2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)41 定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問題、蝴蝶問題（解析版）

專題41定比點(diǎn)差法、齊次化、極點(diǎn)極線問題、蝴蝶問題

【題型歸納目錄】

題型一：定比點(diǎn)差法

題型二：齊次化

題型三：極點(diǎn)極線問題

題型四：蝴蝶問題

【典例例題】

題型一：定比點(diǎn)差法

例1.已知橢圓C:￡+/=l(α>b>O)的離心率為"，過右焦點(diǎn)F且斜率為％(Ar>O)的直線

與C相交于A,B兩點(diǎn)，若AF=3FB,求k

【解析】由e=且，可設(shè)橢圓為X+y2=>(〃Ο0),

24-

設(shè)A(Xl，X)，β(x2,y2),F(6m,0),由4/=3尸8,

風(fēng)二Λ±?

x+3X=4xβm

所以1+3=,l2

OJ+3%j1+3%=0

1+3

X2

--1

-+城=W2(I)22

4+yl=W(I)

又

—<

2按/1配型(2)x9<

‰-

-2222

4+y2=W(2)+9γ2=9m(3)

由(])-(3)得+3*丁__?2+(y+3%)(χ_3%)=_8機(jī)2nχ∣_3&=_^2機(jī)，

又占+3當(dāng)=4島Inx=苧機(jī)n4號(hào)，士手).

又尸(√‰z,0)n%=±√∑.

例2.已知工+?=1,過點(diǎn)P(0,3)的直線交橢圓于A,B(可以重合)，求地取值范圍.

94?PB?

[解析】設(shè)A(Xi,y),B[x2,y2),P(0,3),由AP=λPB,

X+/Uo

0n=-1--------

x+λx=0

所以41+412

3=Λ1?X+2必=3(1+2)

1÷Λ

,(4√+9√-36(l)2

4√+9y1=36(1)

田4c、酉己比(2)X無，

222222

4x,+9y2=36(2)4ΛX2+9ΛJ2=36(3)

2

由(1)-(3)得：=^>4(x1+ΛX2)(X1-AX7)+9(J1+Ay9)(y1—λγ2)=36(1-ΛJ

4(1-2)13+5/1

n()l一，％)=—;—'乂M+4%=3(1+4)=y∣=--—>

?O

又y∈[-2,2]nl∈-?,-?，從而g"=∣4∣∈-.5.

ljL5」IPBlrL5」

22

例3.已知橢圓A?+1~=l的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,A,B,P是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P￡=∕16A,

PB=*B若4=2,求〃的值.

【解析】設(shè)P(Xo,%)，A(x1,y1),5(x2,%)，，由AE=九耳P，=〃月「得

X+λx

-C=--G--------λ

1÷Λ/+Λx∣=—C(I+4)

①￡(—c,0)滿足<

o=A±?Λy0+Λy1=0

1+4

x+μx

C—012

1+A?+Pχ2=-C(1+A)

E(c,0)滿足，

o=%+s%+〃%=O

1+〃

2

2%

?22

7-+一=1O)?+?=l(1)

②22

—?一ab~

2城n<

?

-一與+誓=萬(

2+=1(2)3)

42

?Iab~

③由⑴-⑶得：(X。-M)I>+?)+(.%-孫)Q'。+)'XJ=JzI2

a2廳

口%離答等)._又ZI)

(1-Z)(l+Λ)C

222222)2

-CT—C~-G~4~C~l-ITz∏fC6Z--C~Cl~+C~

=>2x0=---------λ--------,同理fn可r得2%=------------μ+---------

CCCC

22))22

c?！猚~/.??cι~+c~/?c4~+c~

=>--------(2+4)=2-----------n(20+〃)=2?-----7=1i0λ=〃=8o.

題型二：齊次化

例4.已知拋物線Uy2=4X,過點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線。交于尸，。兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明:

ZPOQ=9().

【解析】直線PQ：x=my+4,尸(XI,χ),Q(X2，丫2)

由x=my+4,得I=———

x=my+4X-ivy

則由■,,,得：y=4x?

y"=4x4

整理得：+mj-l=O,即:A.A=-I.

%X2

所以kop?kθQ-2=—1,

XX2

則OP_LoQ,即：NPOQ=90°.

例5.如圖，橢圓E:]+y2=i,經(jīng)過點(diǎn)Λ∕(l,l),且斜率為&的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均

異于點(diǎn)A(0,-l),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.

【解析】設(shè)直線PQ:IWC^-n(y+1)=1,Pa,X),Q(X2，%)

則/7?+2?=1.

mx+n{y+1)=1

由爐,

?y+y=1

得：?^-+[(y+l)-l]2=1?

2

則-^-+(y+l)2-2(y+V)[nvc+π(y+l)]=O,

故(l-z/)(?i?)-2”(?^)+:=0.

所以正1+3=3L=2.

X1x22n-1

即怎「+砥2=3+-=2-

XX?

例6.已知橢圓C：E+V=1,設(shè)直線/不經(jīng)過點(diǎn)/>(0,1)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線AA與直線RB

4

的斜率的和為一1,證明：直線/過定點(diǎn).

【解析】設(shè)直線∕nnr+"(y-l)=l..........(1)

由C：二+V=1,得上+[(y-l)+l]2=ι

44

2

即：—+(y-l)2+2(γ-l)=0..........(2)

4

2

由(I)(2)得：—+(?-1)2+2(y-1)[≡+n{y-1)]=O

整理得：(1+2〃)(匕!■]+2m?)二

?XJX4

必一

貝mιl..Y-112m.

UkPtιA+kpIiDB=-----+——=---1--.--C--=-1，

xlx21+2n

則2機(jī)=2及+1,代入直線/:mx+〃(y-I)=1,得：/:(2〃+l)x+2〃(y-l)=2

顯然，直線過定點(diǎn)(2,-1).

題型三：極點(diǎn)極線問題

例7.已知橢圓M：Ξ1+Z=I(a>?>O)過A(-2,O),B(0,1)兩點(diǎn).

a2h2

(1)求橢圓M的離心率；

(2)設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在橢圓M上(P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合)，直線AB與直線CP交

于點(diǎn)。，直線BP交X軸于點(diǎn)5,求證：直線SQ過定點(diǎn).

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)4(-2,0),B((U)都在橢圓〃上，

所以α=2，b=??

所以22

C=^a-h=λ∕3,

所以橢圓M的離心率e=￡=蟲.

a2

(2)由(I)知橢圓M的方程為三+y2=1,C(2,0)?

4-

由題意知：直線相的方程為x=2y-2.

設(shè)

P(Λ0,%)(>'0≠O*J0≠±1)>Q(2yβ-2,yβ),S(x5,0)?

因?yàn)镃,P,Q三點(diǎn)共線，所以有CP〃CQ，CP=(占一2,%),。。=(2%—2-2,%)，

所以

(XO-2)yβ=%(2ye-4).

所以獷獲三.

所以°(?。+2%-±.4%

2%-x0+22y0-x0+2

因?yàn)?,S,P三點(diǎn)共線，

所以一L=生口，即七=_^.

_XS?1-%

所以S(」」,0).

If

4%+2--4Λ0

所以直線QS的方程為X=2%T嗽Fy+之一，

2y0-?+2

s∣jX=X；4);-4%%+8%-4+%

4%(1-%)?-?o

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓M上，所以％2=4-4%2.

所以直線QS的方程為X=2一2%一/一一])+2

?-?o

所以直線QS過定點(diǎn)(2,1).

例8.若雙曲線/_>2=9與橢圓c：W+￡=i3>b>o)共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為3.

CTb13

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，A2,直線/與橢圓C交于P、。兩點(diǎn)，設(shè)直線AP與AzQ的斜

率分別為勺，網(wǎng)，且4-：&=0.試問，直線/是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理

由.

【解析】(I)由已知得雙曲線的離心率為0,乂兩曲線離心率之積為g,所以橢圓的離心率為平；

由題意知〃=3，所以°=2四，b=?-

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程為上+y2=l?

9-

(2)當(dāng)直線/的斜率為零時(shí)，由對(duì)稱性可知：

kt=-k2≠0,不滿足A∣-3=0,

故直線/的斜率不為零.設(shè)直線/的方程為X=)+”，

X=ty+n

由<x?2'得：（r+9）/+2∕πy+"-9=0'

,^9^+v

因?yàn)橹本€/與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),

所以A=4/〃2一4（?+9）（〃2一9）>0,

整理得：/_“2+9>0,

設(shè)P(XI，乂)、Q(X2,12)，則

ItnM2-9,心上，他=上

X+M=?ψ0'

X1+3.x2-3

因?yàn)?-1匕=0，

5^

y

所以］=占=與+3弘(々-3)仇+”3),

5k2%%(%+3)%(。1+〃+3)

%2-?

整理得：4tyly2+5(〃-3)χ-(〃+3)%=0,

4ryly2+5(n-3)(yl+y2)=(6n-12)y2.

將χ+%=一蕓，yj,=善代入整理得：

12尸+9Js/+9

t(n-2)(〃-3)=(2-2(/+9)J2

要使上式恒成立，只需〃=2,止匕時(shí)滿足產(chǎn)一〃2+9>o,

因此，直線/恒過定點(diǎn)(2,0).

例9.如圖，橢圓氏鳥+/=1(">人〉0)的離心率是，，過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線/與橢圓相交于

A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線/平行與X軸時(shí)，直線/被橢圓E截得的線段長為20.

(1)求橢圓E的方程;

幽=陷恒成立?

(2)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，是否存在與點(diǎn)尸不同的定點(diǎn)。，使得L若存在,

|。BlIPBI?成

求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)由已知，點(diǎn)(√∑,l)在橢圓E匕

因此，一從=c2,解得。=2乃=&.

￡_√2

所以橢圓的方程為二+上=1?

42

(2)當(dāng)直線/與X軸平行時(shí)，設(shè)直線/與橢圓相交于C、。兩點(diǎn).

IOCIIPC\

如果存在定點(diǎn)。滿足條件，則就=微=1，即IQCl=IQO∣?

所以。點(diǎn)在y軸上，可設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,%).

當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，設(shè)直線/與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).

則M(O,揚(yáng),N(0,-√Σ),

?QM??PM?.∣J-√2∣√2-l.

由lW=兩'有A小0E=Hr解得y0=∣1或r%=2?

所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)。滿足條件,

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為2(0,2).

下面證明：對(duì)任意的直線/,均有1?=蹙j.

IQ81II

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線/的方程為y=H+l,

4、8的坐標(biāo)分別為(x∣,y∣),(X2,y2)?

?+Z-i

聯(lián)立《42,得(2左2+i)f+4履一2=0.

y=kx+?

其判別式A=16女2+8(2^+1)>O,

,4k2

所cr以ι，∣

X1+X-2=---2-公∑——+1,XXI22=----2-F-?——+1.

11X,+x…

因此一+——=」~~-7=2k.

XiX2XiX2

易知，點(diǎn)8關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為9(一乙,必)?

又％=——^=k---,kQB,-

χ

l%x2?l

,

所以紜=kQff,即Q,A,B三點(diǎn)共線.

^\QA\_\QA\_\x,\_\PA\

Mr以-----=------=----=-----

?QB??QB'?Ix2IIPBl

ccc、IQAlIPAl

故存在與P不同的定點(diǎn)。(0,2),使得丹=恒成立.

IQBIItjti?

2

變式1.已知4、B分別為橢圓E：=+y2=ι(α>l)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，4G?GB=8,

a~

P為直線k6上的動(dòng)點(diǎn)，出與E的另一交點(diǎn)為C,P8與E的另一交點(diǎn)為。.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CO過定點(diǎn).

【解析】(1)依據(jù)題意作出如下圖象：

2

由橢圓方程￡:=+丁=13>1)可得：A(-α,0),B(a,0),G(θ,l)

a"

??AG=(",1),GB=(α,—I)

???AGGB=Y一1=8，a2=9

r2

???橢圓方程為：-+y2=?

9-

(2)證明：設(shè)P(6,%),

則直線AP的方程為：>=皆尚(X+3)，即：y=

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得：\9,整理得：

y=.(χ+3)

2222

(γo+9)x+6γox+9yo-81=O,解得：x=-3aKΛ=

6%

將X=—3/-27代入直線可得：＞=τ?

為+9%+9

?-3√+27

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為I√+9

-3-2%

同理可得：點(diǎn)。的坐標(biāo)為+1,?2+ιJ

當(dāng)時(shí),

6.Vo(_2＞。]

2

yr-2y0?.Jo+91√÷1Jf3姬-3]

，直線Co的方程為:22

Uo+1J-3√+273y0-3t√+lJ

2

年+9y0+l

[2y。8y°(√+3)(3城—3L8)，。(3年—31

整理可得;3

'6(9-√)Inτ語。一WJ

所以直線。。過定點(diǎn)

3(3

當(dāng)巾=3時(shí)，直線C。：》=二，直線過點(diǎn)-,0

212

故直線Co過定點(diǎn)g,θ).

22

變式2.已知橢圓C：=+==l(4>^>0)的左焦點(diǎn)為片(-6,0),且過點(diǎn)

a~b~唔孚).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(2)己知A，&分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，Q為直線X=I上任意一點(diǎn)，直線AQ,4Q分別交

橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N.求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】⑴橢圓的個(gè)焦點(diǎn)耳（—6,0）,則另一個(gè)焦點(diǎn)為6（G,o）,

由橢圓的定義知：P耳+2瑪=2α,代入計(jì)算得α=2.

又層=/一02=],所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+2=1

4-

⑵設(shè)。(1,。,M(Xl,X),N(X2,%)，

tr2'-8r+18⑵]

則直線AQ：y=-(X+2)，與土+V=I聯(lián)立,解得M

34、4產(chǎn)+9'4"+9)

同理N

1274/

4r+94產(chǎn)+12t

所以直線MN的斜率為

-8∕2+18St2-24『+3

4r+9-4/+1

⑵2t(-8?+18"_2t_

所以直線MN:），—4/+3C--4r+9,4）

4尸+94∕2+3

所以直線MN恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）

變式3.設(shè)橢圓C:J+與=1（。＞方＞0）過點(diǎn)加（正,1）,且左焦點(diǎn)為EbjlOb

a~b-

（1）求橢圓C的方程;

（2）當(dāng)過點(diǎn)P（4,l）的動(dòng)直線/與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,8時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)。，且滿足

?AP??QB?^AQ???PB?,證明：點(diǎn)。總在某定直線上?

【解析】（I）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為耳（一&,0），

所以C=\[2,

22

設(shè)橢圓方程為

=a2+-a2Λ--2=L

又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)M（√∑,l）,

所以H—J---=1>

a'02-2

解得=4,〃=2

所以橢圓方程為：工+匕=1；

42

22

x=4+fcosαrv

(2)設(shè)直線AB的參數(shù)方程是《,.,a為參數(shù))，代入橢圓方程二+匕=1,

y=l+∕sm142

得：(CoS2C+Zsin^c)/+(8COSC+4Sing)/+14=0.

由IA戶∣?∣Q8∣=∣AQ∣?∣PB∣,

得IAPI(IQPl-IPBI)=(IAP?-?QP?)?PB?，

即IQPI(IAP∣+∣P3∣)=2∣AP∣?∣P5∣,

28

則‘。=Uf

1A十1B8cosα+4sina

28COSa

x=4-

8cosσ+4sina

點(diǎn)。軌跡的參數(shù)方程是,

28Sina

y=l-

8cosα+4sin0

則8(x-4)+4(y-l)=-28,

所以點(diǎn)。在定直線2x+y-2=0上

題型四：蝴蝶問題

例10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M:(x+2)2+y2=36,點(diǎn)N(2,0),。是圓M上任意一點(diǎn)，線

段NQ的垂直平分線與半徑MQ相交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E0

(1)求曲線E的方程；

(2)若4(-3,0),B(3,0),設(shè)過點(diǎn)T(9,m)的直線TATB與曲線E分別交于點(diǎn)C(%,χ),。(七,必)，

其中m>0,χ>0,%<0,求證：直線Co必過X軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與機(jī)無關(guān))

【解析】(I)?.?p在線段NO的垂直平分線上，??.∣PQl=IPNl

.?.?PM?+?P^=?PM?+?PN?=r=6>?MN?

由橢圓的定義知點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)，6為長軸長的橢圓

c=2,α=3,:?b=?/?

r22

曲線E的方程為：—+?v??l

95

(2)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,根)

?-θx+3

直線力4方程為:>即y=j^?(x+3),

m-09+3

直線TB方程為：2二&=￡二』，即y='(X—3)。

∕n-09-36v'

分別與橢圓二+匕=1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到百≠-3,x2≠3,

2

3(80-m2)40加］A3(m-2θ)20m

解得：C

80+m280+ιrr'20+nr20+m2

√I

20m3(∕√-2θ)

yH-—TX-—?-

20+/??-________20+小

當(dāng)不≠/時(shí)，直線方程為:

α>40%+20m-3(80-叫3(m2-20)

22

80+/20+/H80+m20+〃，

令y=o,解得：%=10此時(shí)必過點(diǎn)κ(ι,o)；

當(dāng)王=々時(shí)，直線CD方程為：x=l,與X軸交點(diǎn)為K(1,O)°

所以直線MN必過X軸上的一定點(diǎn)K(1,O).

χ2J

例11.已知橢圓C:=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,且IABl=4,橢圓C離心

率為?■

(1)求橢圓。的方程；

(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)，且斜率不為0的直線/交橢圓。于M，N兩點(diǎn)，直線AM,BN的交于點(diǎn)

Q,求證：點(diǎn)。在直線尤=4上.

【解析】(1)因?yàn)镮ABl=4,橢圓C離心率為:，

3=4

c1

所以〈一=7，解得/=4,b2=3.

a2

a1=b2+c2

22

所以橢圓。的方程是二+匕=1.

43

(2)①若直線/的斜率不存在時(shí)，如圖,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1，I,點(diǎn)N的坐標(biāo)是卜,一3

所以直線AM的方程是y=g(x+2),

3

直線BN的方程是y=](x—2).

所以直線AM，BN的交點(diǎn)。的坐標(biāo)是(4,3).

所以點(diǎn)。在直線x=4上

②若直線/的斜率存在時(shí)，如圖.

設(shè)斜率為匕所以直線/的方程為y=M%—1).

y=Λ(x-l)

聯(lián)立方程組《丫2V2

-+?=1

143

消去y,整理得(3+4公卜一8女2χ+4公一12=0.

顯然A>0.不妨設(shè)M(X1,y),N(x2,y2),

4?2-12

所以為+Λ2=言匕，尤「龍2=

?Ii~τl?,3+4公

所以直線AM的方程是y=V](x+2).

6H

令＞4,得y=^?

直線BN的方程是y=—2),

Xγ一2

2y2

令＞4,得y=R?

由“6χ2%6Z(x1-l)2Z;(x2-l)

x∣÷2Λ2-2x∣÷2X2~2

6Z(玉一I)(X2—2)—2k(演+2)(/—1)

(%+2)(占一2)

分子=6Z(%-1)(%2-2)-2^(x1+2)(X2-1)

Xx

=24[3(2入2~2—2X]+2)—(內(nèi)元2~~↑÷2X2-2)].

=2k^2xlx2-5(x1+%)+8]

2(4公—12)5x8女2∣g

=2k3+4左23+ZF+

'8公-24-40^+24+32公

=2k=0.

、3+止

所以點(diǎn)。在直線x=4匕

=l(">∕>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為點(diǎn)P]?∣)為橢圓

例12.已知橢圓C：Ξl+Z

a1b2

上一點(diǎn)?

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為我”直線

BN的斜率為依，若肌=2依，求直線/斜率的值.

【解析】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為所以a=2c.

又因?yàn)闆?〃+/,所以

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x白?

4c23c

9

又因?yàn)辄c(diǎn)p(l,∣)為橢圓上一點(diǎn)，所以*

4=1，解得C=L

3?

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+2-=1.

43

(2)由橢圓的對(duì)稱性可知直線/的斜率一定存在，設(shè)其方程為y="+l.

設(shè)M(X1,y∣),N(X2,”).

聯(lián)立方程組

消去y可得(3+4&2)N+8丘一8=0.

QΛQ

所以由根與系數(shù)關(guān)系可知Xl+X2=---------7,%1X2=---------.

3+Ak23+4k-7

因?yàn)閔=U?'∕2=U?'且"尸2心，所以年5=E??

叩二_______復(fù)L①

即("2)2—(々-2)2.①

又因?yàn)镸(X1,y∣),Ng”)在橢圓上，

33?

所以才=:(4一五；)，=-.(4—X；).②

44

2—xl4(2+x,)

將②代入①可得：-一L=———-,即3笛X2+10(X∣+X2)+12=0.

2+玉2-X2

所以3(一二8,Tτl+lθ(-78：虧1+12=0即12?2-20?+3=0.

13+4?2√I3+4KJ

133

解得A==或々=T,又因?yàn)镼1,所以攵=一.

622

22

變式4.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。：二+鼻=1(a>b>O)的焦距等于其長半軸長，M,N為

a2b1

(2)過點(diǎn)尸(0,1)作直線/交橢圓C于異于M,N的AB兩點(diǎn)，直線AM,6N交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T的

縱坐標(biāo)為定值3.

【解析】(1)由題意可知：2c=a?2b=2yβ，又〃2=〃2+02,

22

有b=6,c=l,a=2,故橢圓C的方程為：—+?=1.

43

(2)由題意知直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=丘+1,用AB的橫坐標(biāo)表示T的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立/

的方程和橢圓的方程，消去y得(4^+3)/+86-8=0,利用韋達(dá)定理化簡T的縱坐標(biāo)后可得所求的定

值.

設(shè)A(X],yJ,3(w,y2)(XIX2±°)，

聯(lián)立直線方程和橢圓方程得《驍箸72=0'消去〉得"+3)f+8狂-8=0,

-Sk-8

,且有X|+工2=^I尤2，

%+百AI^≡^.χ+√3,

乂IBN?y--------x-√3,IAM:y

%2

%+6n

y=----------X-73rγ

x2zy-v3y-√3

由<siX]

江叵x+6%%+G

y=

玉

∕cx∣+1-y/3=二萼，整理得到

?lAx2+l-√3Ax1x2+(l+√3)x1

y_&_依％+(1-G)X2收),=6X2何K2+2"-")/+?

----

2*?∕3(1+?∕3)x∣(1Λ∕3)X2(?÷v?)?i(1√3)?^2

62AΛI(xiàn)x2+(x1÷X2)+?∕3(XI-x2)

—

(1÷Λ∕3)X∣—(1>∕3)X2

3(x+X)+>∕3(X-x)

73X7=l2I23.

√3(Λ1+X2)+(XI-X2)

故點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為3.

變式5.已知點(diǎn)A（I,一多在橢圓C：]+*i（α＞力＞o）上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：X島]

-------------=1

/2b2

的斜率與直線。4的斜率乘積為-L

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/：y=N2χ+fCwO且∕GR）與橢圓C交于P,。兩點(diǎn),P關(guān)于原點(diǎn)的

2

對(duì)稱點(diǎn)為R（與點(diǎn)A不重合），直線AQ,AR與V軸分別交于兩點(diǎn)M，N,求證：AM=ATV.

√32b1_b2_1

【解析】（I）由題意，心匕=

T'√37="∑T=-4

13

即/=4〃①又不+市=1②

a=2

聯(lián)立①①解得47,

b-?

r2

所以，橢圓。的方程為：—+/=1.

4

6

V=——x+t

2

(H)設(shè)P(石,χ),Q(??,%),R(一不，一,)，由<

χ22