2024北京高三期末新定義匯編（學(xué)生版+教師版）

2024北京高三期末新定義匯編1.（2024.1豐臺(tái)區(qū)高三期末21）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．（1）判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②（2）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；（3）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．2.（2024.1西城區(qū)高三期末21）給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.3.（2024.1大興區(qū)高三期末21）若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.（1）判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；（2）若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項(xiàng)；（3）若是數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，使得.4.（2024.1海淀區(qū)高三期末21）21.對(duì)于給定的奇數(shù)，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第列的數(shù)，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，其中.記.設(shè)集合或，記為集合所含元素的個(gè)數(shù).（1）對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表，，寫出，，，的值；（2）若中恰有個(gè)正數(shù)，中恰有個(gè)正數(shù).求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值.5.（2024.1朝陽區(qū)高三期末21）21.已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.（1）若，寫出及的值；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)集合，求證：且.6.（2024.1東城區(qū)高三期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求值；（2）設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；（3）把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對(duì)任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.7.（2024.1石景山區(qū)高三期末21）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列；（2）證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；（3）數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．8.（2024.1昌平山區(qū)高三期末21）已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集．（1）若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說明理由；（2）若，證明：；（3）設(shè)，若，求的最小值．（2024.1通州區(qū)高三期末21）已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.10.（2024.1房山區(qū)高三期末21）若無窮數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.

2024北京高三期末新定義匯編1.（2024.1豐臺(tái)區(qū)高三期末21）對(duì)于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對(duì)每一個(gè)，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．（1）判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②（2）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；（3）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．【答案】（1）、均是周期數(shù)列，數(shù)列周期為1（或任意正整數(shù)），數(shù)列周期為6（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由周期數(shù)列的定義求解即可；（2）由“同根數(shù)列”的定義求解即可；（3）是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件,其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．【小問1詳解】、均是周期數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以?shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）．因，所以．所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）．【小問2詳解】假設(shè)不成立，則有，即對(duì)于，都有．因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)椋?，所以．所以，所以，與的最小值是3矛盾．所以．【小問3詳解】當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對(duì)于，都有．因?yàn)?，所以，即，及．又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明存在數(shù)列滿足條件．取及，對(duì)于，都有．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件．假設(shè)，即對(duì)于，都有．因?yàn)?，所以，即，及．又時(shí)，，所以，與的最小值是矛盾．其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．取及，對(duì)于，都有．綜上，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的最大值為；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題(3)的突破口是利用“同根數(shù)列”的定義分類討論，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，首先證明不存在數(shù)列滿足條件，其次證明存在數(shù)列滿足條件.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，首先證明時(shí)不存在數(shù)列滿足條件，其次證明時(shí)存在數(shù)列滿足條件．2.（2024.1西城區(qū)高三期末21）給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.【答案】（1）或（2）證明詳見解析（3）【解析】【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【小問1詳解】依題意，當(dāng)，時(shí)有：或.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，又因?yàn)?，所以只有?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.【小問3詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為.對(duì)奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：，，……，，每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列中，所以，其次，對(duì)每個(gè)不大于的偶數(shù)，將如下個(gè)數(shù)對(duì)并一組：，共得到組，將這組對(duì)數(shù)以及，按如下方式補(bǔ)充到的后面，即.此時(shí)恰有項(xiàng)，所以.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3.（2024.1大興區(qū)高三期末21）若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.（1）判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；（2）若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項(xiàng)；（3）若是數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，使得.【答案】（1）數(shù)列，不是數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）代入定義計(jì)算即可得；（2）借助題目條件，借助放縮將等式轉(zhuǎn)換為不等式后結(jié)合數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)即可得；（3）由題意將表示出來后，使用放縮技巧，通過放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和以表示出與有關(guān)不等式即可證明.【小問1詳解】是數(shù)列，不是數(shù)列，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，則，故是數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，則，故不是數(shù)列；【小問2詳解】若是數(shù)列，則且，此時(shí)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，當(dāng)時(shí)，則總存在正整數(shù)，使，與矛盾，故恒成立，，有，，即，，有，則，由隨的增大而增大，故總存在正整數(shù)使，即數(shù)列中存在小于1的項(xiàng)；【小問3詳解】由（2）得，故，即，則，由隨的增大而增大，且時(shí)，，故對(duì)任意的，總存在正整數(shù)使，即總存在正整數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是通過放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和以表示出與有關(guān)不等式.4.（2024.1海淀區(qū)高三期末21）21.對(duì)于給定的奇數(shù)，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第列的數(shù)，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，其中.記.設(shè)集合或，記為集合所含元素的個(gè)數(shù).（1）對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表，，寫出，，，的值；（2）若中恰有個(gè)正數(shù)，中恰有個(gè)正數(shù).求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1），；，（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）按定義求出，，，，進(jìn)行求解即可.（2）分兩種情況進(jìn)行證明，即①或，②且分別證明即可.（3）因?yàn)?，分情況討論①若或時(shí)；②若或；③若，進(jìn)行求解.【小問1詳解】，；，.由定義可知：將數(shù)表中的每個(gè)數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行（列），，的值不變.因?yàn)闉槠鏀?shù)，，所以，均不為0.【小問2詳解】當(dāng)或時(shí)，不妨設(shè)，即，.若，結(jié)論顯然成立；若，不妨設(shè)，，則，，.所以，結(jié)論成立當(dāng)且時(shí)，不妨設(shè)，，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，，所以.所以.同理可得：，，.所以.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，的最小值為.對(duì)于如下的數(shù)表，.111111111下面證明：.設(shè)中恰有個(gè)正數(shù)，中恰有個(gè)正數(shù)，.①若或，不妨設(shè)，即，.所以當(dāng)時(shí)，.由中所有數(shù)不全相同，記數(shù)表中1的個(gè)數(shù)為，則，且，.所以.②由①設(shè)且.若或，不妨設(shè)，則由（2）中結(jié)論知：.因?yàn)?，所?③由①②設(shè)且.若，則由（2）中結(jié)論知：.因?yàn)椋?若，，不妨設(shè)，，，且，由（2）中結(jié)論知：.所以.若數(shù)表中存在為1，將其替換為后得到數(shù)表.因?yàn)椋?，所?所以將數(shù)表中第行第列為1的數(shù)替換為后值變小.所以不妨設(shè).因?yàn)椋?，所以，故的最小值?5.（2024.1朝陽區(qū)高三期末21）21.已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.（1）若，寫出及的值；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)集合，求證：且.【答案】（1），，，（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)集合新定義求出前幾項(xiàng)判斷即可；（2）通過集合新定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，然后利用反證法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求得，利用等差數(shù)列定義求解通項(xiàng)公式即可；（3）先利用集合性質(zhì)得數(shù)列是遞增數(shù)列，然后利用反證法結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明，由集合新定義及集合相等證明．【小問1詳解】因?yàn)椋?，則，所以，，又，所以，，所以；【小問2詳解】由題可知，所以，所以.若，則，，所以，，與是等差數(shù)列矛盾.所以.設(shè)，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.假設(shè)存在使得.設(shè)，由得.由得，，與等差數(shù)列矛盾.所以對(duì)任意都有.所以數(shù)列是等差數(shù)列，.【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)于，，所以.所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列.先證明.假設(shè)，設(shè)正整數(shù).由于，故存在正整數(shù)使得，所以.因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.所以，.所以，.又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，矛盾.所以.再證明.由題可知.設(shè)且，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以存在正整數(shù)，使得.令.若，則，即，所以.所以，所以.若，則，所以.所以，所以.因?yàn)?，所?所以.綜上，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.6.（2024.1東城區(qū)高三期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求值；（2）設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；（3）把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對(duì)任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.【答案】（1）2；2；4（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)定義可得；（2）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義和等差數(shù)列的定義可得.（3）分、和三種情況討論即得.【小問1詳解】由已知可得數(shù)列共有5項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，【小問2詳解】數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，令，可得，設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，所以這項(xiàng)均為數(shù)列A中的項(xiàng)，且，因此一定有即，這說明：為公差為的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性質(zhì)，以及可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)A：，，，，，由于數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足，由和，得，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)：，，此時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，同理可證，所以結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：綜上所述，符合題意.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.7.（2024.1石景山區(qū)高三期末21）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列；（2）證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；（3）數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．【答案】（1），，，（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的數(shù)列相關(guān)條件即可得出所有的數(shù)列；（2）利用反證法，假設(shè)不存在使得成立，得出與假設(shè)不成立，即可得出結(jié)論；（3）通過證明得出為單調(diào)遞增，再通過為單調(diào)遞增數(shù)列證明為單調(diào)遞增數(shù)列，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列為：，，，【小問2詳解】由題意，假設(shè)不存在使得成立，根據(jù)數(shù)列定義可知，，所以，則，即，所以，所以，這與已知矛盾，故若此數(shù)列中存在使得，則存在使得成立．【小問3詳解】由題意，必要性：，，，則．因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)所有的，或，否則．因此，所有的同號(hào)或?yàn)?，即，所以為單調(diào)遞增數(shù)列．充分性：因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，，且，所以只能，所以同號(hào)或?yàn)椋詫?duì)所有的，或，所以．所以，即為單調(diào)遞增數(shù)列．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義，數(shù)列的單調(diào)性證明，反證法，考查學(xué)生的分析證明能力，具有較強(qiáng)的綜合性.8.（2024.1昌平山區(qū)高三期末21）已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集．（1）若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說明理由；（2）若，證明：；（3）設(shè)，若，求的最小值．【答案】21.31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)，理由見解析；22.證明見解析；23.8【解析】【分析】（1）根據(jù)定義賦值及數(shù)列求和計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)定義判定則有，從而可知，利用集合間的基本關(guān)系得出中最多含有個(gè)元素，解不等式即可證明；（3）利用第二問的結(jié)論可設(shè)，有，然后利用定義先證為可表數(shù)，再根據(jù)三進(jìn)制的基本事實(shí)確定的最小值為滿足成立的，代入求即可.【小問1詳解】31是，1024不是，理由如下：由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，顯然若時(shí)，，而，故31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)；【小問2詳解】由題意可知若，即，設(shè)，即使得，所以，且成立，故，所以若，則，即中的元素個(gè)數(shù)不能超過中的元素，對(duì)于確定的，中最多有個(gè)元素，所以；【小問3詳解】由題意可設(shè)，使，又，所以，即，而，即當(dāng)時(shí)，取時(shí)，為可表數(shù)，因?yàn)?，由三進(jìn)制的基本事實(shí)可知，對(duì)任意的，存在，使，所以，令，則有，設(shè)，由的任意性，對(duì)任意的，都有，又因?yàn)椋詫?duì)于任意的，為可表數(shù)，綜上，可知的最小值為，其中滿足，又當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問關(guān)鍵是根據(jù)定義可確定中元素互為相反數(shù)，再利用集合間的基本關(guān)系確定元素個(gè)數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可；第三問利用第二問的結(jié)論可設(shè)，有，利用定義先證為可表數(shù)，再根據(jù)三進(jìn)制的基本事實(shí)設(shè)任意的，存在，使，得出并結(jié)合定義確定為可表數(shù)，從而確定的最小值為滿足成立的，代入求即可.（2024.1通州區(qū)高三期末21）已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.解：（1）數(shù)列和數(shù)列3，1.（2）因?yàn)閷?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè)，且存在的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同.所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng).所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2.所以，不符合題意.所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng).所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.（也可以就的取值展開討論或者直接利用枚舉法給出證明）（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，