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遼寧省沈陽(yáng)市2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.02.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②3.計(jì)算等于()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.76.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-37.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.8.以下關(guān)于的命題,正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移需個(gè)單位,可得到的圖象9.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④10.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,11.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.14.二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_____,含項(xiàng)的系數(shù)為_____.15.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.16.某班星期一共八節(jié)課(上午、下午各四節(jié),其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動(dòng)),排課要求為:語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)各排一節(jié),從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語(yǔ)不相鄰(上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法有__________種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求證:.18.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù),(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn),,若,求的最小值.20.(12分)已知.(1)已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍;(2)求不等式的解集.21.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.22.(10分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.3、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.5、D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.6、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.7、A【解析】

由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到,再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng),函數(shù)先增后減,錯(cuò)誤B選項(xiàng),不是函數(shù)對(duì)稱軸,錯(cuò)誤C選項(xiàng),,不是對(duì)稱中心,錯(cuò)誤D選項(xiàng),圖象向左平移需個(gè)單位得到,正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱軸,對(duì)稱中心,平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,其中化簡(jiǎn)三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,若,,則,故②正確;對(duì)于③,若,,,當(dāng),則與不平行,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若,,,則,故④正確;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進(jìn)而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.12、C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】

將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng),令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為,令,解得,因此,展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】總事件數(shù)為,目標(biāo)事件:當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標(biāo)事件共20中,所以。16、1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解:數(shù)學(xué)排在第一節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時(shí)有:數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時(shí)有:所以共有1344種故答案為:1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用,注意分類討論,做到不重不漏;基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論,,三種情況得到單調(diào)區(qū)間.(Ⅱ)設(shè),要證,即證,,設(shè),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】(Ⅰ),令,,(1)當(dāng),即時(shí),,,在上單調(diào)遞增;(2)當(dāng),即時(shí),設(shè)的兩根為(),,①若,,時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,②若,,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(Ⅱ)不妨設(shè),要證,即證,即證,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性,證明不等式,意在考查學(xué)生的分類討論能力和計(jì)算能力.18、(1),();(2).【解析】

(1)根據(jù)是等差數(shù)列,,、、成等比數(shù)列,列兩個(gè)方程即可求出,從而求得,代入化簡(jiǎn)即可求得;(2)化簡(jiǎn)后求和為裂項(xiàng)相消求和,分組求和即可,注意討論公比是否為1.【詳解】(1)由題意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn),考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于一般性題目.19、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;極小值,無極大值;(2)【解析】

(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解不等式,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;(2)由題意可得,,求出的表達(dá)式,,求出h(t)的最小值即可.【詳解】(1)將代入中,得到,求導(dǎo),得到,結(jié)合,當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為,當(dāng),得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值,無極大值.(2)將解析式代入,得,求導(dǎo)得到,令,得到,,,,,,,,因?yàn)?,所以設(shè),令,則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)椋运?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值的意義,考查轉(zhuǎn)化思想與減元意識(shí),是一道綜合題.20、(1);(2).【解析】

(1)依據(jù)能成立問題知,,然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,即求得的取值范圍;(2)按照零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式即可?!驹斀狻恳?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解,所以因?yàn)?,所以故。①?dāng)時(shí),,所以,故②當(dāng)時(shí),,所以,故③當(dāng)時(shí),,所以,故綜上,原不等式的解集為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查不等式有解問題的解法以及含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式問題的解法,意在考查零點(diǎn)分段法、絕對(duì)值三角不等式和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的應(yīng)用。21、(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結(jié)論.【詳解】解:(1)對(duì)求導(dǎo),得.因此.又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導(dǎo)得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因?yàn)?,所以為減函數(shù).因?yàn)?,所以為增函?shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.令,得,即.因此,當(dāng)時(shí),.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.因此,即.令,得,即.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以,所?所以,當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),成立.綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的

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