第15講 分式的運算八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義（北師大版）

第15講分式的運算

號目標(biāo)導(dǎo)航

1.能準(zhǔn)確進(jìn)行異分母分式的加減運算，理解簡單的分式混合運算.

2.能解決一些與分式的運算有關(guān)的問題.

趣知識精講

知識點Ol分式的乘除法

（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.

（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合運算.運算順序應(yīng)先把各個分式進(jìn)行乘方運算，再進(jìn)行分式的乘除運算，即

“先乘方，再乘除”.

（5）規(guī)律方法總結(jié)：

①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當(dāng)分子和分母是多項式時，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約

分.

②整式和分式進(jìn)行運算時，可以把整式看成分母為1的分式.

③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運算，

切不可打亂這個運算順序.

【知識拓展1]（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）下列運算正確的是（）

63333

A.（3/）3=9"6B.42.a4=q8Q-x÷x=-ΛD.（-A）^=Λ

a

3

【即學(xué)即練1]（2021秋?天津期末）化簡（皿工）2÷旦的結(jié)果是（）

PIDP

7口7

A.--r??B.??C.mιrlpiD.mn3p3

PP

【即學(xué)即練2】（2021秋?廉江市期末）下列各式從左到右的變形正確的是（）

A.（Jx）2=3xlB.???t?

2

yyyy+1

C.x=1D.Ξ?=-ι

x+y1+yχ-y

【即學(xué)即練3］（2021秋?龍山縣期末）分析四個計算：①（③1）2÷J≡=?②（，，"）2=a2"?③（-

PP2m

2X3）4=8”；，④2X3?3Λ2=6X5.其中錯誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

【知識拓展2］（2022春?槐蔭區(qū)校級月考）計算：

2

（1）（2x3y）2?‰y;（2）x+x

2Xx+1

a-^l.a-1(4)x+3:x2+3X；

(3)-2:9，

a-4a+4a-4X2-2X+1(X-I)2

2ΛΓ

(5)(xy-Λ)÷??;(6)x-4+(x-2)?-

χyx+2IXGx-2

知識點02通分

（1）通分的定義：把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做

分式的通分.

（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母.

①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù).

②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕的積.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公

分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次累，各分母中不

相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式.

【知識拓展1】（2022春?原陽縣月考）把.—2一通分過程中，不正確的是（

(χ-2)(x+3)（X+3）2

（X+3）2

A.最簡公分母是（χ-2）（x+3）

x-2(χ-2)(χ+3)2

1x+322χ-2

2

(χ-2)(x+3)(x-2)(χ+3)(x+3)2(χ-2)(x+3)2

【即學(xué)即練1]（2021秋?禹州市期末）將分式」可與分式-J+1一通分后,，a+1,的分母變?yōu)椋╥+“）

1-aa-2a+la-2a+l

（1-?）2,則一?-的分子變?yōu)椋ǎ?/p>

2乙

?1-a

A.\-aB.?+aC.-?-aD.-l+α

【即學(xué)即練2】（239秋.東湖區(qū)期末）把墨亍通分,下列計算正確的是（

ab

6c6bc

2,2,2,22,2

ababqSabqdab

B6c18bcC=ac

2,Q2,2Q,2Q2,2

abSaboabSab

Cθc=18bcC=ac

2n2,,,22,2

avbdabo3aboab

D6c=18bcC=C

a2b3a2b3ab23ab2

【即學(xué)即練3】(2019秋?長白縣期末)——2——，_J_,旦的最簡公分母是_____________________

3x2(χ-y)2χ-2y4xy

【即學(xué)即練4](2019秋?玉州區(qū)期末)

2

(I)通分：2xy和X；(2)約分：m^4m.

(x+y)2x2-y2m2-16

【知識拓展2】（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）閱讀材料并回答問題：

我們學(xué)習(xí)過許多分?jǐn)?shù)比較大小的方法，如通分，或?qū)⒎肿幼兂上嗤臄?shù)或?qū)⒎謹(jǐn)?shù)化成小數(shù)，都是有效的

分?jǐn)?shù)大小比較的方法，但是并不是所有的數(shù)都適合用這樣的做法來比較大小.

（1）請問下列適合用通分來比較大小的一組數(shù)是①；適合將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來比較大小的一組數(shù)是

Gl274.分1327359.83115939911

2315531010001001202431799122

（2）我們經(jīng)常也會用到將分?jǐn)?shù)與上比較大小，進(jìn)而比出分?jǐn)?shù)大小的方法.如ZL-?,?-這三個數(shù),

25023189

869比o.5要小,而里?

3189502

我們就可以比較這三個數(shù)的大小-iθl<l<2Z（用“<”連接）.像這樣的方法稱為“中間數(shù)”

-3189-2—50—

比大小法，中間數(shù)有時也可以是其他數(shù)字.

（3）閱讀上述材料后，完成下列問題（沒有用到第（2）小題材料中做法的不得分）：

①旦，?,liθ,毀，啰這組數(shù)中，哪一個最?。?/p>

111323164305

②2,?,A,A,11,工，區(qū)這組數(shù)中，第三小的是哪一個？

1516610183044

知識點03分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分

母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說明：

①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把

分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；

通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形

式.約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的.

222

【知識拓展1］（2022?巧家縣模擬）化簡—-_乙的步驟如下：原式=1--+X-"=

X-2x+lI-X（χ-l）（XT）

22

1∑A±AH=I-X=上述解題過程中用到的依據(jù)有①約分；②合并同類項；③同分母分式

Cx-I）2（X-1）2χ-ι

的加減法則；④通分，排序正確的是（)

A.①②③④B.③②④①C.④③②①D.④②③①

【即學(xué)即練1】(2022春?拱墅區(qū)校級月考)已知a?Λ=√I5,則式二L的值為()

aa

A.+2√2B.8C.√6D.±√6

【知識拓展2】(2022春?西湖區(qū)校級月考)化簡：旦+上上.

x-1i-χ2

方方的解答如下：

原式=3(x+l)_χ-3_____

(x+l)(χ-l)(x+l)(χ-l)

=3x+l-χ-3

(x+l)(x-1)

=2(XT)

(x+l)(XT)

=2

74

方方的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程.

【即學(xué)即練1】己知/+α=3,求代數(shù)式3-一L的值.

a2-la

【即學(xué)即練2](2022春?興化市月考)化簡：

22_.

1a*1

(1)(1-+-^―,(2)(-5——a+1)+~

χχ2

l--la+la+2a+l

知識點04分式的混合運算

(1)分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有

括號的先算括號里面的.

(2)最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

(3)分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進(jìn)行靈活運

算.

【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題

I.注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的.

2.注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式

或整式.

3.注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的

運算律運算，會簡化運算過程.

【知識拓展1](2022春?新華區(qū)月考)為了提升學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)老師采用小組競賽的學(xué)習(xí)分式，要求每小

組的四個同學(xué)合作完成一道分式計算題，每人只能在前一人的基礎(chǔ)上進(jìn)行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一

人，最后完成計算.某小組計算過程如下所示，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是()

-]+x-3—_]x~^3—,l~x÷3—_4-x—?

χ-44-Xχ-4χ-4χ-4χ-4

A,甲B.乙C.丙D.丁

【即學(xué)即練1](2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)下列代數(shù)式變形正確的是()

A.Ξ?=W∑B.??(I4A)J-U-

22XyXyyX

22

C."=X-VD.x-y?

22

X燈(x+y)2x-yXP

【知識拓展2】(2021秋?化德縣校級期末)計算：

(1)(21)2÷(4x)3；(2)

2

3y3ya-?a-2

(3)―≥≤—÷-?-

99?..

a-4λa÷4a-4

2

【即學(xué)即練1】（2021秋?中原區(qū)校級期末）化簡分式：（I-紅工）÷三二紅工的最后的結(jié)果是（）

x+12x+2

A.1-xB.—∑?≡—C.-?.D..?

（x-ι）2x-iI-X

【即學(xué)即練2］（2022?仁壽縣模擬）已知：旦=2,衛(wèi)=3,坦=且求代數(shù)式α+6+c的值.

a+b3c+a4b+c5

知識點05分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果

要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=…”.

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)

未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0?

【知識拓展11（2021秋?威縣期末）用空2替換分式正工中的“后，經(jīng)過化簡結(jié)果是（）

m-2n+1

A.2B.2mC.@D.-L

m22m

22

【即學(xué)即練0（2021秋?建安區(qū)期末）如果α=-3,b=那么代數(shù)式.2b）.-?-的值是（）

2aa-b

?-?b-^3?c,22D?W

【知識拓展2】（（2022?陜西模擬）先化簡（m+2-2）?？工旦，然后選擇一個合適的整數(shù)作為"的值代

m-22πr4

入求值.

【即學(xué)即練1】（2022?建湖縣一模）先化簡，再求值：θ×∑il÷（x+2-工），其中/-X-6=0.

χ-2χ-2

Q能力拓展

選擇題（共2小題）

22

1.（2021?郎溪縣校級自主招生）如果〃-人=5,那么代數(shù)式（且士-一2）.亞的值是（）

abb-a

A.」B.-5C.?D.5

55

12

2.（2020?漢陽區(qū)校級自主招生）已知"c=l,a+b+c^2,a+b+^=3,則—?一4——?—4——?—的

ab+c-1bc+a-1ca+b-1

值為（）

A.-1B.1C.2D.JL

23

二.填空題（共5小題）

3.（2017?南安市自主招生）若X,y為實數(shù)，且滿足（χ-3）2+√T^3=0,則（三）2017的值是.

y

4.（2021?江岸區(qū)校級自主招生）已知必＜0,則且4Λ=.

ab

5.（2020?江岸區(qū)校級自主招生）計算：一皿一+—」=______.

4a2-9b23b^2a

6.（2020?浙江自主招生）已知實數(shù)a、b、C滿足HC=-1,a+b+c=4,————+——?——+——ɑ——

a^-3a-lb^-3b-lc2-3c-l

=A,則ai+b1+c2'-.

9

7.（2020?浙江自主招生）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，每次輸入3個不為零的數(shù)，經(jīng)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換后輸出3個新

數(shù)，規(guī)律如下：當(dāng)輸入數(shù)分別為X,y,z時，對應(yīng)輸出的新數(shù)依次為工」工」一,?^?.例

Xy+zyz+xzx÷y

如，輸入1,2,3,則輸出3,2.那么當(dāng)輸出的新數(shù)為上,工，工時，輸入的3個數(shù)依次為

543345

輸入-輸--出-----111111

X，V，Z-------?轉(zhuǎn)換器一+-----,—÷,—+

?y+zyz+xzχ+y

≡.解答題（共7小題）

8.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）設(shè)互不相等的非零實數(shù)a,b,c滿足a?Λ=b總=C0，求

bca

IZ~2Z_2Z~2

y（a仔）+（b*）+（c4γ）的值?

9.(2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生)已知正實數(shù)X,y,Z滿足：Xy+yz+a關(guān)1,且

(x2-l)(y2-l).(y2-l)(z2-l).(z2-l)(x2-l),

xyyzzx

(1)求的值.

xyyzzx

(2)證明：9(X+y)(y+z)(z+x)28xyz(xy+jz+zx).

10.（2021?江岸區(qū)校級自主招生）先化簡，再求值：（-??--.×+2）÷（匹-1）,其中X是不等式型金

X2-4X+4X2-2XX3

WX-3的最小整數(shù)解.

II.(2020?漢陽區(qū)校級自主招生)(1)已知一×—?l,求X+2的值.

χ2-χ+l4X

222

(2)若yz=ZX=Xy=X+y+z,λ≠0jy≠0τz≠0,且"c=7,求XyZ的值.

bz+cycx÷azay+bxa2+^2+^2

12.（2020?原陽縣校級自主招生）已知x-2=3,求，+_!_,??-?,/+」_的值.

Y.2.3.4

2

2017a-212a-1=011

13?（2020?田家庵區(qū)校級自主招生）已知41,且αWb,求工」的值.

2017b=?+212ab

b

2_

14.（2020?西安自主招生）化簡并計算：?g--.×<--?,其中x=2&.

x-l4-4x+χ2x-2

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?朝陽區(qū)期末）計算（區(qū)）3的正確結(jié)果是（）

b

A.匣3B.匣3C.—?d??3

b3bb3

2鹵

2.（2021秋?萊陽市期末）在計算工—÷J=時，把運算符號“÷”看成了“+”，得到的計算結(jié)果是"?，則

m+1m+1

這道題的正確的結(jié)果是（）

A.——B.?C.m-?D.m

ι∏-lm

3.（2021秋?思明區(qū)校級期末）下列各式，從左到右變形正確的是（）

A.a2?a3=c^B.J+q2=2q4

(a+l)2a+1

cr.-----------=------D.a2÷-=ai

(a-l)2a^?a

2

4.（2021秋?合川區(qū)期末）化簡迪?的結(jié)果正確的是（）

m+6m+94-m

A.生也B.土衛(wèi)C.D..^z???

m+3m+3In-3m-3

5.（2022?瑞安市開學(xué)）下列計算正確的是()

A.y6÷γ2=y3B.1+1=?

mninn

C.(∕n+l)2=w2+lD.(-2"?)3=-6加3

6.（2021秋?西城區(qū)期末）下列分式中，從左到右變形錯誤的是（）

A.-2-=AR111

4c4aba+b

2

C，一，D.?~?

a-bb-aa^+4a+4a+2

7.（2021秋?長沙縣期末）計算0-一匕的正確結(jié)果是（）

χ-lχ-l

A.XB.2c??D.2(χ-1)

8.（2021秋?倉山區(qū)校級期末）已知小b,c,d都是正實數(shù)，且曳V￡,其中b=_L,C=則3與

bda+bc+d

C的大小關(guān)系是（）

A.B>CB.B>CC.B<CD.BWC

9.（2021秋?微山縣期末）已知實數(shù)X,y滿足：？-1+2=0,√-1+2=0,則2022X引的值為（）

X

A.—」B.1C.2022D.20222

2022

10.（2021秋?任丘市期末）下列各分式運算結(jié)果正確的是（)

32542323

①5abIOc_25c.②bcι,a^bc11

2c3423③(x-3)-④

?b^ba*b-aj

x+lx-3χ2+1

A.①③B.②④C.①②D.③④

二.填空題（共2小題）

11.（2021秋?藁城區(qū)期末）計算K?÷31/二的結(jié)果是

2C2YC

2

12.（2021秋?長沙縣期末）計算（-三）2÷①.（X）-I=

2yX

三.解答題（共6小題）

13.（2021秋?定陶區(qū)期末）計算：

（1）（?）3:(2)(i-?)-χ2-2χ+l=

221

2aaabX-1x+1

oInn2iπ22

14.(2022?竹山縣模擬)化簡：(ιπ∕F一)÷F

mm2÷mn

15.（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）計算:

(2)(?÷?-)?χ2~2x

(?)?(2tz+?)+(Λ+?)(α-?);

x+2X2-4X4χ+4

16.（2022?紅花崗區(qū)一模）先化簡，再求值：一二2一--2-×（-一?—）,其中α=√5-2.

a2+4a+4a+2a2+2a

2

、

17.（2022?羅山縣校級模擬）先化簡，再求值:2xX-X其中x=5.

X+1'X2+2X+1

18.（2022?羅湖區(qū)模擬）先化簡，再求值：^a+2?÷(2+^5γ)>其中α=2.

a-2a+l

題組B能力提升練

選擇題（共3小題）

1.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）規(guī)定一種新的運算''JQx—+8&”，其中A和B是關(guān)于X的多項式.當(dāng)A的

B

次數(shù)小于B的次數(shù)時，JQxf+8^=0；當(dāng)A的次數(shù)等于B的次數(shù)時，JQχ?→+8區(qū)的值為A、B的最高

BB

次項的系數(shù)的商.當(dāng)A的次數(shù)大于B的次數(shù)時，JQXf+8區(qū)不存在.

`B

2

例：JQx-*÷ɑɑ-?-=0,Jβx→+o°——X+』——

I2X2+3X-12

2

若在二（2^一紅）÷6”—15X,則t∕Qχf+8區(qū)的值為（）

Bχ-lχ2-lB

A.0B.-?C.AD.不存在

23

2.（2021秋?高邑縣期末）己知：αι=x+l（T≠0且XW-1）,OI=--—,~~-—，…，a=----------，

Sa3S=St

則Q2020等于（）

A.XB.x+1C.-?D.—―

x+1

3.（2021秋?羅莊區(qū)期末）老師出了一道題：計算三生+上工，對于下面這三名同學(xué)的做法，你的判斷是

x+2χ2-4

（）

樂樂的做法是：原式=6+3）（耳-2）-_x-?_=（2+3）（X-?）-.χ-2=?χ2哆;

χ2-4χ2-4χ2-4χ2-4

淇淇的做法是：原式=（X+3）（X-2）+（2-x）=∕+x-6+2-X=X2-4；

嘉嘉的做法是：原式=3至--_x-2_=×tg.-?=×j±±=1.

x+2（x+2）（x-2）x+2x+2x+2

A.嘉嘉的做法是正確的

B.淇淇的做法是正確的

C.樂樂的做法是正確的

D.三名同學(xué)的做法均不正確

二.填空題（共4小題）

4.（2021?安鄉(xiāng)縣二模）如果典上#0,那么代數(shù)式Wj?（2,"+"）的值是

324m2-n2

5.（2020秋?沿河縣期末）已知：Zx2=Z+2,3義3=2+3,A×4=A+4,若且Xlo=旦+10（a、b

112233bb

都是正整數(shù)），則a+8的值是.

6.（2021秋?長安區(qū)校級期末）如果α=-√3,那么分式（I-矢L）÷彗的值是.

aa

7.（2021秋?嘉蔭縣校級期末）已知」-一L=r則分式n-m+2mn的值為

2m2n2m-2n+3mn

三.解答題（共5小題）

2

8.（2021秋?大興區(qū)期末）化簡：.U3g÷a-3..史IL

2,2-i

a+aa-11a1

2

9.（2022?孝南區(qū)一模）化簡：M=I∑2×÷（-1-+1），同時求出例有意義時X的取值范圍，并從不等

χ-lχ-l

"l-3x<X+3

式組X-I,的解集中取一個合適的整數(shù)值代入求值.

?i<1

12_

IO.（2022?婁底一模）先化簡，再求值：（二一-ι）÷LW,其中X是-1、1、2中的一個合適的數(shù).

x+1Jx+1

11.(2019秋?西城區(qū)校級期中)計算：

22

(1)×.~?l-----x+2；(2)(m+2-工)÷jbz^-

X2+4X+43x2+6xym^22m^4

12.(2021秋?惠州期末)結(jié)合圖，觀察下列式子：

(x+〃)(x+q)=W+px+qx+pq

=x2+(p+q)x+pq

于是有：X2+(p+夕)x+pq=(x+p)(x+q)?

(1)填空：因式分解了+5x+6=(x+)(x+)；

2

(2)化簡：(X-x-2_&+6).?

X2-4X+4X2+X-6乂-2

題