2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 02 反比例函數(shù)與幾何綜合問題 （學(xué)生版+解析版）

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題

一、【知識(shí)回顧】

（1）平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（a,b）

點(diǎn)P（a,b）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)（a,-b）

點(diǎn)尸（a,b'）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-a,b）

點(diǎn)尸（a,b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-a,-6）

點(diǎn)一（a,b）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)（b,a）

點(diǎn)/（a,b）關(guān)于y=-χ的對(duì)稱點(diǎn)（-〃，-a）

（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型

備注：熟練運(yùn)用幾大模型：①一點(diǎn)一垂線②一點(diǎn)兩垂線③兩點(diǎn)一垂線④兩點(diǎn)兩垂線⑤兩點(diǎn)也原點(diǎn)

反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)；并通過點(diǎn)的坐標(biāo)表

示線段長(zhǎng)度，通過面積構(gòu)建方程，解方程。

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：反比例函數(shù)與直線結(jié)合

典例1:（2022?安徽馬鞍山??？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)y=，我的圖象與反比例函數(shù)V=巴的圖象交于

X

A（a,Z?）,B（c,d）兩點(diǎn)，口/+力C的值為（）

【變式1］（2022春?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞'=〃式（m≠0,機(jī)為常數(shù)）與雙

曲線y=±（kwθ,后為常數(shù)）交于點(diǎn)48,若A（Ta）,B（6,-3）.,過點(diǎn)/作AM_Lx軸，垂足為連接初乩，

X

則ΔABM的面積是（)

A.2B.tn-1C.3D.6

4

【變式2](2022秋?貴州銅仁?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=-?(x>0)的

圖象與一次函數(shù)y=-χ+ι的圖象交于點(diǎn)尸(機(jī)〃)，則代數(shù)式'+'的值為()

mn

【變式3](2021?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)y=Kχ+6的圖象與反比例函數(shù)y=殳的圖像相

X

交于A(L2)、5(-2,〃)兩點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足KX+%>勺的X的取值范圍；

X

(3)若點(diǎn)P在線段AB上，且SMoP:Sw=l：4,求點(diǎn)戶的坐標(biāo).

考點(diǎn)2：反比例函數(shù)與特殊三角形結(jié)合

典例2：（2022?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，AOMV是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=（（x>0）

X

的圖象與邊OM分別交于點(diǎn)4、B（點(diǎn)8不與點(diǎn)M重合）.若/施OM于點(diǎn)8,則左的值為.

【變式1】（2022?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8在第一象

限,且；OAB為等邊三角形,若反比例函數(shù)產(chǎn)士在第一象限的圖象經(jīng)過邊力8的中點(diǎn),則k的值為

X

【變式2】（2020?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)方與%>0,x>0）的圖象與等

X

邊三角形的邊04,45分別交于點(diǎn)“，N,S,OM=2MA,若AB=3,那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為（）

【變式3】（2023秋?河南許昌?九年級(jí)?？计谀┮阎c(diǎn)A在反比例函數(shù)y=*（x>O）的圖象上，點(diǎn)B在X軸

正半軸上，若,OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5,則點(diǎn)B坐標(biāo)為

考點(diǎn)3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結(jié)合

典例3：（2022春?福建龍巖?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)y=&點(diǎn)E,尸是該反比例函數(shù)圖象上

X

的另外兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)。，點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若已知四邊形AS尸為矩形，ED=2AE,且矩

形AEDF的面積為18,則左的值為.

【變式1］（2020?福建漳州?統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形0/8C為菱形，04在X軸的正半軸

上，S4OC=60?過點(diǎn)C的反比例函數(shù)y=延的圖象與N8交于點(diǎn)。，貝的CoZ）的面積為（）

A.2√3B.4√3C.4D.4√5

【變式2】（2。22?福建漳州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)y=：（×>0）的圖象經(jīng)過矩形。ABC對(duì)角

線的交點(diǎn)M,分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為【】

【變式3】(2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))正方形/BCO的邊長(zhǎng)為4,AC,8。交于點(diǎn)E.在點(diǎn)N處建立平

面直角坐標(biāo)系如圖所示.

(1)如圖(1),雙曲線y=h過點(diǎn)E,完成填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是,點(diǎn)E的坐標(biāo)是,雙曲線的解

X

析式是:

(2)如圖(2),雙曲線V=4與8C,CO分別交于點(diǎn)N.求證：MN〃BD；

X

(3)如圖(3),將正方形NBCD向右平移機(jī)(∕n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，使過點(diǎn)E的雙曲線V=石與力8交于點(diǎn)

圖1圖2圖3

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

L（2022春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ORC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)

I4

y=-上，頂點(diǎn)3在反比例函數(shù)y=一上，點(diǎn)C在X軸的正半軸上,則平行四邊形QUSC的面積是（)

35

A.-B.-C.3D.5

22

1

2.（2021秋?廣東佛山?九年級(jí)佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)反比例函數(shù)y=k—和y='在第一象限內(nèi)的

XX

圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=A的圖象上，尸。_LX軸于點(diǎn)。，交y=L的圖象于點(diǎn)力，PDLy軸于點(diǎn)。，交y=,

的圖象于點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)P在y=&的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.aor>8與6比4的面積相等

B.當(dāng)點(diǎn)/是尸C的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8一定是PD的中點(diǎn)

CADB

Q----=-----

'PAPB

D.只有當(dāng)四邊形OCPO為正方形時(shí)，四邊形為。8的面積最大

3.（2022秋?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)

是（；，。），點(diǎn)8的坐標(biāo)是（0,-2）,直線AB與反比例函數(shù)y=">0）的圖象交于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AC,X

軸與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C,若AC=AD,貝IJk的值為（）

4.（2022春?江蘇蘇州?八年級(jí)校考期中）如圖，已知點(diǎn)才是一次函數(shù)y=6x的圖像與反比例函數(shù)y=七的

X

圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，AB工X軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C在X軸的負(fù)半軸上，且OA=OC,/0B的面積為正,

2

則AC的長(zhǎng)為（）

B.2√3C.2√2D.4

5.（2021?湖北武漢?九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)/是雙曲線y=L在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/。并延

X

長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)8,以"8為邊作等邊三角形Z8C,點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，隨著點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置

也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線V=K（x>0）上運(yùn)動(dòng)，則％的值是（）

A.3B.√3C.-3D.-√3

2

6.（2022春?河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)”是反比例函數(shù)y=1（x>0）的圖象上任意一點(diǎn)，AB〃x軸

交反比例函數(shù)V=K的圖象于點(diǎn)8,以48為邊作平行四邊形/88,其中C、D在X軸上，則SABQ為（）

X

A.-aB.2—aC.-2aD.2+。

7?（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形,08在X軸的正半軸上,cos*IO5=

與BC交于點(diǎn)、F,則aZO尸的面積等于（）

D.40

8.（2012春?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是雙曲線y=?!■上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC口y軸,

X

BDny軸，則四邊形ZCBO的面積S滿足（）

A.S=IB.1<S<2C.S=2D.S>2

1Q2

9.（2022春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為函數(shù)y=^（x>0）圖象上一點(diǎn)，連結(jié)。4,交函數(shù)y=1（χ>0）

的圖象于點(diǎn)8,點(diǎn)C是X軸上一點(diǎn)，且Ao=AC,則三角形43C的面積為（）

A.9B.12C.20D.36

10.（2023,全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，NQ4B=30。，點(diǎn)N在反比例

函數(shù)y=［（χ>o）的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)8的反比例函數(shù)解析式為（）

二、填空題

11.（2022秋?湖南懷化?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)直線y=匕ɑvθ）與雙曲線y=-*相交于

X

A（Xy）,B（X2,打）兩點(diǎn)，貝1」5斗必-3》2凹的值為

12（2023春?遼寧沈陽?九年級(jí)沈陽市南昌初級(jí)中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)/在雙

4k

曲線>=一上，點(diǎn)B在雙曲線y=一上，點(diǎn)力在點(diǎn)8的左側(cè)，A8〃X軸，點(diǎn)C,。在X軸上，若四邊形ABC

XX

為面積是9的矩形，則z的值為.

A

=x

4

』X

X

13.（2019?福建三明?統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形。/8C為菱形，。/在X軸的正半軸上，^AOC

=60。，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)y=生叵的圖象與/8交于點(diǎn)。，則ACOO的面積為.

14.（2021春?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，已知在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，RtAQAB的直角頂點(diǎn)B在X軸

的正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，反比例函數(shù)y=2（χ>0）的圖象經(jīng)過。4的中點(diǎn)C.交于點(diǎn)。，連接C￡>.若

X

15?（2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=-2x+3的圖像交坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y=A

X

圖像的一個(gè)分支于點(diǎn)A,若點(diǎn)B恰好是AC的中點(diǎn)，則k的值是.

16.（2021春?福建廈門?九年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)校考期中）如圖，已知48兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)產(chǎn)與位于第

X

二象限部分的圖像上，且回為等邊三角形，若/8=6,則左的值為一.

三、解答題

17.（2022秋?福建福州?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，C,N兩點(diǎn)分

別在X軸的正半軸上和y軸的正半軸上，。為線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=；（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8.

⑴當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（1,0）時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；（用含上的代數(shù)式表示）

（2）若一次函數(shù)y=-3x+k的圖象經(jīng)過C,O兩點(diǎn)，求人的值.

k

18.(2022秋?遼寧葫蘆島?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)A(m,l)和點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=[(%>0,x>0)的圖象

上，過點(diǎn)A作AC〃y軸交X軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作80〃X軸交直線AC于點(diǎn)O,CD=3AC.

⑵過點(diǎn)B作BELx軸于點(diǎn)E,若四邊形BECD的面積為8,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

19.(2020秋?福建莆田?九年級(jí)?？计谥?如圖，Rt團(tuán)AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在X軸上，SIABC)=90。,

反比例函數(shù)y="(×>0)的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)C的坐標(biāo)為("，1),

X

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接CD,求四邊形OCDB的面積.

20.（2022?遼寧鞍山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)AC在雙曲線M='θ">θ）上，點(diǎn)B、。在雙曲線必=々“<。）

XX

上，A￡>〃8C〃y軸.

（1）當(dāng)機(jī)=6,M=-3,AD=3時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);

⑵若點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，試判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題

一、【知識(shí)回顧】

（1）平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（a,b）

點(diǎn)P（a,b）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)（a,-b）

點(diǎn)尸（a,b'）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-a,b）

點(diǎn)尸（a,b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-a,-6）

點(diǎn)一（a,b）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)（b,a）

點(diǎn)/（a,b）關(guān)于y=-χ的對(duì)稱點(diǎn)（-〃，-a）

（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型

備注：熟練運(yùn)用幾大模型：①一點(diǎn)一垂線②一點(diǎn)兩垂線③兩點(diǎn)一垂線④兩點(diǎn)兩垂線⑤兩點(diǎn)也原點(diǎn)

反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)；并通過點(diǎn)的坐標(biāo)表

示線段長(zhǎng)度，通過面積構(gòu)建方程，解方程。

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：反比例函數(shù)與直線結(jié)合

典例1：（2022?安徽馬鞍山??？家荒＃┤鐖D,已知正比例函數(shù)y=/我的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于

X

A（a,b）,B（Gd）兩點(diǎn)，歷的值為（）

C.-2〃D.2/1

【答案】C

【分析】先根據(jù)圖象過點(diǎn)，坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱性求解.

【詳解】解：???反比例函數(shù)），=q的圖象過點(diǎn)A（a,b）,

X

.*.ab=幾,

n

V正比例函數(shù)y=爾的圖象與反比例函數(shù)y='的圖象都是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

X

.?.A（α,6）,B（c,d）關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

?*?ci=—Cfb=-d,

/.ad+hc=-ab-ab=-2ab=-2n,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)，圖象的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2022春?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=（∕M≠o,機(jī)為常數(shù)）與雙

曲線y=A（AwO,后為常數(shù)）交于點(diǎn)力，5,若A（TM）IS,—3）.,過點(diǎn)N作AMLX軸，垂足為Λ/,連接EW,,

X

【答案】C

【分析】根據(jù)反比例的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱得到點(diǎn)力與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則SoAM=SQBM,

A（-l,3）,（l,-3）,代入解析式求得k=-3,然后根據(jù)反比例函數(shù)y=&（左≠0）系數(shù)k的幾何意義即可得到

X

13

SAaW=~II=~?進(jìn)一步得出51ABM=2Sa0m=3.

L

【詳解】解：???宜線y=g（mwθ,用為常數(shù)）與雙曲線）”一（?≠0,k為常數(shù)）交于點(diǎn)4B,

X

???點(diǎn)力與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

???θqOAM-_UqOBM?

?.?A(-l,a),β(?,-3),

?,.α=3,。=1,

ΛA(-l,3),(1,-3),

/.Z=-1x3=—3,

?.?A",x軸，垂足為例,

13

--SA0M=-\k\=~,

??q_c

?0OAM-UOBM，

?q一,q一a

??UABM_2AOM-J?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)y=K(k≠0)系數(shù)人的幾何意義：從反比例函數(shù)

X

y=*k豐0)圖象上任意一點(diǎn)向X軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為?k?.

4

【變式2](2022秋?貴州銅仁?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=-；(x>0)的

圖象與一次函數(shù)y=-χ+i的圖象交于點(diǎn)以，〃,〃)，則代數(shù)式工+」的值為()

mn

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=-g(χ>o)的圖象與一次函數(shù)y=-χ+ι的圖象交于點(diǎn)尸(η〃)，得到

，如=T"=f+ι,利用整體思想代入'+L求值即可.

tnn

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=-%χ>o)的圖象與一次函數(shù)y=-χ+ι的圖象交于點(diǎn)P(m,n),

/.mn--4,n=-m+1,

.?.m+n=?,

??ntn

??—=—+—

mnmnmn

_m+n

mn

1

=—■

4,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及分式求值.熟練掌握交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足反比例

函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用整體思想，進(jìn)行求值，是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2021?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)y=Kχ+6的圖象與反比例函數(shù)y=々的圖像相

X

交于4(1,2)、8(-2,〃)兩點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足心+〃>與的X的取值范圍；

X

(3)若點(diǎn)尸在線段AB上，且SN*:SM?=1：4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=χ+i;反比例函數(shù)為y=2;(2)—2<X<O或X〉l；(3)(|,1).

X55

【分析】⑴將/點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求得的,再將8點(diǎn)代入反比例函數(shù)求得〃，再把/、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代

入次函數(shù)求得左和匕從而得出兩函數(shù)解析式：

(2)觀察圖案結(jié)合(1)題求得4、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出所求X的范圍；

(3)連接8。、AO,則4/O尸和aBO尸高相同，面積之比就是底邊長(zhǎng)度之比，因此8尸：“尸=4：1,再用“8

之間橫坐標(biāo)差值按比例分配求得尸點(diǎn)橫坐標(biāo)，再把橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)求得縱坐標(biāo)從而求出P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：(1)反比例函數(shù)y=與經(jīng)過A(l,2),

攵2=1X2=2,

2

二?反比例函數(shù)為"一，

X

2

8(-2,〃)在比例函數(shù)y=—的圖象匕

X

2

.”=E=-1I，

8(-2,-1),

■?直線y=A+[經(jīng)過41,2),B(-2,-i),

(k.+b=2[Λ1=1

????7∕M1'解得：「

[-2k]+?=-lW=I

???一次函數(shù)的解析式為y=χ+i;

(2)觀察圖象，Z∣x+b>幺的X的取值范圍是—2<x<0或x>l；

X

(3)設(shè)P(X,x+l),

^AAOP'S獨(dú)QP=1：4'

.?.AP:依=1:4,

即QB=4PA,

.?.(x+2)2+(Λ-+1+1)2=16[(x-1)2+(X+1-2)2],

解得士=：，X2=2(舍去)，

27

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)為(?y,

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，函數(shù)與不等式，三角形的面積

等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

考點(diǎn)2：反比例函數(shù)與特殊三角形結(jié)合

典例2：(2022?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題)如圖，AOMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y='(x>0)

X

的圖象與邊MN、OW分別交于點(diǎn)/、B(點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合).若于點(diǎn)3,則出的值為.

【答案】9√3

【分析】過點(diǎn)2作BCLX軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)彳作X軸于點(diǎn)O,設(shè)OC=X,利用含30度角的直角三角形的

性質(zhì)以及勾股定理求得點(diǎn)8（x,石x）,點(diǎn)N（152t,2^Λ-5√3）,再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程

即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)B作BCLx軸丁點(diǎn)C,過點(diǎn)A作/C_Lx軸于點(diǎn)D,如圖：

：AOMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，

ΛOM=MN=ON=IO,NMoN=NMNONM=60",

，NoBC=NMAB=NN4D=30°,

設(shè)OC=X,則O8=2Λ-,BC=舟,Λ∕8=10-2x,MA=2MB=20-4x,

：.NA=IO-MA^x-W,DN=；NA=2x-5,AD^√3DN=√3(2x-5)=2√3.r-5√3,

：.OD=ON-DN=IS-Ix,

；.點(diǎn)B(x,百x),點(diǎn)/(15-2x,2y∕3x-5y∕3),

：反比例函數(shù)產(chǎn)L(X>0)的圖象與邊OM分別交于點(diǎn)4B,

X

Λx?√3x=(15-Zr)(2√3?r-5√3),

解得x=5(舍去)或x=3,

點(diǎn)8(3,3⑻,

：.k=9也.

故答案為：9√3.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股

定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

【變式1】（2022?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8在第一象

k

限,且.045為等邊三角形,若反比例函數(shù)片一在第一象限的圖象經(jīng)過邊”的中點(diǎn)，則攵的值為

【答案】3√3

【分析】設(shè)48中點(diǎn)為。，分別過8、。作陰SLo4、DMLOAf根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,利用等邊三角

形的性質(zhì)，算出。例和OM的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可得出〃的值.

【詳解】設(shè)44中點(diǎn)為。，分別過8、D作BNLoA、DMVOAf垂足分別為N、”如圖所示：

CM=4,ZXONB為等邊三角形，

o

AB=OA=OB=4,ZBOA=ZBAO=60f

BN工0A,

ON-AN-2,BN=OBXsin60o=4×=2G,

2

DMLOA,

DM〃BN,

DMAMAD

點(diǎn)。為力6的中點(diǎn),

.DMAM_AD_l

9'^N~^N~~AB~2t

.*.DM=?/?,AM-1,

.?OM=OΛ-AM=4-l=3f

ΛD（3,√3）,

??k=3χy]3=3γ∕3?

故答案為：3√3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)關(guān)系式和平行線分線段成比例定理，作出相應(yīng)

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2020?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)產(chǎn)“僅>o,χ>o）的圖象與等

X

邊三角形043的邊Oa48分別交于點(diǎn)M,N,且OM=2M4,若/8=3,那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件，可求出OM,通過做垂線，利用解直角三角形，求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；用直線AB的關(guān)系式與反比例函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，解出X的值

即可.

【詳解】過點(diǎn)N、M分別作NCLOB,MDlOB,垂足為C、D,

ΛAB=0A=0B=3,ZAOB=ZABO=6O0,

又?.PM=2MA,

Λ0M=2,MA=I,

在RtZiMOD中，ZOMD=900-ZMOD=30°,

OD=?OM=I,MD=√30D=√^,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,G)，

.??反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=正，

X

設(shè)OC=a,貝UBC=3-a,NC=

a

在RtZXBCN中，ZBNC=90o-ZNBC=30°,

ΛNC=√3BC,

：.—=y/3(3-a),

a

解得：〃=亙正，。=匕叵(舍去)，

22

.?.點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為土衛(wèi)，

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角直角三角形的性質(zhì)、待

定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

19

【變式3】(2023秋?河南許昌?九年級(jí)?？计谀?已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1(x>O)的圖象上，點(diǎn)B在X軸

正半軸上，若IIoAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5,則點(diǎn)B坐標(biāo)為.

【答案】(5,0)或(6,0)或(8,0)

【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)49=45時(shí)?，過點(diǎn)/作ACLOB,垂足為C,

,."AO=AB=5,設(shè)A(X,—I,

X

2

=5，

解得：x=3或χ=4或R=-3（舍）或X=-4（舍）,

19

代入y=（（x>0）計(jì)算可得：A（3,4）或A（4,3）,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,0）或（8,0）；

Y腰長(zhǎng)為5,

:?AB=BO=5,

.?.點(diǎn)8坐標(biāo)為（5,0）；

當(dāng)。4=08時(shí)，

：腰長(zhǎng)為5,

.,.0A=0B=5,

點(diǎn)8坐標(biāo)為（5,0）；

綜上：點(diǎn)3的坐標(biāo)為（5,0）或（6,0）或（8,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)AO=AB

時(shí)，求出點(diǎn)8的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結(jié)合

典例3：（2022春?福建龍巖?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)y=K點(diǎn)E,f是該反比例函數(shù)圖象上

X

的另外兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)。，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若已知四邊形AED尸為矩形，ED=2AE,且矩

形AEDF的面積為18,則Z的值為.

y

27

【答案】y

【分析】利用矩形面積以及長(zhǎng)寬的關(guān)系，找出關(guān)系式，再利用完全平方公式算出女.

【詳解】解：由題意可知，設(shè)E點(diǎn)為(x,y),A(y,x),D(-y,-x),反比例函數(shù)y=：

k=xyfAJE~=(x-y)÷(y—x)=2(x-y),即AE=12(x-y)~

222

ED=(x+y)+(x+y『,ED=y∣2(x+y)

SAEDF=AE.ED=↑S,ED=2AE

Λ2AE2=18,

ΛA￡=3,ED=6

AE2=32=9=2(x-y)2

??(?r-^)2=?∣

ED2=62=36=2(x+y)2

.?.(x+>?)2=18

C9

」』_(工+=)2一("一》)1527

448

故答案為2?7.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，勾股定理，完全平方公式，解題關(guān)鍵是利用矩形的面積及長(zhǎng)寬關(guān)系找出

關(guān)系式.

【變式1](2020,福建漳州?統(tǒng)考二模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形。/8C為菱形，。/在X軸的正半軸

上，ZAOC=GOa,過點(diǎn)C的反比例函數(shù)y=逋的圖象與48交于點(diǎn)。，則ACOO的面積為()

A.2√3B.4√3C.4D.4√5

【答案】B

【分析】易證SMABCo=2SASO,再根據(jù)tan∕A0C的值即可求得菱形的邊長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得菱

形的面積和結(jié)論.

【詳解】解：作DF〃A0,CE±AO,

VZAOC=60o,

.*.tanNAoC=G,

??.設(shè)OE=x,CE=?/?X,

Λ×?√3×=4√3?

；?x=±2,

Λ0E=2,CE=2√3,

由勾股定理得：0C=4,

??S?,?∣>OABCΞOA?CE=4×2>/3=8?/??

???四邊形OABC為菱形，

ΛAB/7CO,AO/7BC,

VDF/7AO,

??S?ADO≈S?DFO*

同理SΔBCD=SΔCDF,

*?'S受形ABCO==S4AD0+SADF0+SABCD+SACDF,

?*?S<X,*UABCO=2(SΔDFO+SΔCDF)=2SΔCDO=8Λ∕3?

?*?SΔCDO=4\/3;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計(jì)算，本題中

求得S菱形ABcO=2SACDO是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2022?福建漳州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過矩形。ABC對(duì)角

X

線的交點(diǎn)M,分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E,若四邊形C)DBE的面積為9,則k的值為【

0)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出AOCE'ΔOAD?矩形OABC的面積與Ikl

的關(guān)系，列出等式求出k值.

【詳解】由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，

則SAZQMJCvCF=-2--，SAAOMAADU=--2-，

過點(diǎn)M作MG_Ly軸于點(diǎn)G,作MN_Lx軸于點(diǎn)N,則SeNMG=∣k∣.

又YM為矩形ABeO對(duì)角線的交點(diǎn)，

?*?S?mABCO=4S∏ONMG=4∣k∣,

Y函數(shù)圖象在第一象限，k>0,

Λ-+-+9=4k.

22

解得：k=3.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐

標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于Ik∣,本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.

【變式3](2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))正方形/8C。的邊長(zhǎng)為4,AC,BD交于點(diǎn)E.在點(diǎn)力處建立平

面直角坐標(biāo)系如圖所示.

(1)如圖(1),雙曲線y=4過點(diǎn)E,完成填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是,點(diǎn)E的坐標(biāo)是,雙曲線的解

X

析式是:

(2)如圖(2),雙曲線y=殳與8C,CD分別交于點(diǎn)Λ1,N.求證：MN〃BD；

X

(3)如圖(3),將正方形/8C。向右平移加(w>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，使過點(diǎn)E的雙曲線y=區(qū)與/8交于點(diǎn)

X

【分析】(1)根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可確定C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求

出雙曲線解析式即可；

(2)設(shè)出M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的性質(zhì)得出MC=NC,推出NCMN=/88即可得出MN〃80；

(3)根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)求出AE的長(zhǎng)，再分三種情況討論分別求出“7的值即可.

【詳解】解：(1)???正方形/8C。的邊長(zhǎng)為4,AC,BD交于前E,

：.C(4,4),E(2,2),

將E點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線y=h,

X

得2=與,

解得k[=4,

4

???雙曲線的解析式為、=一，

X

4

故答案為：(4,4),(2,2),?=—：

X

(2)Y雙曲線尸芻■與8C,CD分別交于點(diǎn)“，N,

X

；?設(shè)Λ/(∕M,4),N(4,〃)，

/.4/77=4",

Λ∕n=w,

MC=NC,

由正方形可知，Z5CD=90o,

ΛZCW=45o,NC80=45。，

：.ZCMN=ZCBD,

：,MN〃BD；

(3)???正方形邊長(zhǎng)為4,

由(1)知E(2,2),

ΛAE^-AC=i√42+42=2√2,

22

①當(dāng)∕P=4E=2正時(shí)，

VP(w,2√2)?E(m+2,2),點(diǎn)P、E在反比例函數(shù)圖象上，

.?2y∣2m=2(加+2),

，"?=2a+2；

②當(dāng)“=∕E時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)6重合，

VP(加，4),E(加+2,2),點(diǎn)尸、E在反比例函數(shù)圖象上，

/.Am=2(/77+2),

Λ∕w=2;

（3）Z∕?E=45o

當(dāng)EP=4P時(shí),EPlAP

即EP//AD

.??當(dāng)）=4尸時(shí)，點(diǎn)尸、E不可能都在反比例函數(shù)圖象上，故此情況不存在；

綜上所述，滿足條件的加的值為2或2&+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，正方形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形。ABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)

I4

y=-1.,頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=—上，點(diǎn)C在X軸的正半軸上，則平行四邊形OABC的面積是（）

22

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作A￡>_Lx軸于點(diǎn)O,設(shè)點(diǎn)人的坐標(biāo)為4（4/）（4>0/>0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為仇。,勿（。>0）,從

而可得AB=C-α,AD=%,再將點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)的解析式可得ab=↑,bc=4,然后根據(jù)平行

四邊形的面積公式即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作ADLX軸于點(diǎn)。，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(α])(α>0,h>0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(c,b)(c>0),

則AB=c-a,AD=bf

將點(diǎn)4"，刀代入函數(shù)y=L得：ab=?,

X

4

將點(diǎn)8(c,b)代入函數(shù)y=-得：bc=4,

X

則平行四邊形OABC的面積是AB?A￡>=(c-α)Z?=be-a6=3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、平行四邊形的面積公式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

2.(2021秋?廣東佛山?九年級(jí)佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí))兩個(gè)反比例函數(shù)y=4和y=1在第一象限內(nèi)的

XX

圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=4的圖象上，PC_Lx軸于點(diǎn)C,交y=?!■的圖象于點(diǎn)/,POJ_y軸于點(diǎn)交)，=■5?

的圖象于點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)P在y=K的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.Z?OD3與一的面積相等

B.當(dāng)點(diǎn)力是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8一定是PO的中點(diǎn)

CADB

r--=---

'PAPB

D.只有當(dāng)四邊形OePo為正方形時(shí)，四邊形RIoB的面積最大

【答案】D

11

【分析】設(shè)B?—,A?—,根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別得DB=XOD=-fOC=XA9AC=-1

IXBJIXAuXBxΛ

通過計(jì)算即可得aOD5與√K4的面積相等；設(shè)尸斗,上,根據(jù)反比例函數(shù)、坐標(biāo)的性質(zhì)計(jì)算，即可判斷

(xPJ

選項(xiàng)B和C；根據(jù)四邊形RIOB的面積=四邊形OCPD面積-Sww-SAg的關(guān)系計(jì)算，推導(dǎo)得四邊形物。8

的面積=&—1,即可完成求解.

(1)

【詳解】設(shè)3XBL，A

、XB>

根據(jù)題意，得：DB=XB,OD=-,OC=XA,AC=-,

xBXA

XX

.?.S1?(w，SΔOCΛ=1。CXAC=4.，=!

22Xz)222XA2

.?.∕?ODB?30cA的面積相等，即選項(xiàng)A正確；

?.?PCJ_%軸

/.AlXp,—

[χp)

Y點(diǎn)力是PC的中點(diǎn),

?X-LJL

*'xp2xp

：?k=2

?.?尸Z)_Ly軸

上，一2

，點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為：一

xP

21

.—=—

?FXB

：*XB=會(huì)即當(dāng)點(diǎn)/是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8一定是Po的中點(diǎn)，即選項(xiàng)B正確;

V

IχpJ

■PC,X軸

/.A?Xp,—

Iχp）

VPD±y?1

一