2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)態(tài)幾何壓軸題

2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：動(dòng)態(tài)幾何壓軸題

1.在qΛBC中，NAeS=90。，AC=BC,。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BO.

(1)如圖1,在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CK,點(diǎn)F為BC邊上一

點(diǎn)，連接AF交BZ)于M,連接力K,ACAF=2ADBA,AF=8,AK=IO,求CP的

長(zhǎng)；

(2)如圖2,在平面內(nèi)將線段OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段BE,連接AE交BC

于G,連接OE,若NCDE=NDBA,猜想線段AO,CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

⑶在(2)的條件下，將ACOT沿BD直線3。翻折至√U3C所在平面內(nèi)得到BDC1,連

接AC∣,若AC=2+及，在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段AG取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出

一/WE與四邊形BCDa重疊部分的面積.

2.如圖1,正方形ABCD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,E、F分別為正方形ABa)邊A3、

Af)上的點(diǎn)，EFlAC交于點(diǎn)M,且ME=MF,N為BF中點(diǎn).

(1)請(qǐng)直接寫出。N與。M的數(shù)量關(guān)系

(2)若將AA瓦"繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若AB=8,E為AB中點(diǎn)，尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)C的最大

距離.

3.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在ABe中，AB=AC,

ZBAC=a,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AZ),將線段AZ)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);α.得到AE，

連接CE.探究/4汨與/C4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

獨(dú)立思考：

(D請(qǐng)解答張老師提出的問(wèn)題.

實(shí)踐探究：

(2)在原有問(wèn)題條件不變的情況下,張老師增加下面的條件,并提出新問(wèn)題,請(qǐng)你解答.“如

圖2,若α=1200,求證：AD=CE,'

問(wèn)題解析：

(3)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組對(duì)上述問(wèn)題特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ECLBC時(shí)，若給出一ABC的腰

和底的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段，任意兩條線段之間的比值均可

ΔRS

求.該小組提出下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答.“如圖3,在(1)條件下，若ECLBC,—

BCo

求C工P的值”?

4.綜合與實(shí)踐.

【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“探究圖形旋轉(zhuǎn)中的奧妙”為主題開展活動(dòng).

如圖1,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)。為ΔABC角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)。是直線BC上一點(diǎn)，

連接8并延長(zhǎng)與直線AB交于點(diǎn)F,將射線QF以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，

與直線BC交于點(diǎn)G.

【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,智慧小組發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí),連接OB,易證MQF=ACOG,

從而得出BF=CG;如圖2,縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)B的

左側(cè)時(shí)，將射線以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，與直線8C交點(diǎn)G,與AC的

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E?連接G尸，可得AOFG是等腰三角形.

【問(wèn)題解決】

(1)寫出圖1或圖2中的任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)角―；

(2)如圖2請(qǐng)判斷8。和CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)結(jié)合操作發(fā)現(xiàn)的描述，證明：AOFG是等腰三角形.

5.如圖①所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形CEFD

拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形48EF.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEF。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至長(zhǎng)方

形CE'F'D,旋轉(zhuǎn)角為α.

①②

(1)當(dāng)點(diǎn)M恰好落在EF邊上時(shí)?，求旋轉(zhuǎn)角ɑ的值；

(2)如圖②，G為BC中點(diǎn)，且0。＜。＜90。，求證：GD=ED;

⑶小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，Oa)'與△(7%＞'能否全等？若能,

直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說(shuō)明理由.

6.已知四邊形ABa）中，ABYAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E、

F.

AAA

圖3

(I)當(dāng)NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1),求證:AE+CF=EF.

(2)當(dāng)/"8N繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEHCF時(shí)，在圖2種情況下，求證:AE+CF=EF.

⑶當(dāng)AMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEHCF時(shí),在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立,

請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想,

不需證明.

7.如圖①，在RtZ?ABC中，N8=9()。，AB=5,BC=12,CD=5,DE//AB.將

繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為ɑ.

Ap

(2)試判斷：當(dāng)0≤c≤360。時(shí)，標(biāo)的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明.

BD

(3)當(dāng)△即C旋轉(zhuǎn)到A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BO的長(zhǎng).

8.［方法探索］

⑴如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)尸在一A3C內(nèi)，且PA=2,PC=4,ZAPC=I50。，求PB

的長(zhǎng).

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

小敏在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，想到了以下思路：

如圖1,把4APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到VAPB連接PP,分別證明AAPP和

△3/P是特殊三角形，從而得解.請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠?，求出所的長(zhǎng).解：把AAPC繞

著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到,連接PP'.

接著寫下去：

［方法應(yīng)用］

請(qǐng)借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問(wèn)題：

(2)如圖2,點(diǎn)尸在等邊43C外，￡LPA=PB=3,NAPi5=120。，若48=3百，求NPBC

度數(shù).

(3)如圖3,在ABC中，ZSAC=90o,AB=AC=廂，P是ΛBC外一點(diǎn)，連接E4、

PB、PC.已知ZAP8=45。，PB=2.求PC的長(zhǎng).

9.圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角

形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究.如圖(1),已知ΔABC和A4DE均為等腰直角三角形，點(diǎn)。，

E分別在線段AB,AC上，且/C=ZA￡D=90。.

(1)觀察猜想

小華將AAQE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BO,CE,如圖(2),當(dāng)8。的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)

點(diǎn)E時(shí)：

①的值為;

②ZBEC的度數(shù)為________度；

⑵類比探究

如圖(3),小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)A4E>E,連接BD,CE,設(shè)B。的延長(zhǎng)線交CE

于點(diǎn)尸，(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展延伸

若AE=DE=g,AC=BC=VlO,當(dāng)CE所在的直線垂直于AO時(shí)，請(qǐng)你直接寫出BO

的長(zhǎng).

10.綜合與實(shí)踐

如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形48EF,裁成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCz)

和一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的長(zhǎng)方形CEFD如圖2.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

至CEFD,旋轉(zhuǎn)角為α.

o

(2)如圖3,G為BC中點(diǎn)，且0°<a<90,求證：GD'=E'Di

(3)小軍是一個(gè)愛動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，ZXDCD與4CBD'存在兩次全等，請(qǐng)你幫助小軍直接寫出當(dāng)ZXDCD

與aC3D'全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的值.

11.在..ABC中，NAC8=90。，AC=BC,根據(jù)題意完成下列問(wèn)題:

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

EC

C

AB

ABE

圖①圖②

(1)如圖①，點(diǎn)。為JWC內(nèi)的點(diǎn)，連接c。，AD,BD,將CO繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)90。后得CE.連接DE,BE,若AC=2,CD=},AD=B求證：CD"BE.

(2)如圖②,若點(diǎn)E是一ABC中斜邊AB上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、8重合),試求BE2、AE2、

CE?的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.如圖1,矩形ODE尸的一邊落在矩形A6CO的一邊上,并且矩形?！?gt;￡尸矩形ABC0,

其相似比為1:4,矩形ABCO的邊AB=4,BC=4√3?

(2)將圖1中的矩形03EF繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中。尸與OA夾角(圖2中

的NFa4)的正切的值為*,兩個(gè)矩形重疊部分的面積為九求>與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)將圖1中的矩形OOE/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA,?ACE的面積是否

存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.⑴發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)8是線段AD上的一點(diǎn)，分別以A8,3。為邊向外作等邊三角

形ABC和等邊三角形BDE,連接AE,CD,相交于點(diǎn)0.

圖1圖2D圖3

①線段AE與Co的數(shù)量關(guān)系為：；NAoC的度數(shù)為.

②.CBO可看作aΛBE經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？.

(2)應(yīng)用：如圖2,若點(diǎn)A,B,。不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)拓展:在四邊形ABCD中，AB=AC,ZBAC=90°,Z4DC=45。，若AO=8,CD=6,

請(qǐng)直接寫出3,。兩點(diǎn)之間的距離.

14.在_ABC中，NBAC=90。，AB=AC.點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接4。，將Ao繞著

點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接CE,DE.

(1)如圖1,若點(diǎn)。為線段BC的中點(diǎn)，且BC=8,求CE的長(zhǎng)；

(2汝口圖2,若點(diǎn)。為，ABC內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作AR,B。交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,所交

EC于點(diǎn)G,求證：EG=CG;

(3)如圖3,在(1)的條件下，點(diǎn)M是射線4。上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一點(diǎn)，且

AM=BN,連接CM,CN.當(dāng)CM+CN最小時(shí)，直接寫出VC4〃與ACBN的面積的

和.

15.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接80,將8。繞。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度

α得到Z)E,連接BE,已知AB=4,BGLAC↑

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若a=60。，tanZDBG=2-√3,連接CE,求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若α=120。，分別取8的中點(diǎn)”，BE的中點(diǎn)尸,連接，尸，。尸，求證："G=H尸;

3

(3)如圖3,^AD=-,P為AE上一點(diǎn),且滿足AP=2PE,連接8尸，將BP沿著BG所

在直線翻折得到B產(chǎn)，連接GP',當(dāng)G尸最大時(shí)，直接寫出ABPE的面積.

16.已知：如圖，ΛBC是以AB,BC為腰的等腰直角三角形，現(xiàn)將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋一個(gè)角度α得到RtAADE,連接8￡>,CE.

(1)如圖1,當(dāng)0。<&<45。時(shí)，求證：ABD?^ACE.

(2)如圖2,當(dāng)a=45。時(shí)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)F,求證:

ZBCF=NFBC.

(3)如圖3,當(dāng)45。<。<90。時(shí)，延長(zhǎng)OB交CE于點(diǎn)尸，求證：F是CE的中點(diǎn).

17.在等腰Z?AT>C和等腰BEC中，ZADC=ΛBEC=90°,BC<CD.將BEC繞點(diǎn)C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB.點(diǎn)。為線段AB的中點(diǎn)，連接。0,EO

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到8邊上時(shí)，線段。。與E。的數(shù)量和位置關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過(guò)程，

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由

(3)若BC=2,CD=屈,在BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NACB=60。時(shí)，求

線段。。的長(zhǎng)

18.在銳角一?BC中，Aβ=4,BC=5,NACS=45。，將繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)，得到Vag.

圖1圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在線段C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，NCGA的度數(shù)為°；

⑵如圖2,連接AA，CC1.若AABA的面積為4,求ACBG的面積；

(3)如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在AfiC繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是4,直接寫出線段環(huán)長(zhǎng)度的最大值與最小值.

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)