第05講 4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式（原卷版）

第05講4.3.2等比數(shù)列的前項和公式課程標準學習目標①掌握等比數(shù)列前n項和公式及求取思路，熟練掌握等比數(shù)列的五個量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項與和求通項。②會利用等比數(shù)列性質(zhì)簡化求和運算，會利用等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征求最值。③能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題。能掌握等比數(shù)列的通項與前n項和的相關(guān)計算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問題，會利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題知識點01：等比數(shù)列前項和公式若等比數(shù)列的首項為,公比為,則它的前項和【即學即練1】（2023春·海南儋州·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列{an}中，(1)已知，求前4項和；(2)已知公比，前5項和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得，所以，所以；（2）由，得，所以.知識點02:等比數(shù)列前項和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當是偶數(shù)時,;當是奇數(shù)時,(3)【即學即練2】（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，其中，所以，所以.故選：A知識點03：錯位相減法求數(shù)列的和推導等比數(shù)列前項和的方法叫做錯位相減法,一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積所構(gòu)成的數(shù)列的前項和.題型01等比數(shù)列前項和的基本量計算【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習）求下列等比數(shù)列的前n項和．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項和為．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【變式1】（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列的前項和.(1)求實數(shù)的值；(2)若，求.【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是等比數(shù)列.(1)若，，求；(2)若，，，求；(3)若，，，求n.題型02等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．17【典例2】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．20 B．30 C．35 D．40【變式2】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12題型03等比數(shù)列奇、偶項和的性質(zhì)【典例1】（2023春·高二課時練習）已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知等比數(shù)列的前項中，所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則的值為．【典例3】（2023春·高二課時練習）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項和為．【變式1】（2023春·高二課時練習）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前10項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【變式2】（2023春·高二課時練習）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【變式3】（2023·全國·高二專題練習）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式4】（2023·全國·高二隨堂練習）在等比數(shù)列中，，，求的值.題型04分組求和法求數(shù)列的前項和【典例1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.【典例2】（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).【變式1】（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，且為等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足的最大整數(shù).【變式2】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.題型05錯位相減法求數(shù)列的前項和【典例1】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和.【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二星海實驗中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【變式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【變式2】（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．題型06等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（2023秋·湖南·高三雅禮中學校聯(lián)考階段練習）在數(shù)列中，，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.【典例2】（2023秋·北京·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記比較與的大小.【典例3】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列公差為2，且，，恰為等比數(shù)列的前三項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和．【變式1】（多選）（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯(lián)考階段練習）已知為等比數(shù)列，是其前項和.若與的等差中項為20，則（

）A． B．公比C． D．【變式2】（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列是以3為首項，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【變式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學校考開學考試）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式：(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．題型07等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學?？寄M預(yù)測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．4803．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠中學?？计谀┠硶簲?shù)科考試中有這樣一道題：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復(fù)切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山問：夫子切了六斤桃花一共飲了幾壺酒（

）A． B． C． D．4．（2023春·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀?）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期的數(shù)學著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是一個整數(shù)除以三余二、除以五余三、除以七余二，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為，當時，試求符合條件的的個數(shù).（2）《九章算術(shù)》敘述了一個老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，大鼠“壯壯”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壯壯'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.問:何日相逢?各穿幾何?”意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞，大老鼠“壯壯”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壯壯”每天的打洞進度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的進度是前一天的倍.問第300天結(jié)束時，兩只老鼠“壯壯”與“果果”是否能喜相逢?請說明理由.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習）設(shè)為公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B．2 C．或 D．或22．（2023春·北京·高二北京市第十二中學校考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,,則數(shù)列的前n項和為（

）A． B．C． D．3．（2023春·北京·高二中關(guān)村中學?？计谥校┐笱軘?shù)列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.其前項依次是、、、、、、、、、.其通項公式為如果把這個數(shù)列排成如下圖形狀，并記表示第m行中從左向右第n個數(shù)，則的值為（

）

A．1984 B．2048 C．5724 D．58324．（2023·高二課時練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·四川雅安·高三?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．146．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．177．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學考試）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）數(shù)列，其前項和為，若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則數(shù)列的公比可能是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·重慶南岸·高三重慶第二外國語學校?？茧A段練習）等差數(shù)列的公差為，前項和為；等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為，下列說法正確的是（

）A．是等比數(shù)列，公比為B．是等差數(shù)列，公差為C．若，則，，成等差數(shù)列，公差是D．若，則，，成等比數(shù)列，公比是三、填空題11．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，，則.12．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則.四、解答題13．（2023秋·北京·高三北師大實驗中學校考階段練習）已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記比較與的大小.14．（2023秋·北京·高三北京市廣渠門中學?？茧A段練習）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若分別是等比數(shù)列的第1項和第2項，求使數(shù)列的前項和的最大正整數(shù)．B能力提升1．（2023秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學?？茧A段練習）已知為等比數(shù)列，的前項和為，前項積為，則下列選項中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則2．（2023秋·山東·高三山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考開學考試）已知正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項組成新的數(shù)列，則（

）A．4048 B．2023 C．2022 D．40463．（2023秋·上海虹口·高二上外附中校考階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若（n為正整數(shù)），求數(shù)列的前n項和；(3)若（n為正整數(shù)），且不等式對任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學?？奸_學考試）“內(nèi)卷”作為高強度的競爭使人精疲力竭．數(shù)學中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案．設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法錯誤的是（

）

A．從正方形開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為B．C．使得不等式成立的的最大值為4D．數(shù)列的前項和2．（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學校考階段練習）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.(4)記的前項和為，求證：；3．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）教育儲蓄是指個人按國家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項儲蓄，是一種專