2023年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何壓軸題

2023年九年級中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：動態(tài)幾何壓軸題

1.在qΛBC中，NAeS=90。，AC=BC,。是AC邊上一動點，連接BO.

(1)如圖1,在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CK,點F為BC邊上一

點，連接AF交BZ)于M,連接力K,ACAF=2ADBA,AF=8,AK=IO,求CP的

長；

(2)如圖2,在平面內(nèi)將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段BE,連接AE交BC

于G,連接OE,若NCDE=NDBA,猜想線段AO,CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

⑶在(2)的條件下，將ACOT沿BD直線3。翻折至√U3C所在平面內(nèi)得到BDC1,連

接AC∣,若AC=2+及，在點。運(yùn)動過程中，當(dāng)線段AG取得最小值時，請直接寫出

一/WE與四邊形BCDa重疊部分的面積.

2.如圖1,正方形ABCD對角線AC、BD交于點0,E、F分別為正方形ABa)邊A3、

Af)上的點，EFlAC交于點M,且ME=MF,N為BF中點.

(1)請直接寫出。N與。M的數(shù)量關(guān)系

(2)若將AA瓦"繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，(1)中的結(jié)論是否成立，若成立請證明；

若不成立，請說明理由；

⑶若AB=8,E為AB中點，尸繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點M與點C的最大

距離.

3.綜合與實踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，張老師出示了一個問題：如圖1,在ABe中，AB=AC,

ZBAC=a,D為BC邊上一點，連接AZ),將線段AZ)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn);α.得到AE，

連接CE.探究/4汨與/C4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

獨(dú)立思考：

(D請解答張老師提出的問題.

實踐探究：

(2)在原有問題條件不變的情況下,張老師增加下面的條件,并提出新問題,請你解答.“如

圖2,若α=1200,求證：AD=CE,'

問題解析：

(3)數(shù)學(xué)活動小組對上述問題特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ECLBC時，若給出一ABC的腰

和底的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段，任意兩條線段之間的比值均可

ΔRS

求.該小組提出下面問題，請你解答.“如圖3,在(1)條件下，若ECLBC,—

BCo

求C工P的值”?

4.綜合與實踐.

【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“探究圖形旋轉(zhuǎn)中的奧妙”為主題開展活動.

如圖1,在等邊三角形ABC中，點。為ΔABC角平分線的交點，點。是直線BC上一點，

連接8并延長與直線AB交于點F,將射線QF以點O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)120。，

與直線BC交于點G.

【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,智慧小組發(fā)現(xiàn)當(dāng)點O在線段BC上時,連接OB,易證MQF=ACOG,

從而得出BF=CG;如圖2,縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，當(dāng)點。在點B的

左側(cè)時，將射線以點。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)120。，與直線8C交點G,與AC的

試卷第2頁，共10頁

延長線交于點E?連接G尸，可得AOFG是等腰三角形.

【問題解決】

(1)寫出圖1或圖2中的任意一個旋轉(zhuǎn)角―；

(2)如圖2請判斷8。和CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)結(jié)合操作發(fā)現(xiàn)的描述，證明：AOFG是等腰三角形.

5.如圖①所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD

拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形48EF.現(xiàn)將小長方形CEF。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至長方

形CE'F'D,旋轉(zhuǎn)角為α.

①②

(1)當(dāng)點M恰好落在EF邊上時?，求旋轉(zhuǎn)角ɑ的值；

(2)如圖②，G為BC中點，且0。＜。＜90。，求證：GD=ED;

⑶小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，Oa)'與△(7%＞'能否全等？若能,

直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由.

6.已知四邊形ABa）中，ABYAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60°,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長線)于E、

F.

AAA

圖3

(I)當(dāng)NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(如圖1),求證:AE+CF=EF.

(2)當(dāng)/"8N繞8點旋轉(zhuǎn)到AEHCF時，在圖2種情況下，求證:AE+CF=EF.

⑶當(dāng)AMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AEHCF時,在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立,

請給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,

不需證明.

7.如圖①，在RtZ?ABC中，N8=9()。，AB=5,BC=12,CD=5,DE//AB.將

繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為ɑ.

Ap

(2)試判斷：當(dāng)0≤c≤360。時，標(biāo)的大小有無變化？請僅就圖②的情形給出證明.

BD

(3)當(dāng)△即C旋轉(zhuǎn)到A,D,E三點共線時，直接寫出線段BO的長.

8.［方法探索］

⑴如圖1,在等邊ABC中，點尸在一A3C內(nèi)，且PA=2,PC=4,ZAPC=I50。，求PB

的長.

試卷第4頁，共10頁

小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：

如圖1,把4APC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到VAPB連接PP,分別證明AAPP和

△3/P是特殊三角形，從而得解.請在此思路提示下，求出所的長.解：把AAPC繞

著點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到,連接PP'.

接著寫下去：

［方法應(yīng)用］

請借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問題：

(2)如圖2,點尸在等邊43C外，￡LPA=PB=3,NAPi5=120。，若48=3百，求NPBC

度數(shù).

(3)如圖3,在ABC中，ZSAC=90o,AB=AC=廂，P是ΛBC外一點，連接E4、

PB、PC.已知ZAP8=45。，PB=2.求PC的長.

9.圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角

形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究.如圖(1),已知ΔABC和A4DE均為等腰直角三角形，點。，

E分別在線段AB,AC上，且/C=ZA￡D=90。.

(1)觀察猜想

小華將AAQE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BO,CE,如圖(2),當(dāng)8。的延長線恰好經(jīng)過

點E時：

①的值為;

②ZBEC的度數(shù)為________度；

⑵類比探究

如圖(3),小芳在小華的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)A4E>E,連接BD,CE,設(shè)B。的延長線交CE

于點尸，(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.

(3)拓展延伸

若AE=DE=g,AC=BC=VlO,當(dāng)CE所在的直線垂直于AO時，請你直接寫出BO

的長.

10.綜合與實踐

如圖1所示，將一個長為6寬為4的長方形48EF,裁成一個邊長為4的正方形ABCz)

和一個長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2.現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

至CEFD,旋轉(zhuǎn)角為α.

o

(2)如圖3,G為BC中點，且0°<a<90,求證：GD'=E'Di

(3)小軍是一個愛動手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點C順時針旋

轉(zhuǎn)一周的過程中，ZXDCD與4CBD'存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)ZXDCD

與aC3D'全等時，旋轉(zhuǎn)角a的值.

11.在..ABC中，NAC8=90。，AC=BC,根據(jù)題意完成下列問題:

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EC

C

AB

ABE

圖①圖②

(1)如圖①，點。為JWC內(nèi)的點，連接c。，AD,BD,將CO繞著點C按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90。后得CE.連接DE,BE,若AC=2,CD=},AD=B求證：CD"BE.

(2)如圖②,若點E是一ABC中斜邊AB上的點(點E不與點A、8重合),試求BE2、AE2、

CE?的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

12.如圖1,矩形ODE尸的一邊落在矩形A6CO的一邊上,并且矩形?！?gt;￡尸矩形ABC0,

其相似比為1:4,矩形ABCO的邊AB=4,BC=4√3?

(2)將圖1中的矩形03EF繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，若旋轉(zhuǎn)過程中。尸與OA夾角(圖2中

的NFa4)的正切的值為*,兩個矩形重疊部分的面積為九求>與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)將圖1中的矩形OOE/繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA,?ACE的面積是否

存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由.

13.⑴發(fā)現(xiàn)：如圖1,點8是線段AD上的一點，分別以A8,3。為邊向外作等邊三角

形ABC和等邊三角形BDE,連接AE,CD,相交于點0.

圖1圖2D圖3

①線段AE與Co的數(shù)量關(guān)系為：；NAoC的度數(shù)為.

②.CBO可看作aΛBE經(jīng)過怎樣的變換得到的？.

(2)應(yīng)用：如圖2,若點A,B,。不在一條直線上，(1)中的結(jié)論①還成立嗎？請說明

理由；

(3)拓展:在四邊形ABCD中，AB=AC,ZBAC=90°,Z4DC=45。，若AO=8,CD=6,

請直接寫出3,。兩點之間的距離.

14.在_ABC中，NBAC=90。，AB=AC.點。是平面內(nèi)一點，連接4。，將Ao繞著

點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接CE,DE.

(1)如圖1,若點。為線段BC的中點，且BC=8,求CE的長；

(2汝口圖2,若點。為，ABC內(nèi)部一點，過點4作AR,B。交8。的延長線于點F,所交

EC于點G,求證：EG=CG;

(3)如圖3,在(1)的條件下，點M是射線4。上的一點，點N是線段AB上一點，且

AM=BN,連接CM,CN.當(dāng)CM+CN最小時，直接寫出VC4〃與ACBN的面積的

和.

15.在等邊三角形ABC中，點。為AC上一點，連接80,將8。繞。逆時針旋轉(zhuǎn)角度

α得到Z)E,連接BE,已知AB=4,BGLAC↑

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圖1圖2圖3

(1)如圖1,若a=60。，tanZDBG=2-√3,連接CE,求CE的長；

(2)如圖2,若α=120。，分別取8的中點”，BE的中點尸,連接，尸，。尸，求證："G=H尸;

3

(3)如圖3,^AD=-,P為AE上一點,且滿足AP=2PE,連接8尸，將BP沿著BG所

在直線翻折得到B產(chǎn)，連接GP',當(dāng)G尸最大時，直接寫出ABPE的面積.

16.已知：如圖，ΛBC是以AB,BC為腰的等腰直角三角形，現(xiàn)將ABC繞點A逆時

針旋一個角度α得到RtAADE,連接8￡>,CE.

(1)如圖1,當(dāng)0。<&<45。時，求證：ABD?^ACE.

(2)如圖2,當(dāng)a=45。時，點E在AB的延長線上，延長交CE于點F,求證:

ZBCF=NFBC.

(3)如圖3,當(dāng)45。<。<90。時，延長OB交CE于點尸，求證：F是CE的中點.

17.在等腰Z?AT>C和等腰BEC中，ZADC=ΛBEC=90°,BC<CD.將BEC繞點C

逆時針旋轉(zhuǎn)，連接AB.點。為線段AB的中點，連接。0,EO

(1)如圖1,當(dāng)點B旋轉(zhuǎn)到8邊上時，線段。。與E。的數(shù)量和位置關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)點B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程，

若不成立，請說明理由

(3)若BC=2,CD=屈,在BEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)NACB=60。時，求

線段。。的長

18.在銳角一?BC中，Aβ=4,BC=5,NACS=45。，將繞點8按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)，得到Vag.

圖1圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)點G在線段C4的延長線上時，NCGA的度數(shù)為°；

⑵如圖2,連接AA，CC1.若AABA的面積為4,求ACBG的面積；

(3)如圖3,點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在AfiC繞點8按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是4,直接寫出線段環(huán)長度的最大值與最小值.

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