第05講 拓展一：利用導數研究不等式恒成立問題（解析版）

第05講拓展一：利用導數研究不等式恒成立問題一、知識點歸納1、分離參數法用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；步驟：①分類參數（注意分類參數時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉化法當遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構造“左減右”的函數或者“右減左”的函數，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數的最值的問題.二、題型精講方法一：分離變量法1．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的極值；(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)極小值為，無極大值(3)【詳解】（1）由得，又，所以在切線為（2）令，則，故在單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取極小值，無極大值，（3）由得，故，構造函數則，令，則，故當時，，單調遞增，時，單調遞減，故當取極小值也是最小值，，所以，即2．（2023下·山東淄博·高二?？茧A段練習）（1）已知對于恒成立，求實數的取值范圍；（2）已知函數，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）對于恒成立，令，，只需即可，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極小值，也是最小值，所以，故，實數的取值范圍是；（2），故在R上恒成立，即在R上恒成立，令，只需，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故，所以，故a的取值范圍為.3．（2023下·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考階段練習）已知函數，，k為常數，e是自然對數的底數．(1)當時，求的極值；(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數k的取值范圍．【答案】(1)極小值為0，無極大值(2)【詳解】（1）當時，，∴，由得，故的單調遞增區(qū)間為；由得，故的單調遞減區(qū)間為；所以函數有極小值為，無極大值．（2）當時，不等式化簡為，令，則；令得，∴在上單調遞減，在上單調遞增；因為，所以，又，所以．4．（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）對函數求導可得．當時，恒成立，可得函數的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，令，可得，可得函數的單調遞減區(qū)間為；令，可得，可得函數的單調遞增區(qū)間為；綜上所述：時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）法一：當時，恒成立等價于，令，則，令，可得，即有在上單調遞減；令，可得，即有在上單調遞增．從而可得函數的最小值為，綜上即可得的取值范圍是．法二：由（1）知，當時，函數在上單調遞增，所以滿足題意；當時，，所以函數的在上單調遞增，所以滿足題意；當時，，函數的在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以，即，解得：，綜上，實數的取值范圍是．5．（2023上·廣東梅州·高三?？茧A段練習）已知函數，是上的奇函數，當時，取得極值．(1)求函數的單調區(qū)間和極大值；(2)若對任意，都有成立，求實數的取值范圍；【答案】(1)單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，極大值為2(2)【詳解】（1）是上的奇函數，，即，得恒成立，可得，即，，又當時，取得極值，，解得，故函數，導函數，令解得，當，，當時，，單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，故當時，取到極大值；（2），對任意，都有成立，只需在時恒成立，構造函數，，則有，令可得或，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，取到極大值，又，故的最大值為8，故實數的取值范圍為：.方法二：分類討論法1．（2023·高二?？颊n時練習）已知不等式對任意恒成立，則實數的最大值是.【答案】【詳解】不等式對任意恒成立，即對任意恒成立，設，，時，在上恒成立，在上單調遞增，無最小值，函數和函數在上都單調遞增，，，不恒成立.時，恒成立，此時，時，解得，解得，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，有最小值，故，，，綜上可知，實數的最大值為.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）設函數，若當時，求的取值范圍．【答案】【詳解】：由題得，令，所以，當時，恒成立，僅當時，在單調遞增，所以，所以函數在上單調遞增.所以滿足題意；當時，得，得，所以在單調遞減，在單調遞增，又，所以函數在單調遞減，又，所以函數在上，與已知矛盾，不合題意，所以舍去.綜上所述：.3．（2023·全國·高三專題練習）設函數．(1)討論的單調性；(2)若恒成立，求a的值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）的定義域為．．若，則，在上單調遞增．若，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；（2）由（1）知，若，則當時，，矛盾．因此．由（1）知此時．恒成立等價于恒成立．設，即恒成立，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，顯然函數在處有唯一零點，且．而恒成立，所以，所以．4．（2021上·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學校考階段練習）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.方法三：等價轉化法1．（2023下·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學?？计谥校┮阎瘮?，（其中）．(1)若，求函數的單調區(qū)間；(2)若對于任意，都有成立，求的取值范圍．【答案】(1)單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為(2)【詳解】（1）若，則，，令，可得或，令，可得，所以單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為.（2）因為對于任意，都有成立，所以對于任意，都有成立,即對于任意，；因為，所以對于任意，.設，其中，則，因為，所以，所以，因此在單調遞增，所以，所以，即，故的取值范圍為.2．（2022下·福建泉州·高二福建省泉州市培元中學校考期中）已知函數.(1)求的圖象在處的切線方程；(2)當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數，切點為，，∴，∴的圖象在處的切線方程為：，即.（2）令，.，設，，∵，∴，在上單調遞增，即在上單調遞增，，當時，，∴在上單調遞增，∴，∴當時，恒成立.當時，，∵函數在上存在唯一的零點，∴函數在區(qū)間上單調遞減，，不符合題意，舍去.綜上可得：的取值范圍是.3．（2023上·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）已知函數，．(1)當時，求函數的最大值；(2)若關于的不等式恒成立，求實數的值．【答案】(1)0(2)1【詳解】（1）當時，函數，易知，，，當，，當，，即在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，故最大值為.（2）令則，當時，由，即，得到，顯然不合題意，故，由，得到，故當時，時，，時，，即時，函數在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，由（1）知當時，恒成立，即恒成立，當時，時，，時，，即時，函數在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，當，恒成立，即在區(qū)間上單調遞增，又，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，綜上所述，實數的值為.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若在上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），．依題意知時，恒成立，即．令，，∴，∴在上單調遞減，∴，∴，解得，∴實數a的取值范圍為；（2）令，，則只需即可，∴．當時，，∴在上單調遞減，∴，∴，即，∴．當時，當時，，當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴要使，只需，即