廣東省東莞市市實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省東莞市市實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.集合,則集合P∩Q的交點個數(shù)是（

）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個參考答案：B【分析】在同一坐標系中，畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象，即可求解，得到答案?！驹斀狻坑深}意，在同一坐標系中，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖象看出，和只有一個交點，所以的交點個為1，故選：B．【點睛】本題主要考查了集合的交集，以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，其中解答中在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。2.已知兩條直線l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，則滿足條件a的值為（）A． B． C．﹣2 D．2參考答案：C【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)兩直線平行，直線方程中一次項系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項之比，求得a的值．【解答】解：根據(jù)兩條直線l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故選C．【點評】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行，直線方程中一次項系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項之比，屬于基礎(chǔ)題．3.函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數(shù)t的最小值是(

)A．20

B．18

C．3

D．0參考答案：A4.極坐標方程

表示的曲線為（

）A、極點

B、極軸

C、一條直線

D、兩條相交直線參考答案：D5.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則（）A.

B．

C．

D．參考答案：A6.如圖，橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為(

)A．8B．2C．4D．參考答案：C7.設(shè)命題則為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C8.直線：3x-4y-9=0與圓：，(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是(

)A.相切

B.相離

C.直線過圓心

D.相交但直線不過圓心參考答案：D略9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，且f()=0，則不等式f(logx)>0的解是（

）（A）(，1)

（B）(2，+∞)

（C）(0，)∪(2，+∞)

（D）(，1)∪(2，+∞)參考答案：C10.某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為，則橢圓()的離心率的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點A（2,2）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點的坐標為______________.參考答案：（3，1）略12.若函數(shù)，(－2<x<14)的圖象與x軸交于點A，過點A的直線與函數(shù)的圖象交于B、C兩點，則＝.(其中O為坐標原點)參考答案：7213.實數(shù)x，y滿足條件，則的最大值為______參考答案：1214.(2x＋3)dx=

。參考答案：415.已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為.參考答案：16.已知且，則xy的最大值為__________.參考答案：

17.已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），若z1﹣z2為純虛數(shù)，則實數(shù)a=

．參考答案：﹣1【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求得a值．【解答】解：∵，，∴z1﹣z2=（a2﹣a﹣2）+（a2+a﹣6）i，由z1﹣z2為純虛數(shù)，得，解得a=﹣1．故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面AA1D1D為矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分別為A1B1、CC1的中點，且AA1=CD=2，AB=AD=1．（1）求證：EF∥平面A1BC；（2）求D1到平面A1BC1的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）取A1B的中點O，連接OE，OC，證明四邊形OECF是平行四邊形，可得EF∥OC，即可證明EF∥平面A1BC；（2）利用等體積法求D1到平面A1BC1的距離．【解答】（1）證明：取A1B的中點O，連接OE，OC，則OE平行且等于BB1，∵F為CC1的中點，∴CF平行且等于CC1，∴OE平行且等于CF，∴四邊形OECF是平行四邊形，∴EF∥OC，∵EF?平面A1BC，OC?平面A1BC，∴EF∥平面A1BC；（2）解：△A1BC1中，A1B=A1C1=，BC1=，∴面積為=．設(shè)D1到平面A1BC1的距離為h，則×h=∴h=．即D1到平面A1BC1的距離為．【點評】本題考查線面平行的判斷，考查點到平面的距離，正確求體積是關(guān)鍵．19.已知正方形的頂點坐標分別為。（1）求邊所在直線的方程；（2）若正方形的四個頂點都在圓上，求圓的標準方程。參考答案：（1）由………………3分直線平行于，且過，所以直線的方程為；…………………6分（2）圓心顯然應(yīng)在的中點處，記為，………………9分，所以圓的標準方程為。………13分略20.(本題滿分12分)在如圖的直三棱柱中，，點是的中點.(1)求證：∥平面；(2)求異面直線與所成的角的余弦值；(3)求直線與平面所成角的正弦值；參考答案：解：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，所以兩兩互相垂直，。如圖以為坐標原點,直線分別為軸、軸、軸建立空間直角標系，

……………2分則，

.（1）設(shè)與的交點為，連接,則則

∴∥，∵內(nèi)，平面∴∥平面

；……………4分（2）∵

∴，.

…6分∴；∴所求角的余弦值為

.

………8分（3）設(shè)平面的一個法向量，則有：

，解得，………….10分設(shè)直線與平面所成角為.則

所以直線與平面所成角的正弦值為……..12分略21.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx；g（x）=．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）求證：若a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，當(dāng)a＞1時，對于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）推導(dǎo)出，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（2）當(dāng)a=e時，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由，a＞1時，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，，∵x＞0，∴當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時，若x＞，則f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，若0＜x＜，則f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是減函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時，f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，）上是減函數(shù)．證明：（2）當(dāng)a=e時，f（x）=ex﹣lnx，∴，∴x∈[1，e]時，f′（x）＞0恒成立．f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f（x）min=f（1）=e，令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，則H′（x）=，x∈[1，e]時，H′（x）≤0，∴H（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，H（x）max=H（1）=e，∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．故a=e（e是自然常數(shù)），當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．解：（3）∵，a＞1時，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]時，h′（x）＞0，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，∴，∴．∴a的取值范圍是[2，e+]．22.（本題滿分12分）已知矩形ABCD的中心與原點重合，且對角線BD與x軸重合，AB所在的直線方程為，．求矩形各頂點的坐標．參考答案：解：AB所在的直線方程為令y=0得B點坐標為，……2分所以D點坐標為

…………4分設(shè)A點坐標為（x，y）,則C(-x,-y)由|AD|=|BC|=則

①