且直線l1、l2交于點E，點P是直線l2上不同于C、D、E點的動點．（1）如圖①，當點P在線段CE上時，請直寫出∠NAP、∠HBP、∠APB之間的數(shù)量關系：；（2）如圖②，當點P在線段DE上時，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之間的數(shù)量關系還成立嗎？如果成立，請說明成立的理由；如果不成立，請寫出這三個角之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如果點P在直線l2上且在C、D兩點外側運動時，其他條件不變，請直接寫出∠NAP、∠HBP、∠APB之間的數(shù)量關系．參考答案1．解：（1）如圖1，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥CD∥PE，∴∠BPE＝∠ABP＝α，∠DPE＝∠PDC＝β，∵PF平分∠BPD，∴∠BPF＝∠DPF，∵∠BPF＝∠BPE+∠EPF＝α+∠EPF，∠DPF＝∠DPE﹣∠EPF＝β﹣∠EPF，∴α+∠EPF＝β﹣∠EPF，∴．（2）①當α＝β時，如圖2，此時∠EPF＝0°．②當點P在線段AC上，且α＞β時，如圖3，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥CD∥PE，∴∠BPE＝∠ABP＝α，∠DPE＝∠PDC＝β，∵PF平分∠BPD，∴∠BPF＝∠DPF，∵∠BPF＝∠BPE﹣∠EPF＝α﹣∠EPF，∠DPF＝∠DPE+∠EPF＝β+∠EPF，∴α﹣∠EPF＝β+∠EPF，∴．③當點P在點C的下方時，如圖4，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥CD∥PE，∴∠BPE＝∠ABP＝α，∠DPE＝∠PDC＝β，∵PF平分∠BPD，∴∠BPF＝∠DPF，∵∠BPF＝∠BPE﹣∠EPF＝α﹣∠EPF，∠DPF＝∠EPF﹣∠DPE＝∠EPF﹣β，∴α﹣∠EPF＝∠EPF﹣β，∴．綜上，當點P位置發(fā)生變化時，∠EPF與α、β的數(shù)量關系或．2．證明：∵AB∥EF∴∠APE＝∠PEF（兩直線平行，內錯角相等）∵EP⊥EQ∴∠PEQ＝90°（垂直的定義）即∠QEF+∠PEF＝90°∴∠APE+∠QEF＝90°∵∠EQC+∠APE＝90°∴∠EQC＝∠QEF∴EF∥CD（內錯角相等，兩直線平行）∴AB∥CD（平行于同一直線的兩直線互相平行），故答案為：∠PEF，兩直線平行，內錯角相等，90°，∠QEF，內錯角相等，兩直線平行，CD，平行于同一直線的兩直線互相平行．3．解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，∠A+∠C＝90°，故答案為：∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD+∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：2α+β+3α+3α+β＝180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．4．解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（對頂角相等），∴∠3+∠FHD＝180°（等量代換），∴FG∥BD（同旁內角互補，兩直線平行），∴∠1＝∠ABD（兩直線平行，同位角相等），∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠2（角平分線的定義），∴∠1＝∠2（等量代換），故答案為：對頂角相等，∠FHD，同旁內角互補，兩直線平行，∠ABD，兩直線平行，同位角相等，∠2，角平分線的定義，等量代換．5．解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝55°；（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．6．解：∵∠B＝31°，∠C＝55°，∴∠BAC＝94°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝47°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°，∵AD⊥BC，DF⊥AE，∴∠EFD＝∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF，∴∠ADF＝∠AED＝78°．7．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝60°，∴∠A+∠C＝120°，設最小的角為x，①當60°＝3x時，x＝20°，②當x+3x＝120°時，x＝30°，答：△ABC中最小內角為20°或30°．8．證明：（1）∵∠ACD是△ABC的一個外角，∠2是△BCE的一個外角，（已知），∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性質），∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性質），∵CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線（已知），∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分線的性質），∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代換），＝2（∠2﹣∠1）（提取公因數(shù)），＝2∠E（等量代換）；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，∴2∠E＝2∠ABE，即∠E＝∠ABE，∴AB∥CE．9．（1）證明：∵+|β﹣30|＝0，∴α＝β＝30，∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，∴∠EMF＝∠MFN，∴AB∥CD；故答案為：30；30；AB∥CD；（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．理由：∵AB∥CD，∴∠MNF＝∠PME，∵∠MGH＝∠MNF，∴∠PME＝∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∵∠GHF+∠GHM＝180°，∴∠FMN+∠GHF＝180°．（3）解：的值不變，＝2．理由：如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R．∵AB∥CD，∴∠PEM1＝∠PFN，∵∠PER＝∠PEM1，∠PFQ＝∠PFN，∴∠PER＝∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1＝∠R，設∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y(tǒng)，則有：，可得∠EPM1＝2∠R，∴∠EPM1＝2∠FQM1∴＝2．10．解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠B，∴∠5＝∠B，∴DE∥BC，（2）∵DE平分∠ADC，∴∠5＝∠6，∵DE∥BC，∴∠5＝∠B，∵∠2＝3∠B，∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠2＝108°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝72°．11．解：因為BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D、F（已知），所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義），所以∠BDC＝∠EFC（等量代換），所以BD∥EF（同位角相等，兩直線平行），所以∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等），因為∠1＝∠2（已知），所以∠1＝∠CBD（等量代換），所以BC∥GF（內錯角相等，兩直線平行），因為∠BMD+∠ABC＝180°（已知），所以MD∥GF（同旁內角互補，兩直線平行），所以DM∥BC（平行于同一條直線的兩條直線平行）；故答案為：垂直的定義；BD∥EF；兩直線平行，同位角相等；等量代換；BC∥GF；已知；同旁內角互補，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行．12．解：如圖所示：（1）AD∥BC的理由如下：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）；（2）∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，又∵BD⊥CD．EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠FEC，∴∠FEC＝45°．13．解：（1）結論：AD∥BC．理由：∵BP∥CQ，∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，∵∠ADC+∠DCB＝110°+70°＝180°，∴AD∥BC．（2）∵AC平分∠DCF，CE平分∠BCF，∴∠ACF＝∠DCF，∠FCE＝∠FCB，∴∠ACE＝∠ACF+∠FCE＝∠DCF+∠FCB＝∠DCB＝×70°＝35°．（3）設∠ACD＝x，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE＝35°+x，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝70°﹣x，則有35°+x＝（70°﹣x），解得x＝28°，∴∠CAD＝70°﹣28°＝42°．14．解：（1）如圖1中，作EF∥AB，則有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如圖2，過點E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠FAD＝50°，