造福吧友系列量子力學(xué)

主講教師：楊帆量子力學(xué)Email：信息工程學(xué)院QuantumMechanics

第一章量子力學(xué)產(chǎn)生的歷史背景第二章波函數(shù)和薛定諤方程第三章一維定態(tài)問題第四章力學(xué)量與算符第五章態(tài)和力學(xué)量表象第七章近似方法（微擾理論）第六章三維定態(tài)問題第五章力學(xué)量與算符§1態(tài)的表象§2算符的矩陣表示

§3量子力學(xué)公式的矩陣表示§4本征值方程的矩陣表示及應(yīng)用§5狄拉克符號§1態(tài)的表象一、表象表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象為變量球極坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系波函數(shù)不一定非要以力學(xué)量作為變量，也可以以其它力學(xué)量作為變量。二、動量表象坐標(biāo)表象動量表象動量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)Ψ可按其展開Ψ(x,t)歸一化波函數(shù)也是歸一化的|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的幾率。|Ψ(x,t)|2dx是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果在x→x+dx范圍內(nèi)的幾率。Ψ(x,t)與C(p,t)一一對應(yīng)，描述同一狀態(tài)。Ψ(x,t)是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)；C(p,t)就是該狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。C(p,t)物理意義三、一般情況（分立本征值的情況）在任意Q表象中，所描寫的狀態(tài)？1.設(shè)算符Q的本征值為：Q1,Q2,...,Qn,...，相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...。①②構(gòu)成完備系乘上式左右兩邊，再做全空間積分③一一對應(yīng)表示t時(shí)刻粒子的力學(xué)量Q取值qn的幾率為Q表象的波函數(shù)共軛矩陣歸一化可寫為2.矩陣表示這類似于一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量A在直角坐標(biāo)系由三分量AxAyAz

描述；在球坐標(biāo)系用三分量ArA

A

描述。AxAyAz和Ar,A

,A

形式不同，但描寫同一矢量A。態(tài)矢量基本矢量同一狀態(tài)可以在不同表象用波函數(shù)描寫，表象不同，波函數(shù)的形式也不同，但是它們描寫同一狀態(tài)。§2算符的矩陣表示一、坐標(biāo)表象已知Q算符的本征態(tài)待描述量算符F假設(shè)只有分立本征值，將Φ,Ψ按{un(x)}展開：②①②式代入①式，Q表象的表達(dá)方式Φ=FΨ簡寫成所以厄密算符的矩陣表示是一厄密矩陣。二、F矩陣表示的特點(diǎn)已知Q算符的本征態(tài)三、力學(xué)量算符在自身表象中的表示Q的矩陣形式結(jié)論：算符在自身表象中是一對角矩陣，對角元素就是算符的本征值。例1、求坐標(biāo)表象中F的矩陣元例2、求動量表象中F的矩陣元①②§3量子力學(xué)公式的矩陣表述（一）平均值公式（二）含時(shí)Schrodinger方程（一）平均值公式簡寫成（二）含時(shí)Schrodinger方程寫到Q表象按力學(xué)量算符Q的本征函數(shù)展開左乘um*(t)對x整個(gè)空間積分ΨH都是矩陣簡寫§4本征值方程的矩陣表示及應(yīng)用上式是一個(gè)齊次線性方程組方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一組λ值：λ1,λ2,...,λn,....就是F的本征值。將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應(yīng)于各λi的本征矢于是求解微分方程的問題就化成了求解代數(shù)方程根的問題。設(shè)Q表象的基為（），某粒子的哈密頓量H在Q表象中的矩陣為求粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)已知t=0時(shí)的波函數(shù)求任意時(shí)刻t的波函數(shù)第五章態(tài)和力學(xué)量表象§5狄拉克符號QuantumMechanics狄拉克符號態(tài)和力學(xué)量不依賴表象簡潔的形式？狄拉克符號大大地簡化理論表述和運(yùn)算可以不考慮具體的表象1狄拉克符號的規(guī)定右矢：微觀體系的態(tài)矢量為表示某一個(gè)確定的態(tài)矢A左矢：右矢的共軛矢量Q表象下力學(xué)量算符的本征態(tài)：能量的本征態(tài)：2內(nèi)積（標(biāo)積）兩態(tài)的正交：態(tài)的歸一：3任意態(tài)矢在Q表象下的表示是Q表象的基矢在Q表象中的表示

任意態(tài)矢在Q表象下展開乘上式的兩邊任意態(tài)矢在Q表象下的表示Q表象的基矢：4常用公式的表示平均值：Q表象基矢的正交歸一性：算符F在Q表象中的矩陣元：本征值方程：有一量子體系，其態(tài)矢空間三維，選擇Q表象基矢