第06講：三角函數(shù)中任意角、誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系 原卷版

第06講：三角函數(shù)中任意角、誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：終邊相同的角 考點(diǎn)二：象限角考點(diǎn)三：弧度制 考點(diǎn)四：弧長(zhǎng)公式和面積公式考點(diǎn)五：任意角的三角函數(shù) 考點(diǎn)六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系考點(diǎn)七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)一：角的分類：名稱定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角知識(shí)二：終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．知識(shí)三：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識(shí)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.知識(shí)五：六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限技巧歸納：1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【題型歸納】題型一：終邊相同的角1．（2023下·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2023下·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023下·北京海淀·高一北大附中?？计谥校⒌慕K邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與的終邊重合，則與終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．題型二：象限角4．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學(xué)校考期中）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023下·北京·高一北師大二附中?？计谥校┰O(shè)是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限6．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎堑谝幌笙藿?，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角題型三：弧度制7．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┐呵飸?zhàn)國(guó)時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國(guó)誕生了表示季節(jié)變遷的24節(jié)氣．它將黃道（地球繞太陽(yáng)按逆時(shí)針?lè)较蚬D(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓）分為24等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣，2022年10月8日為寒露，經(jīng)過(guò)霜降?立冬?小雪及大雪后，便是冬至，則從寒露到冬至，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（

）A． B． C． D．8．（2023下·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則（

）A． B． C． D．9．（2022上·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）圓的一條弧的長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，則這條弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B． C． D．題型四：弧長(zhǎng)公式和面積公式10．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．11．（2023下·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（

）A．6 B．3 C．12 D．12．（2023下·山東日照·高一統(tǒng)考期末）我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆淡》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓O的半徑為2，利用上述公式，計(jì)算該扇形弧長(zhǎng)的近似值為（

）

A． B． C． D．題型五：任意角的三角函數(shù)13．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．14．（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．15．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┖瘮?shù)（且）的圖象都過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角的終邊上，則．題型六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系16．（2023上·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥校┤簦?，則（

）A． B． C． D．17．（2023上·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的兩實(shí)根，則的值是（

）A． B． C． D．18．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知角終邊過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．3 D．題型七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式19．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．120．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）若為第四象限角，且，則的值是（

）A． B． C． D．21．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┮阎?(1)求；(2)若角為第二象限角，且，求的值.題型八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題22．（2024上·新疆阿勒泰·高一統(tǒng)考期末）已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若角是三角形ABC的內(nèi)角，且，求的值．23．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）（1）化簡(jiǎn)；（2）已知，且，求的值.24．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知．(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；(2)若，求的值．【強(qiáng)化精練】一、單選題25．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．26．（2024上·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值可以為（

）A． B． C． D．27．（2023上·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)中學(xué)?？计谀┠铣瘶?lè)府民歌《子夜四時(shí)歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來(lái)；輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”，中國(guó)傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開(kāi)時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．28．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為1弧度B．當(dāng)時(shí)，C．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則D．若，則故選：B29．（2024上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2023上·甘肅白銀·高一校考期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．31．（2024上·天津和平·高一天津一中?？计谀┮阎?，則（

）.A． B． C．1 D．332．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知是第四象限角，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題33．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．終邊在軸上角的集合是B．若角的終邊在第二象限，則角是鈍角C．若角是鈍角，則角的終邊在第二象限D(zhuǎn)．終邊在直線上角的集合是34．（2022上·重慶巫山·高一?？计谀┫铝忻}中正確的是（）A．若角是第三象限角，則可能在第三象限B．C．若且，則為第二象限角D．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則35．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．故選：ACD.36．（2023上·全國(guó)·高一期末）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．37．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知，則下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題38．（2024上·安徽淮北·高一?？计谀┮阎粋€(gè)扇形的圓心角為2．其周長(zhǎng)的值等于面積的值，則扇形的半徑．39．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，則．40．（2024上·上海·高一上海中學(xué)?？计谀┗?jiǎn)：．41．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則.42．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.則四、解答題43．（2024上·安徽淮北·高一?？计谀┮阎?1