考點(diǎn)15計(jì)數(shù)原理排列組合二項(xiàng)式定理（7種題型9個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）原卷版

考點(diǎn)15計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理（7種題型9個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）【課程安排細(xì)目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點(diǎn)清單三、題型方法四、易錯(cuò)分析一一、真題搶先刷，考向提前知一．填空題（共6小題）1．（2022?上海）在的展開式中，則含項(xiàng)的系數(shù)為．2．（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）3．（2023?上海）設(shè)，則．4．（2022?上海）二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則．5．（2023?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為．6．（2024?上海）展開式中的系數(shù)為．二二、考點(diǎn)清單一．分類加法計(jì)數(shù)原理1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：（1）完成一件事的n類方案相互獨(dú)立；（2）同一類方案中的各種方法相對(duì)獨(dú)立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；4．注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對(duì)每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；二．分步乘法計(jì)數(shù)原理1．定義：完成一件事需要分成兩個(gè)步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個(gè)步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：完成一件事的n個(gè)步驟相互依存，必須依次完成n個(gè)步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對(duì)每一步的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分步乘法計(jì)數(shù)原理求積；三．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點(diǎn)的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問題（①允許有重復(fù)數(shù)字②不允許有重復(fù)數(shù)字）四．排列及排列數(shù)公式1．定義（1）排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計(jì)算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝n!．五．組合及組合數(shù)公式1．定義（1）組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合．（2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2．組合數(shù)公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2．六．排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化．對(duì)于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對(duì)于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；（9）定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；②從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；③從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素．先C后A策略，排列；組合．七．二項(xiàng)式定理1、二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開式．其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．注意：（1）二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)；（2）二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項(xiàng)式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項(xiàng)式定理來分析問題、解決問題．2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的第n+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．注意：（1）通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n．3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的．由對(duì)稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則中間的兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值．三三、題型方法一．分類加法計(jì)數(shù)原理（共2小題）1．（2022?崇明區(qū)二模）某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則不同的選擇方案共有種．（用數(shù)值表示）2．（2023春?閔行區(qū)月考）小張同學(xué)計(jì)劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學(xué)類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有種．二．分步乘法計(jì)數(shù)原理（共3小題）3．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有種，則為A．， B．， C．， D．，4．（2020春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地到丁地有4條路可走，從丁地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地共有種不同的走法．5．（2022春?長寧區(qū)校級(jí)期末）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵箱，則有種不同投法．三．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（共5小題）6．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）記為一個(gè)位正整數(shù)，其中，，，都是正整數(shù)，，，3，，．若對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得，則稱這個(gè)數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為．．7．（2023春?閔行區(qū)月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有種．8．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）書架上某層有8本書，新買2本插進(jìn)去，要保持原有8本書的順序，則有種不同的插法．（具體數(shù)字作答）9．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，，，，，六個(gè)字母以隨機(jī)順序排成一行，若小明每次操作可以互換2個(gè)字母的位置，則小明必須進(jìn)行5次操作才能將六個(gè)字母排成的順序的排列情況有種．10．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位數(shù)學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù)．四．排列及排列數(shù)公式（共5小題）11．（2023春?金山區(qū)校級(jí)期末）已知，則的值為A．3 B．4 C．5 D．612．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算中正確的是A． B． C． D．13．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若正整數(shù)滿足不等式，則．14．（2023春?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知為正整數(shù)，且，則．15．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）若，則．五．組合及組合數(shù)公式（共5小題）16．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知，則正整數(shù)．17．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若，則．18．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）．19．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）若，則實(shí)數(shù)．20．（2023?嘉定區(qū)二模）已知，若，則．六．排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題（共5小題）21．（2023?閔行區(qū)二模）今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和4名護(hù)士分配到兩所學(xué)校，給學(xué)校老師和學(xué)生接種流感疫苗．若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的分配方法數(shù)為．22．（2023?上海模擬）現(xiàn)在有5人通過3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車，每個(gè)閘機(jī)每次只能過1人，要求每個(gè)閘機(jī)都要有人經(jīng)過，則有種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答）23．（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）4名志愿者全部分到3所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少有1名志愿者，則不同的分法共有種．24．（2023?閔行區(qū)校級(jí)三模）安排4名男生和3名女生參與完成3項(xiàng)工作，要求必須每人參與一項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由1名男生和1名女生完成，則不同的安排方式種數(shù)為．25．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）從6人中選取4人分別去北京、香港、廣州、深圳四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有1人游覽，而每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中，甲、乙兩人都不去香港游覽，則不同的選擇方案共有種．（用數(shù)字作答）七．二項(xiàng)式定理（共7小題）26．（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中，若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．27．（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）在的展開式中的系數(shù)為．28．（2023?黃浦區(qū)二模）已知是與4的等差中項(xiàng)，且，則的值為．29．（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為．30．（2023?虹口區(qū)校級(jí)模擬）的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．31．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）展開式的常數(shù)項(xiàng)為（用最簡分?jǐn)?shù)表示）32．（2023?長寧區(qū)校級(jí)三模）在的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）四四、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一、混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)致錯(cuò)1．的展開式中的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．90 D．802、的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)二、忽略二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是第r+1項(xiàng)不是第r項(xiàng)致錯(cuò)3、二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)是（）A． B． C． D．易錯(cuò)點(diǎn)三、混淆均勻分組與部分均勻分組致錯(cuò)4、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排名,則不同的安排方案種數(shù)為（）A． B． C． D．5．某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是（

）A．72 B．108 C．216 D．432易錯(cuò)點(diǎn)四、計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序6、某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變?cè)瓉淼墓?jié)目順序，則不同的安排方式有________種．7、身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有（）A．504