2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究切線的問(wèn)題（附答案解析）

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究切線的問(wèn)題

一.選擇題(共8小題)

1.(2021秋?昌江區(qū)校級(jí)期末)若曲線/(x)=X2的一條切線/與直線4x+y-3=0平行，則

/的方程為()

A.4x-y-4=0B.x+4y-5=0C.X-4y+3=0D.4x+y+4=0

2.(2021秋?紅橋區(qū)期末)函數(shù)/(x)=lnx+3在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程的斜率是()

A.2B.-1C.0D.1

3.(2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)點(diǎn)Z是曲線y=∣?χ2-Inχ上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)Z到直線y=2x

-1的最小距離為()

A.在B.-??C..2?.D.√5

1055

4.(2021秋?金安區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(x)=χ2-機(jī)歷χ+2X的圖象在點(diǎn)g,f)處

的切線與直線X-2V=O垂直，則機(jī)=()

A.?B.3C..?D.3

4422

5.(2021秋?太原期末)已知曲線/(x)=2x-∕"x在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與曲線g(x)

=ax1+(α-I)X-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α=()

A.2B.0或2C.-2D.-2或0

6.(2021秋?丹東期末)若直線y=2x是曲線y=x(F-α)的切線，則α=()

A.-eB?-1C.1D.e

7.（2021秋?天心區(qū)校級(jí)期末）過(guò)點(diǎn)（1,1）且與曲線y=χ3-2x相切的切線方程為

A.X-y-2=0或5x+4y-1=0B.X-y-2=0

C.x-y+2=0D.X-JH^2=0或4x+5y+l=0

8.(2021秋?馬鞍山期末)若僅存在一條直線與函數(shù)/(x)—aInx(α>0)和g(x)=，的

圖象均相切，則實(shí)數(shù)α=()

A.eB.C.IeD.2√^

二.填空題(共4小題)

9.(2021秋?廣東期中)已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=∕"x+χ2,則曲線y=f(χ)

在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程是.

第1頁(yè)(共17頁(yè))

10.(2021秋?蚌埠期末)已知函數(shù)/(x)=Sim:+COSX在點(diǎn)(W-,f。))處的切線為直

線I,則I與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.

/

11.(2021秋?鄲都區(qū)月考)已知函數(shù)/(x)=,e'x>0,若函數(shù)g(x)=∕(x)

-2X2+4X+1,X<0

+日恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)E等于.

12.(2021秋?鹽城期末)過(guò)點(diǎn)Z(2機(jī)，∕n)與曲線/(x)=x/〃x相切的直線有且只有兩條，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

≡.解答題(共5小題)

13.(2021秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=Λt3-^cλ+hx+c,其中a>0.曲線y=/

32

(X)在點(diǎn)尸(0,/(O))處的切線方程為y=l.

(1)確定6,C的值；

(2)若α=4,過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線V=/(X)的幾條不同的切線？

14.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)［(x)=αx+4"x在點(diǎn)(1,1)處的切線平行于

X軸.

(1)求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)討論函數(shù)g(x)—f(x)-2sinx,Xe(0,+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

15.(2021秋?內(nèi)江月考)已知”,?∈R,函數(shù)/(x)=ax3+hx2-x+2.

(1)若函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,I)處的切線與X軸平行，求α,6的值；

(2)b=3a,過(guò)點(diǎn)(0,0)可以作曲線y=∕(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.(2021春?膠州市期中)已知函數(shù)f(x)=blnx+x2-ax(x>0),a,?∈R.

(1)當(dāng)α=4,b=l時(shí)，求/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；

(2)若6=0,過(guò)點(diǎn)(2,1)與曲線/(x)相切的直線與直線X->3=0平行，求α的值.

17.(2021秋?湖南期末)已知函數(shù)f秋)=ex^2,g(?)=ex+'-1.

(I)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，/(x)的圖象在x=2處的切線與X,y軸分別交于4,8兩點(diǎn)，求4

0/8面積；

(2)若直線y=fcr?是曲線y=/(x)與y=g(x)的公切線，求A,b的值.

第2頁(yè)(共17頁(yè))

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)研究切線的問(wèn)題

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題)

1.(2021秋?昌江區(qū)校級(jí)期末)若曲線/(x)=χ2的一條切線/與直線4x+y-3=0平行，則

/的方程為()

A.4x-y-4=0B.x+4y-5=0C.x-4y+3=0D.4x+y+4=0

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2?

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(X。XOZJ則切線的斜率為2xo,然后根據(jù)條件列方程，求出xo的

值，再得到/的方程.

2X

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為(X。XOZJ因?yàn)?(x)=2x,所以切線的斜率為2xo,

因?yàn)榍€/(x)=3的一條切線/與直線4x+y-3=0平行，所以2X0=-4,即猶=-2,

所以I的方程為y-4=-4(x+2),即4x+y+4=0,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?紅橋區(qū)期末)函數(shù)/(x)=阮什3在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程的斜率是()

A.2B.-1C.0D.1

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)值，即可得到切線的斜率.

【解答】解：函數(shù)/(x)=阮什3,

可得，(?)=X

X

所以函數(shù)/(x)=lnx+3在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程的斜率是/(1)=1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率的求法，是基礎(chǔ)題.

3.(2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)點(diǎn)Z是曲線y=3χ2τriχ上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)/到直線y=2x

-1的最小距離為()

第3頁(yè)(共17頁(yè))

A.返B.2Z∑C..2返D.√5

1055

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)與直線y=2χ-1平行的直線切曲線y=∣?χ2γnχ于點(diǎn)4由斜率求得/點(diǎn)坐

標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.

2

【解答】解：設(shè)與直線y=2x-1平行的直線切曲線y-∣x-lnx于點(diǎn)力

(32)

x0,2-χ0T1nx/,

則/IX=X=3x0--?--由3x°-?-=2得XO=I或Xo=A

uuu

XX。XgX03

：.A(1,?),則點(diǎn)/到直線y=2χ-1的最小距離為

210

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的

應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2

4.(2021秋?金安區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(x)=X-mlnx+2x的圖象在點(diǎn)（?.嗚））處

的切線與直線X-2y=0垂直，則M=()

A.?-B.至C.?D.苴

4422

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計(jì)算作答.

【解答】解：函數(shù)/(χ)=X2-〃而χ+2X定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得f，(χ)=2χ-^?+2,

X

于是得函數(shù)/(χ)的圖象在點(diǎn)(?∣,f(?∣))處切線的斜率k=f'(-∣)=3-2m-

而直線x-2y=0的斜率為?∣?,依題意，可得即3-2W=-2,

所以戚

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

5.(2021秋?太原期末)已知曲線/(x)=2X-GX在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與曲線g(x)

第4頁(yè)(共17頁(yè))

=αχ2+(α-1)χ-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。=()

A.2B.O或2C.-2D.-2或O

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】分類(lèi)討論；方程思想；綜合法；分類(lèi)法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

【分析】先對(duì)/(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出曲線/(x)的切線方程，然后結(jié)

合直線與曲線g(%)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程解的關(guān)系求解即可.

【解答】解：由/(x)=2r-Inx,得(x)=21，

X

所以切線斜率k=f(1)=1,/(1)=2,

所以曲線/(x)=2x-X在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y-2=x-1,即y=x+l,

<Y=Y+1

聯(lián)立《2，得ax?-(Q-2)X-2=0,

y=aX+(a-l)χ-l

當(dāng)α=0時(shí)，Ix-2=0,則X=I顯然滿(mǎn)足題意，

當(dāng)α≠0時(shí)，Δ=(α-2)2+8ɑ=0,解得a=-2,

綜」2,。=0或a=-2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程，直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)

題，屬于中檔題.

6.(2021秋?丹東期末)若直線y=2x是曲線N=X("-α)的切線，則Q=()

A.-eB.^1C.1D.e

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

xxvx

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(xo，xo(e0-a)),對(duì)y=x(e-a)求導(dǎo)數(shù)得y'=e-a+xe,從

而得到切線的斜率k=e%-α+XOeXel,結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得切線方程，對(duì)照已

知直線列出關(guān)于村、。的方程組，解之即可得到實(shí)數(shù)α的值.

x

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為(xo,xo(eo-tz)),

y=x(ex-4Z)求導(dǎo)數(shù)得y'=ex-a+xex,

切線的斜率k=θx0-a+xoθx0,

第5頁(yè)(共17頁(yè))

xxx

故切線方程為y-χo(eo-a)=(eo-α+xoeo)(χ-χo),

xx2x

整理得y=(θo-a+xoeo)X-X0θo,

y-2x比較得θxo-α+XoeXo=2且一xo?θxo=O,

xo—0,故a--1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

7.(2021秋?天心區(qū)校級(jí)期末)過(guò)點(diǎn)(1,-1)且與曲線夕=∕-2x相切的切線方程為()

A.X-y-2=0sK5x+4y-1=OB.x-y-2=0

C.X-y+2=0D.X-y÷2=0或4x+5y+l=0

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo.X3.),求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，把點(diǎn)(1,-

xO2ZXXO

1)代入求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則切線方程可求.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,X3-2X)，

由y=∕-2x,得y'=3x2-2,則/|_=3χ∩2-2?

X=XOO

，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-X03+2X°=(3X02-2)(χ-χ0)'

代入(1,7),可得-I-XO3+2XQ=(3X02-2)(1-X0)，

整理得：(XQ-I)2(2χ°+l)=cp即XO=I或X0=>?

當(dāng)Xo=I時(shí)，切線方程為X-y-2=0；

當(dāng)XQ=總時(shí)，切線方程為5x+4y-1=0.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題.

8.(2021秋?馬鞍山期末)若僅存在一條直線與函數(shù)/(x)=alnx(α>0)和g(X)=X2的

圖象均相切，則實(shí)數(shù)α=()

A.eB.C.2eD.

第6頁(yè)(共17頁(yè))

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分別求得兩曲線在切點(diǎn)處的切線方程，由切線唯一可得。=4xz2-4x221nx2'

22

令h(X2)=4x2-4x2lnx2'利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得實(shí)數(shù)。的值.

【解答】解：設(shè)直線與gG)=x2的切點(diǎn)為(X],χ[2),

由g'(X)=2x,可得g'(Xi)=2xι,即該直線的方程為y-χj=2χ](χ-χ]),

??y=2x∣χ-χ?`

設(shè)直線與/(x)=alnx(〃>0)的切點(diǎn)為(X2,alnx2?

由/(X)=旦，可得/(X2)=2,即該直線方程為y-alnχ°3(X-X0)，

Xx2JX2

-

?R=^^x+a(Inx2-I)-

x2

：僅存在一條直線與函數(shù)/(x)=alnx(a>0)和g(x)=X2的圖象均相切，

2x[=?j-

22

“2，BPa=4χ2-4x2Inx2-

2乙乙乙

a(Inx2-I)=-χ?

令〃(X2)—4x2^-4x2^1n×2,則"(股)=8工2-^xilnxi_4x2=4x2(I-Ilnxi),

當(dāng)4x2(1-2∕ΠX2)>0,即OVX2〈正時(shí)，h'(X2)>0,h(X2)單調(diào)遞增，

當(dāng)4%2(1~2lnx2)<0,即％2>Λ∕J寸，h,(%2)<0，h(雙)單調(diào)遞減，

'h(乂2)IrLaX=hG∕D=4e-4ex?=2e

：切線只有一條，即X2的值唯一，則“=2e.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考

查運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題.

二.填空題(共4小題)

9.(2021秋?廣東期中)已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=∕%r+x2,則曲線y=∕(x)

在點(diǎn)(-1,[(-1))處的切線方程是3x-v+2=0.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第7頁(yè)(共17頁(yè))

【分析】由已知求得x<0時(shí)的函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在X=-1處的導(dǎo)數(shù),

再求得/(-1),然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案.

【解答】解：設(shè)χV0,則-χ>O,

V/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>O時(shí)，f(x)-lnx+x2,

.*./(%)=-/(-x)=-岳(-x)-X2,

則，(X)=-2%-工(XV0),

X

，則，(-1)=3,又/(-1)=-1,

?,?曲線y=∕(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程是y+l=3(x+l),

即3x-y+2=0.

故答案為：3χ-y+2=0?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)某點(diǎn)處的切線

方程，是中檔題.

10.(2021秋?蚌埠期末)已知函數(shù)/(x)=SinX+cosX在點(diǎn)-,f(弓-))處的切線為直

線/,貝門(mén)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)工(工+1)2_.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在X=JL處的導(dǎo)數(shù)值，再求出/(?L)的值，

22

利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程，進(jìn)一步求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角

形面積公式得答案.

【解答】解：由/(x)=sinx÷COSX,得/(x)=COSX-SinX,

則/(?)=-1,又/(2L)=ι,

22

.?.函數(shù)/(x)在點(diǎn)修，f自))處的切線方程為y-1=-IX(?-?),

取X=0,得y=2L+［取y=0,得X=JL+1，

22

：.1與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S=L(工+1)2.

2`2J

故答案為：l(A+1)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查三角形面積的求法，

第8頁(yè)(共17頁(yè))

是基礎(chǔ)題.

11.(2021秋?鄲都區(qū)月考)已知函數(shù)/(x)=,e'x>0,若函數(shù)g(x)=f(x)

-2X2+4X+1,X<0

+日恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左等于-e.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【專(zhuān)題】計(jì)算題：數(shù)形結(jié)合：轉(zhuǎn)化思想：綜合法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:

邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】令g(X)=0,得出f(x)=-Ax,作出V=-kx與y=f(X)的函數(shù)圖象，則

兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求出y=∕(x)的過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率即可得出人的范圍.

【解答】解：令g(x)=0,得f(x)=-kx,

Vg(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，

，直線》=-α與>=/(%)有兩個(gè)交點(diǎn)，

作出y=-區(qū)和y=/(X)的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)y=4pc與曲線y=ev相切，切點(diǎn)為(X0，川),

e--------

xO

xo解得Xo=1,k?=e.

e

y0=

,xO

?^x0e

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上

第9頁(yè)(共17頁(yè))

某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

12.(2021秋?鹽城期末)過(guò)點(diǎn)4(2加，，")與曲線/(x)=MJX相切的直線有且只有兩條，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是_(返+8).

2

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(〃，alna),求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式可得

-=21na+l,設(shè)g(χ)=21nx+l,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得

maX

o<A<2解不等式即可得到所求范圍.

mVe

f

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為(a,alna)ff(x)=XeX的導(dǎo)數(shù)為f(x)=l+∕∕ιx,

可得切線的斜率為1+歷。，

由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2加，加)，可得切/〃Q=寸LRa-叱

a-2m

化簡(jiǎn)可得上∕lna+l(*),

ma

由題意可得方程(*)有兩解，

設(shè)g(X)=21nx+l(x>o),可得g'(χ)=I-21nx,

XX2

1

當(dāng)x>θ2時(shí)，g'(χ)<0,g(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)OVXVe2時(shí)，g|(χ)>0,g(x)遞減.

11

可得g(X)在X=e萬(wàn)處取得最大值g(J)=2,

Ve

又當(dāng)X-O時(shí)，g(x)f-8,當(dāng)χf+8時(shí)，g(X)-→0,

即有0<工<衛(wèi)，解得〃1>逞.

m√e2

.?.實(shí)數(shù)加的取值范圍是(逞，+8).

2

故答案為：(逞，+8).

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程

的轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

第10頁(yè)(共17頁(yè))

13.(2021秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=L3-』2+加+以其中。＞().曲線》=/

32

(x)在點(diǎn)尸(0,/(0))處的切線方程為y=l.

(1)確定b,c的值;

(2)若。=4,過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線N=/(X)的幾條不同的切線？

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】(1)求導(dǎo)得/(x)=x2-ax+b,由曲線y=∕(x)在點(diǎn)尸(0,/(0))處的切

線方程為y=l,得C(O)=b=0,解得6,J

[f(O)=C=I

(2)當(dāng)α=4時(shí)，/(x)=L3-2χ2+l,求導(dǎo)得f(X),點(diǎn)(0,2)不在f(x)圖象上,

設(shè)切點(diǎn)為(xo.VO).則切線斜率%=x()2-4xo,

2.

=xO-4x0

XQ-O

且《,即Zro2-2w2+ι=o有幾個(gè)解,過(guò)(0,1)就能作出/(x)的

1

3X2

∕o=yχo-20÷1

幾條切線.

【解答】解：(l)/(?)=x2-ax+h,

因?yàn)榍€y=∕(x)在點(diǎn)尸(0,/(0))處的切線方程為y=l,

所以(f'(0)=b=0,

If(O)=C=I

解得6=0,c=l,

所以/(X)=工3-區(qū)P+1.

32

(2)當(dāng)α=4時(shí)，f(x)=?‰j-2√+l,

3

f(X)=x2-4x,點(diǎn)(0,2)不在/(x)圖象上,

設(shè)切點(diǎn)為(X0.泗)，則切線斜率％=xo2-4xo,

y0-2

×02-4X

x00

所以《0^

13-2?2÷l

y0^3^x0

即202,2χo2+l=0,

3

第11頁(yè)(共17頁(yè))

上式有幾個(gè)解，過(guò)(0,1)就能作出/(x)的幾條切線,

令g(X)=2χ3-2χ3+],

3

貝!|g'(X)=2X2-4x=2x(x-2).

g(x),g'(%)隨著X的變化情況如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+∞)

g'G)+0-0+

g(%)f極大值!極小值f

S(X)極大(ft=g(0)=1>0,

g(χ)極小值=g⑵--與<0,

3

所以g(X)有三個(gè)零點(diǎn)，

即過(guò)(0,2)可作出/(x)的3條切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

14.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)已知函數(shù)/(x)=OX+R"x在點(diǎn)(1,1)處的切線平行于

X軸.

(1)求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)討論函數(shù)g(X)—f(x)-2sinx,x∈(0>+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)求出/(x)的導(dǎo)函數(shù)，再由，(1)=0,/(1)=1，聯(lián)立方程組求解α

與b的值；

(2)由(1)可得/(x)的解析式，代入g(X)=∕(x)-2SinX,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)〃

(x)=X-/"X與y=2siIlr交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

【解答】解：(1)由/(x)—ax+blnx,得/(x)=α+■旦，

X

則，f'⑴=a+b=0,得g,b=-1；

If(l)=a=l

(2)由(1)得，/(x)=x-Inx,

g(X)=x-Inx-2sinr,x∈(0,+o0),

函數(shù)g(X)=x-Inx-2sinx,x∈(0,+o°)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程X-/〃x-2Sinx=O的根

第12頁(yè)(共17頁(yè))

的個(gè)數(shù)，

也就是函數(shù)〃(x)=X-/"X與v=2sinx交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

由∕?(X)=x-Inx,得h'(X)=1-工=I”,

XX

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h'(X)<0,h(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)XW(1,+∞)時(shí)，h'(X)>0,h(X)單調(diào)遞增，

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)人(X)=工->*與^=2512的圖象如圖,

由圖可知，函數(shù)g(X)—f(x)-2sinx,Xe(0,+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，訓(xùn)

練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

15.(2021秋?內(nèi)江月考)己知α,?∈R,函數(shù)/(x)^ax3+bx2-x+2.

(1)若函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線與X軸平行，求。，6的值；

(2)b=3a,過(guò)點(diǎn)(0,0)可以作曲線y=∕(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意列式可得關(guān)于α,6的方程組，求解可得。與

6的值；

(2)把b=3α代入，求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線與曲線y=∕(x)相切于點(diǎn)(xo,

B)),由題意可得2axo3+3aχ02-2=O,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,0)可以作曲線y=∕(x)的三條

切線，可得關(guān)于X的方程2χ3+3X2=2有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)g(x)=2χ3+3χ2,利用導(dǎo)數(shù)

a

求最值，即可得到實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【解答】解：(1)f(x)=axi+bx2-x+2,則/(X)=3ax2+2bx-1,

?.?函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線與X軸平行，

第13頁(yè)(共17頁(yè))

...Jf(l)-a+b+l-l,解得a=1，b=-i；

?i,(l)=3a+2b-l=0

(2)?."=3α,：.f(x)=30χ2+60χ-l,

設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)(Xo，yo)，

32

y∩=ax0+3ax0-χ0+2

貝MUU,

y0=(3aX0+6ax0-l)x0

322,

??ax0+3axQ-χ0+2=(3axQ+6ax0-l)x0

132由題意可知于。，

≡∣2aχo+3axo-2=O-

：過(guò)點(diǎn)(0,0)可以作曲線y=f(x)的三條切線，

.?.關(guān)于X的方程2X3+3X2=2有三個(gè)不等實(shí)根，

a

設(shè)g(x)=2Λ3+3∕,則g'(x)=Gx(x+l),

???當(dāng)x∈(-8,-Du(0,+8)時(shí)，g,(χ)>0,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，g'(x)<

0,

.?.g(X)在(-8,-1),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，

:.g(O)v2vg(-1),即0v2vi,得α>2.

aa

實(shí)數(shù)α的取值范圍是(2,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考

查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.(2021春?膠州市期中)己知函數(shù)f(x)^blnx+x2-ax(x>0),a,?∈R.

(1)當(dāng)a=4,b=l時(shí)，求/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)若b=0,過(guò)點(diǎn)(2,1)與曲線/(x)相切的直線與直線X-W?3=0平行，求α的值.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，求解切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程.

(2)設(shè)切點(diǎn)為(xo,刈)，化簡(jiǎn)/(x),