2023年陜西省安康市高考理科數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年陜西省安康市高考理科數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷

一、選擇題。本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={x*>i},B={X∣3X<7},則A∩B=()

3

A.(-1,1)B.(一∞,—1)U(—1,γ)

77

C.(—8,—1)U(L?)D.(-L今

2.（5分）設(shè)命題p：3r∈（0,1）,tanr=l,則［〃為（）

A.?∕∈(0,1),tanr≠1B.3r?(0,1),tan∕≠1

C.?∕∈(0,1),tanr=1D.BtE(0,1),tanr≠1

11

3.(5分)若cos(α一夕)=一天cos(α+0)=取則COS(π-α)COS(π+β)=()

31

A.一bcD.-

8?~1?8

2

4.（5分）函數(shù)/G）=XTsinM在［一5，芻上的圖象大致為（)

→T

5.（5分）設(shè)向量α=(2x+y,1),b=(1,-X2),x∈R,Q_Lb,則y的最小值為（）

A.-2B.0C.D.1

2

6.(5分)設(shè)Q=，xdx,b=log32,c=則()

A.h>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>h>a

7.（5分）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直

是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該兒何體是一個棱長為2的正八面體，則

此正八面體的體積與表面積之比為（）

E

√6√6C√6√6

A.—B.—C.—D.—

183129

8.（5分）設(shè)O<x<l,則當(dāng)/g∕+]ogH0取得最大值時，X=（）

√iδ1C√2√5

A.-----B.-C.—D.—

103410

9.(5分)己知函數(shù)/(x)=2?->nx-3m,則“機(jī)>2”是“/(x)<0對x∈[l,3]恒成立”

的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

10.（5分）已知等比數(shù)列｛即｝的前〃項和為S1,,若α∣+43=5,54=20,則二”*=（）

A.9B.10C.12D.17

11.（5分）設(shè)直四棱柱ABCQ-AIBlCl。的每個頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面ABCo為平

行四邊形，AB=2AD,側(cè)面A。Z）IAl的面積為6,則球。表面積的最小值為（）

A.12√5πB.24πC.10√5πD.20π

12.（5分）已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R,且對任意XeR,f（x）-/（X）<0恒成立,

則不等式組H3-3)>°

的解集是)

(eV(x+l)>β4∕(2x-3)

3

A.（4,+8）B.（0,?）

33

C.4）D.（―1>U（4,+8）

二、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上。

13.（5分）在平行四邊形ABCO中，CD=3CE,且Λ?=筋萬+〃6，則入+口=.

（X—y≥0

14.（5分）若X,y滿足約束條件卜x-5y≤10,則z=2x+y的最大值為______.

（%≥0

15.（5分）設(shè)等差數(shù)列｛金｝的前"項和為％.若Si7<0,S∣8>0,則當(dāng)S"取最小值時，n

的值為.

16.(5分)關(guān)于函數(shù)f(x)=2s?ι(3τr%-芻3>0)有如下四個命題：

(Iy(X)在弓,芻上的值域為[—2,√3]:

②f(x)的圖象不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；

③若/(x)的最小正周期為2,則f(l)=√5;

④若/(1-x)=/(l+x),則ω的最小值為之

6

其中所有真命題的序號是.

三、解答題。共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知m為正數(shù),p：不等式Λ2>ΛΠ-3對XeR恒成立;q：函數(shù)/(x)=X2+裳(x>0)

的最小值不小于2.

(1)若q為真命題，求，"的取值范圍；

(2)若P八q為假命題，PVg為真命題，求"的取值范圍.

18.(12分)4,b,C分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊.已知爐+c2—α2=|兒，inC

Os

=2sinB.

(1)求cosA；

(2)若AABC的周長為6+小，求aABC的面積(結(jié)果用小數(shù)表示，取回I=15.2).

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=√2x—m(w∈R).

(1)求/(x)的定義域；

(2)若函數(shù)g(x)=》-4我+6的最小值為α,且當(dāng)xe[2,+∞)時，/(x)<α有解，

求m的取值范圍.

20.(12分)如圖，已知三棱柱ABC-AlBlCl是底面邊長為2,高為4的正三棱柱，點(diǎn)E在

棱BB?上，且」一=λ.

B1B

(1)當(dāng)入為何值時，平面AEClJ_平面Λ4ιCiC?說明你的理由.

(2)若;1=去求二面角A-EC-AI的余弦值.

21.(12分)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前"項和為S,且αι=3,25n=αn+ι+4n-3.

(D證明:數(shù)列｛z-2｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛W｝的前〃項和Tn.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=alnx-x.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式f(x)》(e-1)X-/對Xe[1,+8)恒成立，求”的取值范圍.

2023年陜西省安康市高考理科數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

I.(5分)設(shè)集合A={X∣X2>1},B={X∣3X<7},則ACB=()

3

A.(-1,1)B.(-8,-1)U(-1,爭

7、7

C.(—8,—1)U(1/?)D.(-1,5

【解答】解：.,N=（x?x<-1或r>l},B=(x?x<^},

7

??AΓ?B=(-8，-I)U(1,?).

故選：C.

2.(5分)設(shè)命題p：3r∈(0,1),tanr=l,則為（)

A.?f∈(0,1),tanr≠1B.3r∈(0,1),tanr≠l

C.Vf∈(0,1),tanf=lD.(0,1),tanr≠1

【解答】解:命題是特稱命題，則「P：V∕∈（0,1),tan∕≠1，

故選：A.

11

3.(5分)若COS(α-S)=cos(a+￡)=不，則cos(π-α)cos(π+β)=()

3-房1

A.-B.cD.-

8?^l8

【解答】解：若cos(a—β)=cosacosβ+sinasinβ=cos(a+S)=cosacosβ-

1

sinasinβ=不,

11

所以兩式相加得CoSaCOSS=—??=-?,

1

貝IJCoS(Tr—a)ycos(π+∕?)=-cosa{-cosβ)—cosacosβ=—?.

故選：C.

4.（5分）函數(shù)/（x）=∕-∣sinM在［一會身上的圖象大致為（）

【解答】解：因為/(-X)=f(x),

所以/G)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C與D

因為，(看)=12V°，所以排除A,

故選：B.

5.(5分)設(shè)向量Q=(2x+y,1),b=(1,-x2),x∈R,α±6,則y的最小值為()

A.-2B.OC.-1D.1

【解答】解：?.,aJ_b,.?.α?b=2x+y-W=O,

則y=x2-2x=(χ-1)2-1≥-1,

故y的最小值為-1,

故選：C.

21,2

6.(5分)設(shè)α=「xdx,b=log32,c=(1)?則()

A.b>a>cB.h>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解答】解：a-Jθlx2dx=∣x3∣o=

Il1Il

又因為6=k>g32>log3√^=*>[,C=(-)'?2<(-)l=∣,

所以c<a<b.

故選：A.

7.(5分)正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直

是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則

此正八面體的體積與表面積之比為()

【解答】解：由邊長為2,可得正八面體上半部分的斜高為&F=√3,高為√TF=√2,

則其體積為223顯×2=?-,其表面積為8×?×22=8V3,

√6

所以此正八面體的體積與表面積之比為

9

故選：D.

8.(5分)設(shè)O<x<l,則當(dāng)/g∕+kjgrlθ取得最大值時，X=()

√101√2√5

A.-----B.-C.—D.—

103410

【解答】解：因為0<x<l,所以∕gχV0,

4

lgx+?ogx?0=4lgx+j-=-(-4∕gx-卷)≤-2^-4lgx-??=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-4IgX=

-?,即X=嚅時，等號成立?

故選：A.

9.(5分)已知函數(shù)/(x)=2X2-mx-3m,則“機(jī)>2"是''f(x)<0對Xe[1,3]恒成立”

的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若/(χ)Vo對Xe[1,3]恒成立，

〃?>2不能推出機(jī)>3,充分性不成立,

m>3能推出，">2,必要性成立,

故“巾>2”是"/(x)<0對x∈[l,3]恒成立”的必要不充分條件.

故選：C.

Sa—2(S*4

10.(5分)已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,若。1+的=5,S4=20,則-------=()

SLSLSZ

A.9B.10C.12D.17

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛z｝的公比為必

因為S4=α1+α2+α3+α4=(1+4)(。1+。3)，所以q=3,

∣S-2S(S-S)-SQ4S-SQ4-I2,

WrπUι----8-------4--=7---8-----4-------4-=----4-----4--=——=q+11=1ι0π.

22

Ss-S4T2(S6-S2)-S4QS4-S4Q-I

故選：B.

11.(5分)設(shè)宜四棱柱A3CO-43]CιZ)ι的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCO為平

行四邊形，AB=2AD,側(cè)面A。。IAl的面積為6,則球。表面積的最小值為()

A.12√5πB.24πC.10√5πD.20π

【解答】解：因為底面ABC。為平行四邊形，且球。是直四棱柱A8CD-48∣G5的外

接球，

所以底面A3C。必為矩形，從而四棱柱ABCD-AIBICJDI為長方體.

設(shè)AO=a,AAi=A,則AB=2α,CIh=6,

所以球O的表面積S=4τr(a+(一)+")2=π(5a2+Λ2)≥2π×y[Sah=12√5π,

當(dāng)且僅當(dāng)5次=〃2,即α=智時，等號成立，

故球O表面積的最小值為12遍心

故選：A.

12.(5分)已知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,且對任意x€R,f(x)-fG)<0恒成立,

有;+晨次…的解集是()

則不等式組

3

A.(4,+∞)B.(0,1)

33

c?G，4)D.(—1,力U(4,+∞)

【解答】解：設(shè)管，則f'(χ)-∕(χ)

g(χ)=g'0)=>0,.?.g(x)在R上單調(diào)遞增.

,：f(%)是定義域為R的奇函數(shù)，,/(O)=0,則g(O)=0.

f∕(2x-3)/(0)

/(2x-3)>0等價于Je2x~3β0

二不等式組寺仞十f(%+l)f(2f

,eV(x+l)>e4∕(2x-3)

Iex+1e2x~3

；?g(x+l)>g(2x-3)>g(0),

(x+l>2x-33

解得54V4,

l2x-3>0

.?.不等式的解集為(∣,4).

故選：C.

二、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上。

~______>5

13.(5分)在平行四邊形ABCD中，CD=3CE,J≡L4E=4而+/MB,則入+g=——..

【解答】解：在平行四邊形ABCZ)中，CD=3CE,且∕?=4而+〃晶，

利用三角形法則，AE=AB+BE=AB+BC+CE=AB+AD+^CD=AD+∣??,

所以入=1,U=|，

則：λ+μ=

X-y≥0

14.(5分)若-y滿足約束條件"一5y≤10,則z=2ι+y的最大值為15

*≥0

聯(lián)立解得A(5,5),

I/人JVJLV/

由圖可知，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)A(5,5)時，z取得最大值，且最大值為15.

故答案為：15.

15.(5分)設(shè)等差數(shù)列｛如｝的前"項和為前.若Si7<0,Si8>0,則當(dāng)S取最小值時，〃

的值為9.

【解答】解：因為S∣7=U^^邊=17a9<0,所以。9<0，

因為Si8=9(。9+。10)>0,所以。9+。10>0，所以αιo>O,

所以等差數(shù)列｛的｝從第10項開始為正，則當(dāng)S?取最小值時，〃的值為9.

故答案為：9.

16.(5分)關(guān)于函數(shù)/(%)=2s比(37IXT)(G>0)有如下四個命題：

Oy(X)在白,，上的值域為[-2,√3]:

②∕?(x)的圖象不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；

③若/(x)的最小正周期為2,則∕?(l)=g;

④若/(1-x)=f(l+x),則ω的最小值為"

6

其中所有真命題的序號是①②③④.

【解答】解：對于①，Xeg,芻=37ΓX-界停，鋁，/(X)∈[-2,√3],則①為真

命題；

對于②，因為F(O)=2Sin(-≡)=-√3≠0,所以/(x)的圖象不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

則②為真命題；

對于③，f(x)的最小正周期為T=需=2=>3=Inf(I)=2sin竽=√3,則③是真命

題；

對于④，/(1-X)=f(l+x)=>f(%)的圖象關(guān)于直線X=1對稱=37Γ-*+∕σr(∕c∈

Z)=>ω=[+k(k∈Z),

因為3>0,所以ω的最小值為3則④為真命題；

故答案為：①②③④.

三、解答題。共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知機(jī)為正數(shù),p：不等式x2>m-3對XeR恒成立;<7：函數(shù)/(x)=X2+裳(x>0)

的最小值不小于2.

(1)若q為真命題，求”的取值范圍；

(2)若PAq為假命題，∕?∕g為真命題，求相的取值范圍.

【解答】解：(1)因為根為正數(shù)，x>0,

所以/^(x)=X2+≥2標(biāo)，

當(dāng)且僅當(dāng)爐=鬟，即X=V京時，等號成立.

若q為真命題，則2標(biāo)≥2,解得機(jī)21,

即日的取值范圍為[1,+∞).

(2)若P為真命題，則fn-3V°,解得o<小<3.

Im>0

因為「八4為假命題，pVg為真命題，

所以p,q一真一假.

若P真q假.則OV/nV1;

若q真〃假，則加23.

綜上，加的取值范圍為(0,1)U[3,+8).

18.(12分)mb,C分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊.己知爐+—。2=|兒，SinC

=2sin8.

(1)求cosA；

(2)若aABC的周長為6+6,求AABC的面積(結(jié)果用小數(shù)表示，取√^I=15.2).

【解答】解:⑴因為/+c2-α2=，c,

所以c°s4=3塞Q=∕?

(2)因為SinC=2sinB,

所以c=2b.

222

由余弦定理得M=h+c-2bccosA=-ξ-bf則Q=??e.

因為AABC的周長為6+√15,

所以3b+孚匕=6+小，解得方=2.

一1I5~^√231

所以AABC的面積為5Xbx2bXJl-(―)=4，

因為√^I=15.2,

所以BC的面積為3.8.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=√2x-m(m∈R).

(1)求/(x)的定義域；

(2)若函數(shù)g(x)=X-4近+6的最小值為a,且當(dāng)xe［2,+8)時，f(χ)有解,

求m的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)加WO時，2'-，〃>0恒成立，

則/(x)的定義域是R，

當(dāng)相?0時，由2'-〃?20,得x2log2?n,

則/(x)的定義域是［l0g2m,+∞);

(2)-：g(x)=(正一2/+222,故a=2,

?."?(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

故/(x)在［2,+8)上的最小值為f(2)=√4≡T^,

Vx∈［2,+8)時，f(χ)Ca有解，故√T=^<2,解得：0<mW4,

則〃?的取值范圍是(0,4］.

20.(12分)如圖，已知三棱柱ABC-AlBlCl是底面邊長為2,高為4的正三棱柱，點(diǎn)E在

棱BB］上，且=λ.

(1)當(dāng)入為何值時，平面AEcl，平面A4ιC∣C?說明你的理由.

(2)若4=：,求二面角A-EC-Al的余弦值.

B

【解答】解：(1)當(dāng);1=2時，平面AEClJL平面AAICIC?證明過程如下：

1

當(dāng)；1=］時，點(diǎn)E為棱B8∣的中點(diǎn)，

取線段AC的中點(diǎn)O,記AIC與4。相交于點(diǎn)￡>,連接0。，則。為線段AlC的中點(diǎn),

OD//AAi//BE,OD=^AAι=BE,

.?.四邊形OBDE為平行四邊形，.?.OE"OB,

:△ABC為正三角形，.?OB±AC,

由正三棱柱的性質(zhì)，知AAl，平面ABC,

5

VOBcFlElABC,：.AAi1.08,

又AAlnAC=A,AAHACU平面AAICIC,

；.O3_L平面AAIejC,

.?.?！辏篲1_平面>141。(7,

「OEu平面AECi,

平面AECI_L平面AAlClC.

(2)以。為原點(diǎn)，OB,OC,O。所在直線分別為X,>,z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A(0,-1,0),E(√5,0,2),C(0,1,0),Ai(0,-1,4),

：.AC=(0,2,0),CE=(√3,-1,2),4；C=(0,2,-4),

/TT

設(shè)平面AEC的法向量為扇=(x,y,z),則歲竺=°,即隹=°??n

In1CE=OWx-y+2z=0

令x=2,得元=(2,0,-√3),

同理可得，平面AIEC的法向量為A=(0,2,1),

‘C"〈/辦=熹√105

-35~,

由圖可知，二面角A-EC-Al為鈍角,

故二面角A-EC-A?的余弦值為.

21.(12分)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”,且m=3,2Sn=an+ι+4n-3.

(1)證明：數(shù)列3-2｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛W｝的前〃項和Tn.

【解答】(1)證明：依題意，當(dāng)〃》2時.，由2S"=斯+1+4〃-3,

可得2S∏■I=‰+4(n-1)-3,

兩式相減，可得2an=an^?-an+4,

整理,得