2022年北京北師大亞太實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年北京北師大亞太實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2011?遼寧校級(jí)模擬）已知m、n、s、t為正數(shù)，m+n=2，=9其中m、n是常數(shù)，且s+t最小值是，滿足條件的點(diǎn)（m，n）是橢圓=1一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為（）A．x﹣2y+1=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0參考答案：D【考點(diǎn)】：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由題設(shè)知（）（s+t）=n+m+≥=，滿足時(shí)取最小值，由此得到m=n=1．設(shè)以（1，1）為中點(diǎn)的弦交橢圓=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)從坐標(biāo)公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直線方程．解：∵sm、n、s、t為正數(shù)，m+n=2，=9，s+t最小值是，∴（）（s+t）的最小值為4∴（）（s+t）=n+m+≥=，滿足時(shí)取最小值，此時(shí)最小值為=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．設(shè)以（1，1）為中點(diǎn)的弦交橢圓=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)從坐標(biāo)公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k=，∴此弦所在的直線方程為，即x+2y﹣3=0．故選D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式和點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．2.若拋物線的準(zhǔn)線方程為x=–7,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）（A）x2=–28y

（B）y2=28x（C）y2=–28x

（D）x2＝28y參考答案：B3.下列雙曲線中，漸近線方程為y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由雙曲線方程﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得到答案．【解答】解：由雙曲線方程﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，由A可得漸近線方程為y=±2x，由B可得漸近線方程為y=±x，由C可得漸近線方程為y=x，由D可得漸近線方程為y=x．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．4.顯示屏有一排7個(gè)小孔可顯示0或1，若每次顯示其中3個(gè)小孔且相鄰的兩孔不能同時(shí)顯示，則該顯示屏能顯示信號(hào)的種數(shù)共有（

）A.10；

B）48；

C）60；

D）80參考答案：D略5.設(shè)F1和F2為雙曲線y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是（

）A.

B.1 C.2

D.參考答案：B6.4個(gè)人各寫一張賀卡放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，取法種數(shù)為

（

）A．6

B．9

C．11

D．23參考答案：B7.下列結(jié)論正確的是（

）A．若a>b，則ac>bc

B．若a>b，則a2>b2

C．若a>b,c<0，則a+c<b+c

D．若>，則a>b參考答案：D8.已知條件p：x≤1，條件q：＜1，則p是?q成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先求出條件q和?q的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴?q：0≤x≤1．∴p是?q成立必要不充分條件．故選B．9.橢圓的焦距為（）A．10 B．5 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得a2=16，b2=9．再根據(jù)橢圓基本量的關(guān)系得c==，由此即可得到該橢圓的焦距．【解答】解：∵橢圓方程為∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得橢圓的焦距等于2c=2故選：D10.已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在

軸上，那么

的值為A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

．參考答案：4【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義，求解即可．【解答】解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣1，∵拋物線y2=4x上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，∴根據(jù)拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，∴可得所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．故答案為：4．12.已知0<x<1，則x2(1－x)的最大值是 。參考答案：13.如圖所示，機(jī)器人亮亮從A地移動(dòng)到B地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從A移動(dòng)到B最近的走法共有種．參考答案：80【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】分步計(jì)算，第一步A→C最近走法有2種；第二步C→D最近走法有C36=20種；第三步D→B最近走法有2種，利用乘法原理可得結(jié)論．【解答】解：分步計(jì)算，第一步A→C最近走法有2種；第二步C→D最近走法有C36=20種；第三步D→B最近走法有2種，故由A→B最近走法有2×20×2=80種．故答案為：80．14.已知為一次函數(shù)，且，則=__________________.參考答案：略15.已知一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入的與時(shí)，則輸出的兩個(gè)值的和為

．參考答案：16.已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于

參考答案：解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。17.若直線與直線垂直，則________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)的與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項(xiàng)；(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．參考答案：（1）1；（2）；（3）.【分析】（1）已知的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是，由此關(guān)系建立起方程，求出；(2)由（1)，利用展開式中項(xiàng)的公式,令的指數(shù)為解出,即可得到的項(xiàng)；(3)利用,得出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】解：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為C·(－2)4，第三項(xiàng)的系數(shù)為C·(－2)2，則，化簡(jiǎn)得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1.(2)通項(xiàng)公式Tr＋1＝C()8－r＝C(－2)rx－2r，令－2r＝，則r＝1.故展開式中含的項(xiàng)為.(3)設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r＋1項(xiàng)，第r＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，若第r＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則解得5≤r≤6.又T6的系數(shù)為負(fù)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1792x－11由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.19.從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(jī)(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題：這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率(分及以上為及格)．估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值.參考答案：解：頻數(shù)是15，頻率是及格率是平均值為：略20.（本小題滿分12分）已知.（1）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)一切正整數(shù)均成立.參考答案：（1）。若，則，時(shí)，。此時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)?！?/p>

時(shí)，。符合要求。

……2分若，則方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根，設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為，，且。∴

時(shí)，。在區(qū)間上為減函數(shù)，。∴

不符合要求?！?/p>

的取值范圍為。

……5分（2）由（1）知，時(shí)，不等式恒成立?！?/p>

時(shí)，恒成立。令（），得，整理得。

……7分∴

。令，2，3，…，，得，，，…，?！?分將上述個(gè)不等式的左右兩邊分別相加，得?！?/p>

對(duì)一切正整數(shù)均成立?！?2分21.設(shè)雙曲線的半焦距為c，已知直線l過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線l的距離為，求此雙曲線的離心率．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求出直線l的方程，利用原點(diǎn)到直線l的距離為，及又c2=a2+b2，求出離心率的平方e2，進(jìn)而求出離心率．【解答】解：由題設(shè)條件知直線l的方程為即：ay+bx﹣ab=0∵原點(diǎn)O到直線l的距離為∴又c2=a2+b2∴從而16a2（c2﹣a2）=3c4∵a＞0∴3e4﹣16e2+16=0解得：e2=4或∵0＜a＜b∴∴e2=4又e＞1所以此雙曲線的離心率為222.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積最大時(shí)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由橢圓的離心率和通徑長(zhǎng)及a2﹣b2=c2聯(lián)立求出a，b的值，則橢圓方程可求；（2）由題意設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離公式求出原點(diǎn)O到直線l的距離，利用換元法借助于不等式求出面積取最大值時(shí)的直線的斜率，從而求出直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)．【解答】解：（1）由，又過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線